كيفية حساب مساحة دائرة

تنزيل المقال

تنزيل المقال

أحد المسائل الشائعة في دراسة الهندسة هي أن يُطلَب منك حساب مساحة دائرة بناءً على معطيات محددة. يجب أولًا أن تعرف قانون حساب مساحة الدائرة: م=ط نق². هذه معادلة بسيطة لا تتطلب سوى معرفة طول نصف قطر الدائرة لحساب مساحتها. لكن يجب أن تتعلم أيضًا كيف تحول بعض المعلومات الأخرى المعطاة في المسألة إلى ما يمكنك استعماله في هذه المعادلة بدوره.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 4:

حساب المساحة بمعرفة نصف القطر

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدد قيمة نصف قطر الدائرة. نصف القطر هو طول الخط المستقيم الذي يصل بين نقطة مركز الدائرة إلى أي نقطة على حدودها؛ يمكنك قياسه بأي اتجاه وستكون النتيجة واحدة. نصف القطر – كما يوضح الاسم – هو نصف طول محور الدائرة (القطر الذي يمر بمركز الدائرة ويصل بين نقطتين متقابلتين على محيط الدائرة).

   • سيكون نصف القطر في العادة من المعطيات الموضحة في المسألة. يصعب معرفة نقطة مركز الدائرة بدقة إلا إذا كان موضحًا في دائرة مرسومة أمامك.
   • نفترض لمثال توضيحي هنا أن لدينا دائرة يساوي نصف قطرها 6 سم.
2. 
   2
   احسب تربيع نصف القطر. في قانون حساب مساحة الدائرة م=ط نق²، تمثل نق نصف القطر. في هذه الخطوة يتم تربيع هذه القيمة.

   • انتبه ألّا يختلط عليك الأمر فتقوم بتربيع المعادلة بأكملها.
   • بالتطبيق على دائرة المثال هنا ذات نصف القطر: نق=6، يكون نق²=36.
3. 
   3
   اضرب في ط. القيمة ط أو التي تعرف كذلك (باي) من أصل اللغة اليونانية، هي ثابت رياضي يمثل النسبة بين نصف القطر ومحيط الدائرة. تساوي قيمة ط بالتقريب العشري 3.14. القيمة الحقيقية قبل التقريب تمتد بأعداد عشرية غير منتهية. إذا كنت ستوجد القيمة الدقيقة لمساحة دائرة، فإنك ستسعمل الرمز ط في كتابة إجابتك نفسها.

   • في دائرة مثالنا السابق التي نعلم أن طول نصف قطرها هو 6 سم، تُحسب المساحة كما يلي:
     • م=ط نق²
     • م=ط 6²
     • م=36ط أو م= 36 × (3.14)= 113.04
4. 
   4
   اكتب النتيجة التي توصلت إليها. تذكر أن حساب المساحة ستكون وحدته "مربعة" أيًا كان نوع هذه الوحدة. إذا كان قياس نصف القطر على سبيل المثال بالسنتيمتر، فإن المساحة ستكون بالسنتيمتر مربع، وإذا كانت الوحدة قدم فستكون المساحة أقدام تربيع. يجب كذلك أن تعرف ما إذا كنت ستقدم إجابتك مستخدمًا الرمز ط أم أنك ستعوض عنها بالتقريب العددي لقيمتها في المسألة. إذا كنت لا تعرف أي الإجابتين هي المطلوبة، فاكتب كلاهما.

   • بالنسبة للدائرة التي يساوي نصف قطرها 6 في المثال، ستكون المساحة إما 36ط سم² أو 113.04 سم².

طريقة 2

طريقة 2 من 4:

حساب المساحة باستخدام القطر

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف أو قس طول القطر. بعض المسائل لا تزودك بطول نصف القطر مباشرةً، لكنها بدلًا من ذلك تعرفك طول القطر نفسه. يمكنك قياسه بالمسطرة إذا كان القطر مرسومًا بالفعل، إلا إذا كانت قيمته من معطياتك.

   • افترض أن قطر الدائرة في هذا المثال 20 بوصة.
2. 
   2
   اقسم القطر على اثنين. يساوي طول القطر بالتأكيد ضِعف قيمة نصف القطر، بالتالي اقسم القطر نصفين أيًا كانت قيمته في معطياتك وستكون أمامك قيمة نصف القطر.

   • إذًا: دائرة المثال التي يساوي نصف قطرها 20 بوصة سيكون نصف قطرها يساوي 20/2 أي 10 بوصات.
3. 
   3
   استخدم القانون الأساسي لحساب المساحة. يمكنك استعمال القانون م=ط نق² بعد استنتاج نصف القطر من طول القطر لحساب مساحة الدائرة. عوض عن قيمة نق في المعادلة بقيمتها التي وجدتها من قسمة القطر واحسب باقي المعادلة كالتالي:

   • م=ط نق²
   • م=ط 10²
   • م=100ط
4. 
   4
   اكتب قيمة المساحة. تذكر مرة أخرى أن المساحة تُقاس بوحدات مربعة. في هذا المثال قيمة القطر بالبوصة وبالتالي كذلك نصف القطر. لذلك ستكون مساحة الدائرة بوحدة بوصة مربعة. ستكون قيمة المساحة في مثالنا هنا 100ط بوصة مربع.

   • يمكنك كذلك حساب التقريب العددي من خلال ضرب نق في 3.14 بدلًا من ط

طريقة 3

طريقة 3 من 4:

حساب المساحة باستخدام المحيط

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف القانون لحل هذه الحالات. يمكنك تذكُّر معادلة معينة لإيجاد مساحة الدائرة بمعرفة محيطها. تستخدم هذه المعادلة المحيط مباشرةً لإيجاد المساحة دون الحاجة لنصف القطر. هذه المعادلة الجديدة هي:

   • م= ح² / 4ط
2. 
   2
   حدد طول المحيط من المسألة أو قِسْه. لن يكون بمقدورك قياس القطر أو نصف القطر بدقة في بعض المواقف الحقيقية. إذا لم يكن القطر مرسومًا أو كان مركز الدائرة غير معروف، سيكون من الصعب حينها معرفة المركز بالتقريب. إذا كان لديك شكل دائري حقيقي كمقلاة مثلًا أو بيتزا؛ فسيكون من الأسهل أن تقيس محيطها باستخدام شريط قياس عِوّضًا عن محاولة قياس القطر.

   • مثال: افترض أنك قست/ تم إخبارك أن محيط دائرة ما (أو شيء دائري) يساوي 42 سم.
3. 
   3
   استخدم العلاقة بين المحيط ونصف القطر لمساعدتك على حفظ القانون. محيط الدائرة يساوي ط في القطر. يمكن كتابة هذا كمعادلة على الصورة الآتية: ح=ط ق. القطر يساوي ضعف نصف القطر، أي: ق=2نق. باستخدام هاتين الصيغتين يمكنك إيجاد العلاقة التالية: ح=ط 2نق. أعِد ترتيب هذه المعادلة بحيث تعزل المتغير نق عن الباقي، كما يلي:

   • ح=ط2 نق
   • ح/2ط=نق….. (اقسم طرفي المعادلة على 2ط)
4. 
   4
   عوض في المعادلة الأصلية للمساحة. يمكنك عمل نسخة معدلة من قانون مساحة الدائرة باستخدام العلاقة بين المحيط ونصف القطر. استبدل نق في المعادلة الأصلية بهذه المعادلة الجديدة كما يلي:

   • م=ط نق²…..(معادلة المساحة الأصلية).
   • م=ط(ح/2ط)²….. (عوض عن نق بما يساويها).
   • م=ط(ح² / 4ط²})…..(قم بتربيع الكسر).
   • م=ح² / 4ط…..(تخلص من ط البسط والمقام).
5. 
   5
   استعمل المعادلة لإيجاد المساحة. باستعمال هذه المعادلة التي تضم المحيط بدلًا من نصف القطر، يمكنك استعمال المعطيات لديك وإيجاد المساحة مباشرةً. عوض عن ح في المعادلة بقيمة المحيط وقم بالحساب كما يلي:

   • في المثال هنا، لديك ح=42 بوصة.
   • م=ح² / 4ط.
   • م= 42² / 4ط…..(عوض بالقيمة).
   • م=1764 / 4ط.….(احسب 42²).
   • م=441 / ط…..(اقسم على 4).
6. 
   6
   اكتب الناتج. ستكون النتيجة على الأرجح على شكل كسر يوجد في مقامه ط إلا في حالة كان المحيط الذي استعملته لحل المسألة عبارة عن عدد من ط (أي 12 ط مثلًا). لا مشكلة في هذا، ويجب أن تكتب ناتج المساحة الذي توصلت إليه على هذا الأساس أو يمكنك أن تحوله لنتيجة عددية بالكامل من خلال القسمة على 3.14.

   • في مثال الدائرة هنا، المحيط يساوي 42 سم، إذًا فالمساحة تساوي 441 / ط سم مربع.
   • إذا كانت نتيجتك تقريبًا 441 / ط = 441 / 3.14 = 140.4. المساحة تساوي تقريبًا 140 سم مربع.

طريقة 4

طريقة 4 من 4:

إيجاد المساحة بمعرفة قطاع من الدائرة

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدد المعلومات المعطاة أو الواضحة. قد يتم إخبارك في بعض المسائل عن قطاع من دائرة ثم يُطلب منك أن تحسب مساحة الدائرة بالكامل. اقرأ المسألة بانتباه وابحث عن معلومات من نوعية: "قطاع من الدائرة ج مساحته تساوي 15ط سم². أوجِد مساحة الدائرة ج".
2. 
   2
   حدد القطع المختار. القطاع الدائري هو جزء من الدائرة محاط بنصفي قطر من عند المركز حتى المحيط، يسمى ما بين هذين الخطين قطعًا دائريًا.
3. 
   3
   قس الزاوية المركزية في القطع. استعمل منقلة لقياس الزاوية المحصورة بين نصفي القطر: ضع خط القاعدة في المنقلة على أحد الخطين واجعل نقطة المنتصف في المنقلة على نقطة مركز الدائرة. اقرأ قياس الزاوية والتي ستجد عندها خط القطع الآخر الذي يغلق القطاع.

   • تأكد أن تعرف ما إذا كان المطلوب هو أن تقيس الزاوية الصغرى بين خطي القطاع أم الزاوية الكبرى التي تمثل باقي الدائرة. ستحدد المسألة التي تحاول حلها أيهما هو المطلوب. لابد أن يكون مجموع الزاوية الكبرة مع الصغرى 360 درجة.
   • قد تخبرك المسألة في بعض الأحيان عن قياس الزاوية ببساطة بدلًا من جعلك تقيسها. مثلًا قد تنص المسألة على أن "الزاوية المركزية لقطاع تساوي 45 درجة" وقد لا تنص على ذلك فيكون مطلوبًا منك قياسها بنفسك.
4. 
   4
   استعمل قانونًا مُخصصًا للمساحة. بعد أن تعرف مساحة القطاع وقياس زاويته؛ يمكنك استعمال المعادلة التالية لإيجاد مساحة الدائرة:

   • م.دائرة = م.قطع × 360 / ز.
     • م.دائرة هي مساحة الدائرة بالكامل.
     • م.قطع هي مساحة القطاع.
     • ز هي قياس الزاوية المركزية.
5. 
   5
   عوض بالقيم التي تعرفها في القانون وأوجد المساحة. في هذا المثال: تم إخبارك أن الزاوية المركزية تساوي 45 درجة وأن القطاع له مساحة تساوي 15ط. أدخل هاتين القيمتين على المعادلة وحلها كما يلي:

   • م.دائرة = م.قطع × 360 / ز.
   • م.دائرة = 15ط × 360 / 45.
   • م.دائرة= 15ط(8).
   • م.دائرة = 120ط.
6. 
   6
   اكتب النتيجة. القطع في هذا المثال يساوي ثمن الدائرة، بالتالي فإن مساحة الدائرة بالكامل هي 120ط سم². بما أن مساحة القطاع في المعطيات تضمنت ط بدلًا من قيمتها الرقمية التقريبية؛ فعليك أن تنهي إجابتك على نفس الأساس.

   • إذا أردت أن تكتب الإجابة كأرقام؛ فيمكنك أن تضرب 120 × 3.14 وستحصل على القيمة 376.8 سم².