Comment calculer l'aire d'un cercle

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Calculer une aire en utilisant le rayon

Calculer une aire en utilisant le diamètre

Calculer une aire en utilisant la circonférence

Trouver l'aire d'un cercle à partir de l'aire d'un secteur

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Résumé de l'article

À l'école primaire ou au collège, on apprend à calculer l'aire ($A$) d'un cercle, c'est un classique. On donne aux élèves quelques données pour cela. La formule de calcul est simple : $A=\pi r^{2}$. Pour ce calcul, il suffit de connaitre la mesure du rayon. Cette formule, moyennant quelques aménagements, permet de calculer l'aire à partir du diamètre, de la circonférence, et même celle d'un secteur du cercle.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:

Calculer une aire en utilisant le rayon

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   Connaissez le rayon du cercle. Le rayon ($r$) est la longueur mesurée entre le centre du cercle et n'importe quel point du tracé du cercle. Pour obtenir la longueur du rayon, vous pouvez prendre ou mesurer n'importe lequel d'entre eux, il y en a des milliers. Si vous mesurez la distance d'un point du cercle au point opposé en passant par le centre, vous avez le diamètre ($D=2r$) .

   • Le rayon est généralement donné, car il est très difficile de le mesurer sans connaitre la position exacte du centre du cercle, mais peut-être sera-t-il indiqué sur votre schéma.
   • Pour mieux comprendre ce calcul, prenons l'exemple d'un cercle qui aurait un rayon de 6 cm.
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   Élevez ce rayon au carré. La formule de l'aire du cercle est la suivante :
   $A=\pi r^{2}$, dans laquelle $r$ représente le rayon et $\pi$ la constante bien connue. C'est cette valeur $r$ qui doit donc être élevée au carré .

   • Faites attention à ne pas tout élever au carré, seulement le rayon !
   • Si vous avez un cercle ayant un rayon de $r=6$, alors $r^{2}=36$.
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   Multipliez par pi. La valeur « pi », que l'on note avec la lettre grecque $\pi$, est une constante mathématique qui correspond au rapport du rayon d'un cercle à son aire. La valeur la plus souvent utilisée pour $\pi$ est le fameux 3,14. En fait, « pi » comporte une quantité infinie de décimales. Les scientifiques ou les puristes ne veulent pas d'une valeur approchée et donnent donc souvent la réponse en laissant $\pi$ tel quel .

   • Pour un cercle qui aurait un rayon de 6 cm, l'aire ($A$) serait la suivante :
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$ ou $A=36(3,14)=113,04$
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   Donnez la réponse complète avec l'unité. Une aire s'exprime toujours en une unité de mesure carrée. Si le rayon est donné en centimètres ou en décimètres, les réponses seront respectivement en centimètres carrés ou en décimètres carrés. En fonction de vos besoins ou des exigences de l'exercice, vous donnerez une réponse précise avec $\pi$ ou une valeur approchée. En l'absence de consignes, vous pouvez mettre les deux .

   • Si l'on reprend l'exemple du cercle de 6 cm de rayon, vous donnerez comme réponse pour l'aire soit $A=36\pi \ cm^{2}$ soit $A=113,04\ cm^{2}$.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:

Calculer une aire en utilisant le diamètre

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   Mesurez ou repérez le diamètre. Dans certains exercices ou problèmes portant sur l'aire, on ne vous donnera pas le rayon du cercle en question, mais son diamètre. De deux choses l'une : ou on vous donne la mesure du diamètre et c'est parfait, ou vous devez le mesurer avec une règle sur la figure qui accompagne le problème.

   • Prenons comme exemple un cercle qui aurait 20 cm de diamètre.
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   Divisez le diamètre par deux. Par définition, un diamètre équivaut à deux rayons et donc le rayon vaut la moitié d'un diamètre. Si l'on vous donne le diamètre, commencez par le diviser par 2 pour avoir le rayon.

   • C'est ainsi que dans notre exemple, le rayon d'un cercle de 20 cm de diamètre est de 10 cm, soit 20/2 cm.
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   Reprenez alors la formule donnée dans la première méthode. Comme vous avez trouvé le rayon, vous vous retrouvez dans la même situation que précédemment. Il faut donc utiliser la formule de l'aire : $A=\pi r^{2}$. Remplacez $r$ par sa vraie valeur et faites les calculs comme suit :

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   Donnez la réponse complète avec l'unité. Comme précédemment, une aire s'exprime toujours en une unité carrée. Dans notre exemple, l'unité du rayon était le centimètre, l'aire obtenue sera en centimètres carrés. La réponse définitive est donc : A = $100\pi \ cm^{2}$.

   • C'est la réponse exacte, mais vous pouvez donner une valeur approchée en multipliant 100 par 3,14. Le résultat, plus parlant, est alors de 314 cm² (100 x 3,14).
   CONSEIL D'EXPERT(E)

   

   Grace Imson, MA

   Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

   Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis.

   

   Grace Imson, MA
   Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

   Lorsque l'on utilise un diamètre, l'erreur la plus courante est d'oublier de mettre le dénominateur au carré. Si, pour trouver le rayon, vous ne divisez pas le diamètre par 2, vous pouvez trouver l'aire du cercle. Par contre, vous devez changer la formule en mettant « d » au carré, sinon, la réponse sera fausse.

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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:

Calculer une aire en utilisant la circonférence

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   Modifiez la formule de base. Si l'on vous donne la circonférence d'un cercle et qu'on vous demande de calculer son aire, il faut simplement modifier la formule de base de l'aire, celle qui contient le rayon. La formule en fonction de la circonférence est alors la suivante :

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   Mesurez ou repérez la circonférence. Dans la vie de tous les jours, il n'est pas toujours simple de mesurer précisément le diamètre ou le rayon d'un objet circulaire. Si le diamètre n'apparait pas ou si le centre n'est pas clairement identifié, il n'est pas aisé de déterminer ce dernier. En ces cas, il est souvent plus facile de mesurer la circonférence d'un objet réel (pizza ou une poêle ronde) que son diamètre. Il faut, par exemple, prendre un mètre de couturière souple .

   • Prenons un exemple concret en supposant que vous ayez un cercle (ou un objet) qui fait 42 cm de circonférence, mesure qui vous a été donnée ou que vous avez faite.
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   Modifiez la formule de calcul de l'aire du cercle. Vous prendrez non plus le rayon, mais la circonférence. La circonférence d'un cercle est égal à $pi$ fois son diamètre, d'où la formule : $C=\pi d$. Vous savez d'autre part que le diamètre est égal à deux fois le rayon, soit $d=2r$. En combinant ces deux formules, vous obtenez : $C=2\pi r$. Exprimez $r$ en fonction de $C$ et de $\pi$, ce qui donne  :

   • $C=\pi 2r$
   • $r={\frac {C}{2\pi }}$….. (divisez de chaque côté par 2$\pi$)
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   Modifiez la formule de base de l'aire d'un cercle. Cette formule peut être exprimée en fonction de la circonférence (C), elle-même fonction du rayon. Dans notre cas, il s'agit de modifier la formule classique en remplaçant le rayon par son expression trouvée plus haut  :

   • $A=\pi r^{2}$ ….. (formule de départ)
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$ ….. (remplacez $r$ par son expression)
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$ ….. (élevez toute la fraction au carré)
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$ ….. (simplifiez le numérateur et le dénominateur par $\pi$)
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   Utilisez cette nouvelle formule pour calculer l'aire. Si vous êtes dans le cas où vous connaissez la circonférence du cercle, c'est donc cette formule qu'il faut utiliser, il ne restera alors plus qu'à faire les calculs. Remplacez $C$ par sa valeur et faites les calculs sans faire d'erreurs  :

   • Pour être plus clair, prenons l'exemple d'un cercle d'une circonférence de 42 cm.
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$ ….. (vous avez remplacé la circonférence par sa valeur)
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$ .…. (vous avez élevé 42 au carré)
   • $A={\frac {441}{\pi }}$ ….. (vous avez enfin divisé par 4)
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   Donnez la réponse complète avec l'unité. À moins qu'on ne vous ait donné une circonférence multiple de $\pi$, votre résultat se présentera sous la forme d'une fraction avec $\pi$ en dénominateur. Il n'y a rien de faux, bien au contraire. Il se peut aussi qu'on vous demande une réponse sous forme numérique : il suffira alors de prendre pour $\pi$ une de ses valeurs, le plus souvent 3,14 .

   • Pour un cercle ayant une circonférence de 42 cm, l'aire sera de : ${\frac {441}{\pi }}$ cm².
   • En prenant 3,14 pour pi, cela donne : ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3,14}}=140,4$. L'aire d'un cercle de 42 cm de circonférence est de 140 cm².
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:

Trouver l'aire d'un cercle à partir de l'aire d'un secteur

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   Regardez bien les informations que vous avez. Dans certains exercices, on vous demandera de calculer l'aire d'un cercle à partir des seules informations d'un secteur de ce cercle. Lisez attentivement l'énoncé du problème et repérez tous les éléments qui pourraient vous être utiles. Ainsi, on pourrait vous demander de calculer l'aire d'un cercle C dont le secteur mentionné dans la figure d'accompagnement a une aire de $15\pi \ cm^{2}$ .
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   Sachez bien ce qu'est un secteur circulaire. C'est, pour faire court, une partie d'un cercle qui a pour limites deux rayons et la portion de circonférence qui les relie. C'est cet espace délimité par ces trois lignes qu'on appelle un « secteur » .
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   Mesurez l'angle formé par les deux rayons. Pour cela, vous devez recourir à un rapporteur. Alignez le sommet de l'angle et le petit trou qui se trouve au milieu de la partie rectiligne du rapporteur. Alignez un des rayons avec la ligne noire qui se trouve sur cette partie rectiligne. Lisez enfin sur la partie courbe du rapporteur la mesure de l'angle au niveau du second rayon .

   • Quand on dessine un secteur angulaire, on en dessine en fait deux : l'un souvent avec un angle aigu ou droit, l'autre, ayant une aire plus importante, avec un angle obtus. Quoi qu'il en soit, la somme des deux angles fait 360° et la somme des deux aires donne l'aire du cercle entier.
   • Selon les exercices, vous aurez à mesurer cet angle ou on vous le donnera d'entrée de jeu. Ainsi, il pourra être indiqué que l'angle du secteur est de 45°, c'est l'exemple que nous prendrons pour plus tard pour réaliser les calculs.
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   Servez-vous d'une formule toute faite. il existe une formule très simple qui vous donne l'aire totale d'un cercle à partir du moment où vous avez l'aire d'un secteur et son angle .

   • $A_{totale}=A_{secteur}{\frac {360}{\alpha }}$
     • $A_{totale}$ représente l'aire du cercle entier
     • $A_{secteur}$ représente l'aire du secteur
     • $\alpha$ représente l'angle du secteur
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   Remplacez les valeurs littérales par les vraies valeurs. Ne reste ensuite plus que le calcul à faire. Notre exemple était celui d’un secteur présentant un angle de 45° et ayant une aire de $15\pi \ cm^{2}$. Remplacez $A_{secteur}$ par $15\pi$, $\alpha$ par 45, puis faites les calculs  :

   • $A_{totale}=A_{secteur}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{totale}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{totale}=15\pi (8)$
   • $A_{totale}=120\pi$
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   Donnez la réponse complète avec l'unité. Nous avons en fait un secteur qui représente un huitième de l'aire totale du cercle, laquelle est donc de $120\pi \ cm^{2}$. comme on vient de l'établir. L'aire du secteur ayant été donnée sous la forme d'un multiple de $\pi$, l'aire totale du cercle doit l'être de la même façon .

   • Si l'on vous a demandé une réponse approchée, il vous suffit de multiplier 120 par 3,14, ce qui vous donnera une aire de 376,8 cm².
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