원의 넓이 계산하는 법

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기하학 수업에서 흔히 접할 수 있는 문제가 바로 원의 넓이 계산이다. 원의 넓이를 구할 수 있는 공식 $A=\pi r^{2}$ 을 익혀두자. 원 넓이 공식은 간단하며 원의 반지름만 알면 원의 넓이를 구할 수 있다. 하지만 이 공식을 사용하기 위해 주어진 정보들을 변환해야 하는 경우도 있으니, 여러 가지 방법으로 원의 넓이를 구하는 방법을 연습해보자.

단계

방법 1

방법 1 의 4:

반지름 사용하기

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   원의 반지름 알아보기. 반지름은 원의 중심에서 원의 가장자리까지의 길이이다. 특정한 가장자리 위치에 관계없이 반지름의 길이는 모두 동일하게 측정된다. 반지름은 또한 원의 지름의 절반을 의미하기도 한다. 지름은 원의 가장자리에서 시작해서 원의 중심을 지나 반대편의 가장자리에 이르는 거리이다.

   • 보통 반지름의 길이는 문제에서 주어진다. 원의 중앙이 종이 위에 주어지지 않은 경우, 원의 중심점을 정확하게 측정하는 것은 어렵다.
   • 예를 들어, 원의 반지름의 길이가 6 cm 라고 주어지는 경우와 같다.
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   반지름 제곱하기. 원의 넓이 공식 $A=\pi r^{2}$의 $r$가 반지름을 의미한다. 공식에서 나타난 것처럼 반지름을 제곱해보자.

   • 혼란스러워 하지 말고 원의 반지름을 제곱해주면 된다.
   • 예를 들어, 반지름의 값이 $r=6$로 제공되었다면, $r^{2}=36$ 값이 산출된다.
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   pi(파이)를 곱하기. Pi를 그리스 기호로 나타나면 $\pi$ 라고 표기할 수 있고, 파이는 원주와 지름 사이의 비율을 나타낸다. 보통 $\pi$ 값은 대략 3.14로 계산할 수 있다. 실제 파이의 값은 무한대로 지속되며, 정확한 원 넓이를 구하기 위해서는 보통 $\pi$ 기호를 남겨두면 된다.

   • 예를 들어, 원의 반지름 값이 6 cm라고 주어졌다면, 다음처럼 원의 넓이 공식에 대입해보자:
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$ 혹은 $A=36(3.14)=113.04$
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   정답 적기. 원의 넓이 값은 “제곱” 단위로 기입해야 한다. 반지름의 값이 cm로 제시되었다면, 결과 값은 제곱 cm로 표기한다. 반대로 ft로 제시되었다면, 마찬가지로 제곱 ft로 단위를 기입한다. 또한 값을 숫자로 표기해야 하는지, 혹은 $\pi$ 기호로 표기해야 하는지 문제를 잘 살펴보고, 잘 모를 경우 두 가지로 모두 표기해보자.

   • 예를 들어 반지름 값이 6 cm라면, 원의 넓이 값은 36$\pi$ cm² 혹은 113.04 cm² 로 나타낼 수 있다.
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방법 2

방법 2 의 4:

지름 값 사용하기

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   지름을 측정 혹은 기록하기. 반지름의 값을 제시하는 문제도 있는 반면, 원의 지름 값을 제시하는 문제도 있다. 원에 지름이 그려져 있다면, 자를 사용해서 지름을 측정해보자. 혹은 지름의 정확한 값이 문제에 제시되는 경우도 있다.

   • 문제에서 지름의 값이 20 inch로 제시되었다고 가정해보자.
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   지름을 반으로 나누기. 지름은 반지름을 두 배로 곱한 값이므로, 지름의 값을 반으로 나누면 반지름의 값을 구할 수 있다.

   • 그러므로 지름 값이 20 inch인 원의 반지름은 10 inch이다.
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   원래의 공식에 대입하기. 지름에서 반지름 값을 구한 후 공식$A=\pi r^{2}$ 에 구한 값을 대입해보자. 반지름의 값을 대입하고 나머지는 아래의 과정에 따라 구해보자:

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   원의 넓이 답을 적기. 제곱 단위로 기입한다. 예를 들어, 지름이 인치로 제시되었다면 답에도 제곱 인치로 답한다. 예를 들어, 답을 $100\pi$ sq. in처럼 적어보자.

   • 혹은 $\pi$ 기호를 나타내는 대신 3.14를 곱해서 숫자로 표기해보자. 숫자로 표기할 경우 (100)(3.14) = 314 sq. in의 답을 산출할 수 있다.
   전문가 팁

   

   Grace Imson, MA

   샌프란시스코 시티컬리지 수학강사

   그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다.

   

   Grace Imson, MA
   샌프란시스코 시티컬리지 수학강사

   지름을 활용할 때 흔히 발생하는 문제가 바로 제곱의 과정을 생략하는 것입니다. 지름을 2로 나눠주지 않아도 여전히 원의 넓이를 구할 수 있지만, 지름을 나타내는 'd'로 공식을 변경한 후에도 꼭 제곱을 해주어야 올바른 값을 구할 수 있습니다.

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방법 3

방법 3 의 4:

원주를 사용하기

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   변경된 공식 알아보기. 원주 길이를 알고 있다면, 공식을 변경해서 원의 넓이를 구해보자. 변경된 공식은 반지름을 사용하지 않고 원주를 그대로 대입할 수 있다. 다음 변경된 공식을 살펴보자:

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   원주를 측정하거나 기록하기. 실제 생활에서는 지름이나 반지름 값을 정확하게 측정하기 어렵다. 지름이나 원의 중심점이 정확하게 표기되지 않았다면, 원의 중심을 찾는 것이 매우 어려울 수 있다. 예를 들어 피자팬이나 프라이팬처럼 일부 원형 물체의 경우, 줄자를 사용하면 지름보다는 원주를 더 정확하게 측정할 수 있다.

   • 예를 들어 원(혹은 원형 물체)의 원주 길이가 42 cm로 제시되었다고 가정해보자.
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   원주와 반지름의 관계를 이용해서 공식을 변경하기. 원의 둘레인 원주는 지름 x 파이 값이다. 그러므로 $C=\pi d$ 공식으로 나타낼 수 있다. 우리는 지름 값이 반지름의 2배라는 사실을 알고 있으니 $d=2r$라는 공식 값도 구할 수 있다. 이 두 공식을 조합해서 다음과 같은 관계를 형성할 수 있다: $C=\pi 2r$. $r$가 혼자 남겨지도록 다음처럼 공식을 변환해보자:

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$….. (양쪽을 모두 2$\pi$로 나눈 결과)
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   원의 넓이를 구하기 위해 이 공식으로 대체하기. 원주와 반지름의 관계를 활용해서 원의 넓이를 변형된 공식으로 구해보자. 위에서 구한 변형 공식을 원래 공식에 아래와 같이 대입한다:

   • $A=\pi r^{2}$…..(원래 공식)
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$….. (r을 대체하기)
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$…..(분수 제곱)
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$…..(분자와 분모의 $\pi$ 상쇄)
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   변형된 공식으로 원의 넓이 구하기. 반지름 대신 원의 둘레를 활용하는 변형된 공식을 사용해서 바로 원의 둘레 길이를 다음과 같이 대입해보자:

   • 예를 들어 원주가 $C=42$ cm라는 값이 제공되었다고 가정해보자.
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$…..(값 대입하기)
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$.….(42² 계산하기)
   • $A={\frac {441}{\pi }}$…..(4로 나누기)
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   정답 쓰기. 원주 값이 $\pi$의 제곱 값이라는 조건이 제시되지 않았다면, 정답을 $\pi$ 가 분모로 들어간 분수 값으로 기입한다. 이렇게 해도 전혀 문제가 없으니 이렇게 답을 기입하거나, 대략 3.14 값으로 나눠서 갑을 제시하는 방법도 있다.

   • 원의 둘레가 42 cm인 예를 살펴보면, 원의 넓이는 ${\frac {441}{\pi }}$ sq. cm로 산정할 수 있다.
   • 3.14 값을 대입하고 싶다면 ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140.4$의 결과를 통해 원의 넓이가 대략 140 sq. cm 인 것으로 계산된다.
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방법 4

방법 4 의 4:

원의 부분 넓이 사용하기

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   주어진 정보와 알고 있는 정보 확인하기. 일부 문제에서는 원의 부분에 대한 정보를 제공하고, 원의 전체 넓이를 구할 것을 묻는다. 문제를 주의 깊게 살펴보고 “원 O의 영역 A의 넓이가 15$\pi$ cm²인 원 O의 넓이를 구하시오.” 라는 조건이 제시되어 있는지 확인해보자.
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   선택된 영역을 확인하기. 원의 부분 영역이 종종 “조각”으로 표기되는 경우도 있다. 조각은 원의 중심점에서 두 개의 반지름으로 둘러 쌓인 영역으로 정의된다.
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   영역의 각도 측정하기. 각도기를 사용해서 두 반지름 사이의 각도를 측정해보자. 각도기의 하단을 하나의 반지름과 나란히 놓아두고, 각도기의 중앙 부분이 원의 중심에 놓이도록 조절하자. 그리고 다른 반지름이 위치한 각도를 각도기에서 읽어 확인한다.

   • 두 반지름 사이의 작은 각도를 측정하거나, 조각 밖의 큰 각도를 측정한다. 제시된 문제에 따라서 두 가지 값 중 하나를 측정해서 활용하면 된다. 조각의 작은 각도와 바깥의 큰 각도의 합은 360도이다.
   • 일부 문제의 경우, 조각의 중심각을 측정할 필요 없이 문제에서 값이 주어지는 경우도 있다. 예를 들어, “조각의 중심각이 45도이다”라고 값이 제공되지 않는다면, 직접 중심각을 측정해야 함을 의미한다.
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   변형된 공식 사용하기. 조각의 넓이와 중심각을 알고 있다면, 다음과 같이 변형된 원의 넓이 공식을 활용해보자:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cir}$ 는 전체 원의 넓이이다.
     • $A_{sec}$ 는 조각의 넓이이다.
     • $C$ 는 중심각이다.
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   알고 있는 값을 공식에 대입하기. 위의 예를 계속 살펴보면 우리는 중심각이 45도이며, 조각의 넓이가 15$\pi$라는 사실을 알고 있으니, 다음과 같이 공식에 해당 값을 대입해보자:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cir}=15\pi (8)$
   • $A_{cir}=120\pi$
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   정답 기입하기. 예를 들어 전체 원의 1/8가 조각에 해당되었다면, 전체 원의 넓이는120$\pi$ cm²이다. 조각의 넓이가 $\pi$으로 제시가 되었기 때문에, 정답도 같은 방식으로 기입한다.

   • 숫자 값으로 정답을 기입하고 싶다면, 120 x 3.14 과정을 통해 376.8 cm² 값을 얻을 수 있다.
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