Télécharger l'articleTélécharger l'articleCet article a été coécrit par Grace Imson, MA. Grace Imson est professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l'enseignement. Grace est actuellement professeure de mathématiques au City College de San Francisco et était auparavant dans le département de mathématiques de l'université de Saint Louis. Elle a enseigné cette matière au niveau élémentaire, moyen, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation, avec une spécialisation en administration et en supervision, de l'université de Saint Louis.
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L'écart-type est une mesure de la dispersion des données dans un échantillon donné [1]. Pour le calculer, que ce soit pour une série de données ou pour un échantillon issu de cette série, il faut faire quelques calculs préliminaires. Ainsi, il vous faudra en premier la moyenne et la variance de l'échantillon. Vous pourrez ensuite calculer l'écart-type. La variance, quant à elle, est la mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne de l'échantillon [2]. Côté calcul, l'écart-type s'obtient en prenant la racine carrée de la variance de votre échantillon. Dans cet article, nous verrons comment on calcule la moyenne, la variance et enfin, l'écart-type.
Étapes
Observez de près votre échantillon. C'est une étape incontournable en statistiques, même si vous n'avez à calculer que des valeurs simples comme une moyenne ou une médiane [3].- Comptez le nombre d'éléments de votre série.
- Vos valeurs sont-elles très dispersées ou sont-elles, au contraire, très resserrées, n'ayant entre elles que quelques unités, voire quelques décimales, d'écart ?
- Connaissez la nature des données que vous allez manipuler. Que représentent les valeurs de votre échantillon ? Sont-ce des notes scolaires, des hauteurs, des fréquences cardiaques, des poids ?
- Prenons comme exemple la série de notes scolaires suivante : 10, 8, 10, 8, 8 et 4.
Rassemblez toutes vos données. La valeur de chaque élément de l'échantillon est nécessaire au calcul de la moyenne [4].- La moyenne exprime la grandeur qu'aurait chacun des éléments de votre échantillon s'ils étaient tous identiques.
- Elle se calcule en additionnant toutes les valeurs de l'échantillon, puis en divisant ce résultat par la taille (n) du même échantillon.
- On a 6 notes dans notre échantillon (10, 8, 10, 8, 8, 4), donc, n = 6.
Additionnez toutes les valeurs de votre échantillon. C'est la première étape avant le calcul de la moyenne arithmétique [5].- Reprenons notre échantillon. Nous étions partis de la série de notes suivante : 10, 8, 10, 8, 8 et 4.
- 10 + 8 + 10 + 8 + 8 + 4 = 48. Ce nombre est la somme de toutes les notes de l'échantillon.
- Vérifiez que vous avez additionné les bons nombres et fait les bons calculs.
Divisez cette somme par la taille de l'échantillon (n). Vous obtiendrez ainsi la note moyenne de votre échantillon [6].- Dans notre échantillon de notes (10, 8, 10, 8, 8 et 4), on compte 6 éléments, donc n = 6.
- La somme de toutes les notes est de 48, on l'a calculée précédemment. Vous devez donc diviser 48 par n pour trouver la moyenne.
- 48 / 6 = 8
- La moyenne des notes de l'échantillon est de 8.
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Trouvez la variance. La variance est la mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne de l'échantillon [7].- Cette mesure permet de se faire une idée de la dispersion des notes.
- Un échantillon avec une petite variance contient des données très proches de la moyenne de l'échantillon.
- Un échantillon avec une grande variance contient des données assez éloignées de la moyenne de l'échantillon.
- Cette variance est souvent utilisée pour comparer entre elles deux séries de données ou deux échantillons.
Soustrayez de chaque donnée étudiée la moyenne. Vous aurez ainsi une idée de la dispersion de vos données par rapport à la moyenne [8].- La moyenne de notre échantillon de notes (10, 8, 10, 8, 8 et 4) est de 8.
- On fait donc les calculs suivants :
10 - 8 = 2 ; 8 - 8 = 0 ; 10 - 8 = 2 ; 8 - 8 = 0 ; 8 - 8 = 0 et 4 - 8 = -4. - Vérifiez ces calculs pour voir s'il n'y a pas d'erreurs. En effet, de ces résultats, vont dépendre les calculs suivants.
Élevez au carré tous ces résultats. Vous aurez besoin de chacune de ces valeurs pour calculer la variance de votre échantillon [9].- Précédemment, nous avions soustrait de chaque donnée de l'échantillon (10, 8, 10, 8, 8 et 4) la moyenne (8), ce qui nous avait donné : 2, 0, 2, 0, 0 et -4.
- Maintenant, pour calculer la variance, vous devez élever au carré ces valeurs : 22, 02, 22, 02, 02 et (-4)2 = 4, 0, 4, 0, 0 et 16.
- Avant d'aller plus loin, vérifiez vos calculs pour voir s'il n'y a pas d'erreurs.
Faites-en la somme. C'est ce qu'on appelle « la somme des carrés » [10].- Pour nos notes, les carrés sont les suivants : 4, 0, 4, 0, 0 et 16.
- Souvenez-vous : on a soustrait de chaque note la moyenne, puis on a élevé le résultat au carré. La somme des carrés se présente ainsi : (10 - 8)2+ (8 - 8)2+ (10 - 2)2+ (8 - 8)2+ (8 - 8)2+ (4 - 8)2
- 4 + 0 + 4 + 0 + 0 + 16 = 24
- La somme des carrés est 24.
Divisez la somme des carrés par (n - 1). Souvenez-vous : n est la taille de l'échantillon (nombre d'éléments qui le composent). En faisant ce calcul, vous obtenez la variance [11].- Dans notre échantillon de notes (10, 8, 10, 8, 8 et 4), il y a 6 éléments.
Ainsi, n = 6. - n - 1 = 6 - 1 = 5
- La somme des carrés était de 24.
- 24 / 5 = 4,8
- La variance de notre échantillon est donc de 4,8.
Publicité- Dans notre échantillon de notes (10, 8, 10, 8, 8 et 4), il y a 6 éléments.
Vous devez avoir la valeur de la variance. Elle est nécessaire au calcul de l'écart-type de l'échantillon que vous étudiez [12].- Souvenez-vous : la variance mesure la dispersion des données par rapport à la moyenne.
- L'écart-type est assez similaire, puisqu'il est une mesure de dispersion de données dans un échantillon donné.
- Pour notre échantillon de notes, la variance était de 4,8.
Prenez la racine carrée de la variance. Ce calcul vous donne l'écart-type [13].- Normalement, au moins 68% des valeurs de l'échantillon se trouvent à moins d'un écart-type de la moyenne.
- Souvenez-vous : dans notre échantillon de notes, la variance était de 4,8.
- √4,8 = 2,19. L'écart-type de notre échantillon de notes est donc de 2,19.
- 5 des 6 notes (soit 83%) de notre échantillon (10, 8, 10, 8, 8 et 4) est à moins d'un écart-type (2,19) de la moyenne (8).
Refaites vos calculs de la moyenne, de la variance, puis de l'écart-type (qui dépend des deux premiers). Ainsi, vous serez sûr d'avoir le bon écart-type [14].- Inscrivez noir sur blanc tous les calculs, que vous les fassiez à la main ou avec une calculatrice.
- Si, lors de vos vérifications de la moyenne, de la variance et de l'écart-type, vous trouvez des valeurs différentes, reprenez tous vos calculs depuis le début.
- Si vous ne trouvez pas l'origine de l'erreur, il faut tout reprendre depuis le début une troisième fois.
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Références
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
À propos de ce How.com.vn
Pour calculer un écart-type, commencez par calculer la moyenne arithmétique des données de votre échantillon. Soustrayez cette moyenne de chacune des données de l'échantillon, élevez chaque résultat au carré. Faites la somme de tous ces carrés et divisez-la par « n » moins 1, « n » étant l'effectif de l'échantillon, soit le nombre de données. Enfin, prenez la racine carrée de ce résultat, ce qui vous donnera l’écart-type. Pour comprendre le calcul d'un écart-type à travers des exercices, poursuivez la lecture de l'article !
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