Как вычислить площадь круга

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

По радиусу

По диаметру

По длине окружности

По площади сектора круга

Показать еще 1...

Показать меньше...

Дополнительные статьи

Источники

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: $S=\pi r^{2}$. Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 4:

По радиусу

Загрузить PDF

1. 
   1
   Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.

   • Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
   • Например, радиус круга равен 6 см.
2. 
   2
   Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: $S=\pi r^{2}$, где $r$ – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).

   • Не нужно возводить в квадрат всю формулу.
   • В нашем примере: $r=6$, поэтому $r^{2}=36$.
3. 
   3
   Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой $\pi$ и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной $\pi$.

   • В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:
     • $S=\pi r^{2}$
     • $S=\pi 6^{2}$
     • $S=36\pi$ или $S=36(3,14)=113,04$
4. 
   4
   Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной $\pi$ или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.

   • В нашем примере (r = 6 см) S = 36$\pi$ см² или S = 113,04 см².
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

По диаметру

Загрузить PDF

1. 
   1
   Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.

   • Например, диаметр круга равен 20 мм.
2. 
   2
   Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.

   • Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.
3. 
   3
   Воспользуйтесь стандартной формулой для вычисления площади круга. Найдя радиус, воспользуйтесь формулой $S=\pi r^{2}$, чтобы вычислить площадь круга. Подставьте значение радиуса и выполните вычисления следующим образом:

   • $S=\pi r^{2}$
   • $S=\pi 10^{2}$
   • $S=100\pi$
4. 
   4
   Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = $100\pi$ мм².

   • Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо $\pi$ приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм².
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

По длине окружности

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:

   • $S={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
2. 
   2
   Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.

   • Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.
3. 
   3
   Используйте соотношение между длиной окружности и радиусом, чтобы переписать формулу. Длина окружности равна произведению числа Пи на диаметр. Это можно записать так: $C=\pi d$. Напомним, что диаметр равен удвоенному радиусу, то есть $d=2r$. Объедините эти равенства, чтобы записать следующую формулу: $C=\pi 2r$. Теперь изолируйте переменную $r$:

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$ (разделите обе стороны на 2$\pi$)
4. 
   4
   Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:

   • $S=\pi r^{2}$ (стандартная формула)
   • $S=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$ (вместо r подставили выражение)
   • $S=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$ (возвели в квадрат дробь)
   • $S={\frac {C^{2}}{4\pi }}$ (сократили $\pi$ в числителе и в знаменателе)
5. 
   5
   Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:

   • В нашем примере $C=42$ см.
   • $S={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $S={\frac {42^{2}}{4\pi }}$ (подставили значение)
   • $S={\frac {1764}{4\pi }}$ (вычислили 42²)
   • $S={\frac {441}{\pi }}$ (разделили на 4)
6. 
   6
   Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и $\pi$, ответ можно записать с $\pi$ в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).

   • В нашем примере (С = 42 см) S = ${\frac {441}{\pi }}$ см².
   • Или так: S = ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3,14}}=140,4$ см².
   Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

По площади сектора круга

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15$\pi$ см². Найдите площадь всего круга».
2. 
   2
   Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.
3. 
   3
   Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.

   • Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
   • Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.
4. 
   4
   Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга:

   • $S_{kr}=S_{sek}{\frac {360}{C}}$
     • $S_{kr}$ – площадь круга
     • $S_{sek}$ – площадь сектора
     • $C$ – центральный угол
5. 
   5
   Подставьте известные значения и найдите площадь круга. В нашем примере известно, что центральный угол равен 45 градусов, а площадь сектора равна 15$\pi$. Подставьте эти значения в формулу:

   • $S_{kr}=S_{sek}{\frac {360}{C}}$
   • $S_{kr}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $S_{kr}=15\pi (8)$
   • $S_{kr}=120\pi$
6. 
   6
   Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120$\pi$ см². Так как площадь сектора дана с постоянной $\pi$, скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.

   • Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см².
   Реклама