कैसे वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करें (Kaise, Calculate, Area of a Circle)

आपको दी गई इन्फॉर्मेशन के बेसिस पर किसी सर्कल या वृत्त का एरिया निकालना, किसी भी जियामेट्री (geometry) क्लास में मिलने वाली एक कॉमन प्रॉब्लम है। आपको सर्कल के एरिया को निकालने के लिए मौजूद फॉर्मूला, $A=\pi r^{2}$ मालूम होना चाहिए। ये फॉर्मूला काफी सिंपल है और एरिया निकालने के लिए इसमें आपको सिर्फ रेडियस (त्रिज्या) की जरूरत पड़ती है। हालाँकि, इसके लिए कभी-कभी आपको दिये हुए डेटा को उन टर्म्स में बदलना पड़ता है, जो आपको इस फॉर्मूला का इस्तेमाल करने में मदद कर सकें।

विधि 1

विधि 1 का 4:

एरिया निकालने के लिए रेडियस या त्रिज्या का इस्तेमाल करना (Using Radius to Find Area)

आर्टिकल डाउनलोड करें

1
सर्कल की रेडियस को पहचानें: किसी भी सर्कल के सेंटर या केंद्र से उसकी एज या किनारे तक की लंबाई या दूरी को रेडियस कहते हैं। आप इसे चाहे किसी भी दिशा में नाप सकते हैं और आपको हर बार एक ही जैसी रेडियस मिलेगी। एक रेडियस, सर्कल के डायमीटर या व्यास का आधा भी होती है। सर्कल के सेंटर से 180 डिग्री के एंगल से गुजरती हुई एक सीधी लाइन, और जो सर्कल के दोनों किनारों को जोड़ती है, उसे डायमीटर या व्यास कहते हैं।^{[१]Xरिसर्च सोर्स}
- आमतौर पर आपको रेडियस दी हुई होती है। अगर पेपर पर बने हुए सर्कल पर आपके लिए पहले से ही सेंटर मार्क न किया गया हो, तो फिर ऐसे में सर्कल के एकदम सटीक सेंटर को निकालना काफी मुश्किल हो सकता है।
- इस उदाहरण के लिए, ऐसा मानकर चलें, कि आपको बताया गया है, कि सर्कल की रेडियस 6 cm है।
2
अब रेडियस का स्क्वेर (Square) कर दें: सर्कल का एरिया निकालने का फॉर्मूला $A=\pi r^{2}$ $How.com.vn हिन्द: A=\pi r^{2}$ होता है, जहाँ पर $r$ $How.com.vn हिन्द: r$ सर्कल की रेडियस को रिप्रेजेंट करता है। इस वेरिएबल का स्क्वेर किया गया है।^{[२]Xरिसर्च सोर्स}
- पूरी इक़्वेशन को स्क्वेर करने का कन्फ़्यूजन लेकर न चलें, आपको सिर्फ रेडियस का स्क्वेर ही करना है।
- उदाहरण में दिये हुए सर्कल की रेडियस, $r=6$ है, तो इसका स्क्वेर $r^{2}=36$ हो जाएगा।
3
पाइ (Pi) से मल्टीप्लाय (गुणा) करें: पाइ, जिसे ग्रीक लैटर $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ में लिखा जाता है, ये एक मेथामेटिकल कॉन्स्टेंट होता है, जो कि सर्कल के सर्कम्फ़रेंस (परिधि) और डायमीटर के बीच का रेशो दर्शाता है।^{[३]Xरिसर्च सोर्स} डेसिमल का अनुमान लगाने के हिसाब से, $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ की वैल्यू लगभग 3.14 होती है। इसकी असली डेसिमल वैल्यू इंफिनिटी तक चलते जाती है। सर्कल के एरिया के लिए लिखे जाने वाले एकदम एग्जेक्ट स्टेटमेंट में, आमतौर पर आपको आपके जवाब में $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ सिंबल भी लिखना होता है।^{[४]Xरिसर्च सोर्स}
- दिये हुए 6 cm रेडियस वाले उदाहरण के लिए, एरिया को कुछ इस तरह से कैलकुलेट किया जाएगा:
  - $A=\pi r^{2}$
  - $A=\pi 6^{2}$
  - $A=36\pi$ या $A=36(3.14)=113.04$
4
अपना रिजल्ट लिखें: याद रखिए, एरिया के कैलकुलेशन में यूनिट को “स्क्वेर (square)” में लिखा जाना होता है। अगर रेडियस को सेंटीमीटर्स में मापा गया है, तो इसका एरिया स्क्वेर सेंटीमीटर्स होगा। अगर रेडियस को फीट में मापा गया है, तो इसका एरिया स्क्वेर फीट होगा। आपको ये भी जानना होगा, कि रिजल्ट को $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ सिंबल के साथ में रिपोर्ट करना है या फिर न्यूमेरिकल एप्रोक्सिमेशन के साथ देना है। अगर आपको नहीं मालूम है, तो आपको दोनों ही तरह से दे देना चाहिए।^{[५]Xरिसर्च सोर्स}
- दिये हुए 6 cm रेडियस वाले उदाहरण के लिए एरिया, या तो 36 $\pi$ cm² होगा या फिर 113.04 cm² होगा।

विधि 2

विधि 2 का 4:

डायमीटर या व्यास से एरिया कैलकुलेट करना (Calculating Area from the Diameter)

आर्टिकल डाउनलोड करें

1
डायमीटर (Diameter) को मापें या याद रखें: कुछ प्रॉब्लम्स या जगहों में आपको रेडियस नहीं दी गई होगी। इसकी जगह पर आपको सर्कल का डायमीटर दिया गया होगा। अगर आपको दिये हुए सर्कल पर डायमीटर बना हुआ है, तो आप उसे स्केल या रूलर के सहारे नाप सकते हैं। इसके अलावा, हो सकता है, कि आपको डायमीटर की वैल्यू दी गई हो।
- उदाहरण के लिए, मान लीजिये कि आपको आपके सर्कल का डायमीटर 20 इंचेस (inches) दिया हुआ है।
2
डायमीटर को आधे से डिवाइड (भाग) कर दें: याद रखें, कि डायमीटर का माप हमेशा ही रेडियस के माप से दोगुना होता है। इसलिए, आपको डायमीटर की चाहे जो भी वैल्यू दी हुई हो, उसे आधे में बाँट लें, और आपको रेडियस मिल जाएगी।
- अब, आपको दिये हुए सैंपल सर्कल, जिसकी डायमीटर 20 इंचेस है, अब उसकी रेडियस 20/2, या 10 इंचेस हो जाएगी।
3
एरिया के ओरिजनल फॉर्मूला का इस्तेमाल करें: डायमीटर को रेडियस में कन्वर्ट करने के बाद, अब आप सर्कल का एरिया कैलकुलेट करने के लिए, $A=\pi r^{2}$ $How.com.vn हिन्द: A=\pi r^{2}$ फॉर्मूला का इस्तेमाल करने को तैयार हैं। यहाँ पर रेडियस की वैल्यू डालें और बाकी के कैलकुलेशन को कुछ ऐसे परफ़ोर्म करें:
- $A=\pi r^{2}$
- $A=\pi 10^{2}$
- $A=100\pi$
4
एरिया की वैल्यू को रिपोर्ट करें: याद करें, कि एरिया को हमेशा स्क्वेर यूनिट्स में ही रिपोर्ट किया जाता है। इस उदाहरण में डायमीटर को इंचेस में मापा गया है, इसलिए रेडियस भी इंचेस में ही होगी। तो इसलिए, एरिया को स्क्वेर इंचेस में रिपोर्ट किया जाएगा। इस उदाहरण के लिए, एरिया $100\pi$ $How.com.vn हिन्द: 100\pi$ sq. in होगा।
- अगर आप चाहें तो $\pi$ की जगह पर 3.14 से मल्टीप्लाय करके, न्यूमेरिकल एप्रोक्सिमेशन भी दे सकते हैं। इससे आपको रिजल्ट के तौर पर (100)(3.14) = 314 sq. in मिलेगा।

विधि 3

विधि 3 का 4:

सर्कम्फ़रेंस या परिधि के जरिये एरिया कैलकुलेट करना (Using Circumference to Calculate Area)

आर्टिकल डाउनलोड करें

1
रिवाइज्ड फॉर्मूला सीखें: अगर आपको सर्कल का सर्कम्फ़रेंस मालूम है, तो आप एरिया निकालने के लिए, फॉर्मूला के रिवाइज्ड वर्जन का इस्तेमाल भी कर सकते हैं। इस रिवाइज्ड फॉर्मूला में, एरिया के लिए रेडियस की बजाय सीधे सर्कम्फ़रेंस का इस्तेमाल होता है। ये नया फॉर्मूला कुछ ऐसा होगा:
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
2
सर्कम्फ़रेंस को मापें या रिकॉर्ड करें: असल दुनिया की कुछ परिस्थितियों में, आप एकदम सही ढंग से रेडियस या डायमीटर को नहीं माप सकेंगे। अगर आपके लिए डायमीटर नहीं दिया गया होगा, या फिर सेंटर का कोई अंदाज़ा ही नहीं होगा, तो ऐसे में आपके लिए सर्कल के सेंटर को निकाल पाना काफी मुश्किल हो जाएगा। उदाहरण के लिए एक पिज्जा पैन या फ्राइंग पैन - जैसे कुछ फिजिकल सर्कल्स के लिए - आप एक टेप मेजर का इस्तेमाल कर सकते हैं और इनकी सर्कम्फ़रेंस को, इनकी डायमीटर से कहीं ज्यादा आसानी से माप सकते हैं।^{[६]Xरिसर्च सोर्स}
- इस उदाहरण के लिए, ऐसा मानें, कि आपको उस सर्कल (या सर्कल जैसी किसी चीज़) की सर्कम्फ़रेंस 42 cm दी हुई है या फिर मापी गई है।
3
फॉर्मूला बनाने के लिए, सर्कम्फ़रेंस और रेडियस के बीच के रिलेशनशिप का इस्तेमाल करें: सर्कल का सर्कम्फ़रेंस, उसके डायमीटर के पाइ (pi) गुणा होता है। इसे $C=\pi d$ $How.com.vn हिन्द: C=\pi d$ भी लिखा जा सकता है। फिर याद करें, कि डायमीटर, रेडियस का दोगुना या $d=2r$ $How.com.vn हिन्द: d=2r$ होता है। फिर आप इन दोनों को मिलाकर, कुछ ऐसी एक इक़्वेशन: $C=\pi 2r$ $How.com.vn हिन्द: C=\pi 2r$ बना सकते हैं। इसमें से वेरिएबल $r$ $How.com.vn हिन्द: r$ को अलग करने के लिए, कुछ ऐसे रिअरेंज करें:^{[७]Xरिसर्च सोर्स}
- $C=\pi 2r$
- ${\frac {C}{2\pi }}=r$ ….. (दोनों साइड्स को 2 $\pi$ से डिवाइड कर दें)
4
इस फॉर्मूला को सर्कल का एरिया निकालने के फॉर्मूला में बदलें: आप सर्कम्फ़रेंस और रेडियस के बीच के रिलेशनशिप का इस्तेमाल करके, सर्कल का एरिया निकालने के फॉर्मूला का एक अलग वर्जन तैयार कर सकते हैं। अभी हाल ही में मिली हुई इक़्वेलिटी को, ओरिजिनल फॉर्मूला में कुछ इस तरह से डालें:^{[८]Xरिसर्च सोर्स}
- $A=\pi r^{2}$ …..(एरिया का ओरिजिनल फॉर्मूला)
- $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$ ….. (r के की जगह पर इक्वेलिटी डालें)
- $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$ …..(फ्रैक्शन का स्क्वेर)
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$ …..(न्यूमरेटर आर डिनोमिनेटर में $\pi$ कैन्सल करें)
5
एरिया निकालने के लिए, रिवाइज्ड फॉर्मूला इस्तेमाल करना: रिवाइज्ड फॉर्मूला, जिसमें रेडियस की जगह पर सर्कम्फ़रेंस लिखा गया है, इस्तेमाल करके आप दी हुई इन्फॉर्मेशन का इस्तेमाल कर सकते हैं और सीधे एरिया निकाल सकते हैं। सर्कम्फ़रेंस की वैल्यू डालें और कुछ इस तरह से कैलकुलेशन करें:^{[९]Xरिसर्च सोर्स}
- इस सैंपल में, आपको $C=42$ इंचेस दिया हुआ है।
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
- $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$ …..(वैल्यू डालें)
- $A={\frac {1764}{4\pi }}$ .….(42² कैलकुलेट किया)
- $A={\frac {441}{\pi }}$ …..(4 से डिवाइड किया)
6
अपने रिजल्ट को रिपोर्ट करें: अगर आपको सर्कम्फ़रेंस में $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ का मल्टीपल नहीं दिया गया होगा, तो आपके रिजल्ट एक फ्रैक्शन की तरह होगा, जिसके डिनोमरेटर में $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ होगा। इसके होने में कोई खराबी नहीं है। आपको आपका एरिया या तो इसी हिसाब से रिपोर्ट करना चाहिए, या फिर फिर इसे 3.14 से डिवाइड करके इसकी एप्रोक्सिमेट वैल्यू निकाल लेना चाहिए।^{[१०]Xरिसर्च सोर्स}
- 42 cm सर्कम्फ़रेंस वाले दिये हुए इस सैंपल सर्कल के लिए एरिया, ${\frac {441}{\pi }}$ sq. cm होगा।
- अगर आप इसे एप्रोक्सिमेट ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140.4$ तक पाते हैं। तो फिर इसका एरिया लगभग 140 sq. cm तक होगा।

विधि 4

विधि 4 का 4:

सर्कल के किसी भाग या सेक्टर से एरिया निकालना (Finding Area from a Sector of the Circle)

आर्टिकल डाउनलोड करें

कुछ प्रॉब्लम्स में आपको सर्कल के किसी भाग के बारे में इन्फॉर्मेशन दी गई होगी और फिर आप से पूरे सर्कल का एरिया निकालने को कहा जाएगा। प्रॉब्लम को ध्यान से पढ़ लें, और उसमें कुछ ऐसी इन्फॉर्मेशन की तलाश करें, जिस पर ऐसा कुछ लिखा हो, “एक सर्कल O के एक हिस्से का एरिया 15 $\pi$ cm² है। सर्कल O का एरिया निकालें।”^{[११]Xरिसर्च सोर्स}
एक सेक्टर, किसी सर्कल का ही एक हिस्सा होता है, जिसे कभी-कभी एक “वेज़ (wedge)” के नाम से भी जाना जाता है। सेक्टर को, सर्कल के अंदर ही सेंटर से बाहर किनारे तक दो रेडियस बनाकर डिफ़ाइन किया जाता है। इन दोनों रेडियस के बीच के भाग को सेक्टर कहा जाता है।^{[१२]Xरिसर्च सोर्स}
3
सेक्टर के बीच के एंगल को मापें: इन दोनों रेडियस के बीच में बने हुए एंगल्स को प्रोटेक्टर (protractor) की मदद से माप लें। प्रोटेक्टर के बेस को, प्रोटेक्टर के सेंट्रल पॉइंट को दोनों रेडियस के सेंटर पर रखकर, दोनों में से किसी एक रेडियस पर रखें। फिर सेक्टर के द्वारा बनाए जा रहे एंगल को मापने के लिए, दूसरी रेडियस के साथ में बनने वाले एंगल का मान लिखें।^{[१३]Xरिसर्च सोर्स}
- इस बात की पुष्टि जरूर कर लें, कि आप दोनों रेडियस के बीच के छोटे एंगल को माप रहे हैं या फिर बड़े एंगल को माप रहे हैं। आप जिस प्रॉब्लम पर काम कर रहे हैं, इसके बारे में दर्शाया गया होगा। छोटे और बड़े एंगल को जोड़ने पर 360 डिग्री आना चाहिए।
- कुछ प्रॉब्लम्स में, सेंट्रल एंगल का माप लेने की बजाय, सामने मौजूद प्रॉब्लम खुद ही आपको इसकी जानकारी दे देगी। उदाहरण के लिए, हो सकता है कि आपको बताया गया हो, कि “सेक्टर का सेंट्रल एंगल 45 डिग्री का है” या आपको इसे निकालने को कहा गया हो।
4
एरिया के लिए बनाए हुए फॉर्मूला का इस्तेमाल करें: जब आपको सेक्टर का एरिया और इसके एंगल का माप मालूम हो, तब आप सर्कल का एरिया निकालने के लिए इस फॉर्मूला को इस्तेमाल कर सकते हैं:^{[१४]Xरिसर्च सोर्स}
- $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$ $How.com.vn हिन्द: A_{{cir}}=A_{{sec}}{\frac {360}{C}}$
  - $A_{cir}$ पूरे सर्कल का एरिया है
  - $A_{sec}$ सेक्टर का एरिया है
  - $C$ सेंट्रल एंगल का माप
5
आपको जो वैल्यू मालूम हैं, उन्हें एंटर करें और एरिया निकालें: इस उदाहरण में, आपको बताया गया है, कि सेंट्रल एंगल 45 डिग्री का है और सेक्टर का एरिया 15 $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ है। इन सबको इस फॉर्मूला में डालें और इस तरह से सॉल्व करें:^{[१५]Xरिसर्च सोर्स}
- $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
- $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
- $A_{cir}=15\pi (8)$
- $A_{cir}=120\pi$
6
रिजल्ट रिपोर्ट करें: इस उदाहरण के लिए, सेक्टर पूरे सर्कल का आठवाँ भाग है। इसलिए, पूरे सर्कल का एरिया 120 $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ cm² होगा। जैसे कि, सेक्टर का एरिया $\pi$ $How.com.vn हिन्द: \pi$ की टर्म में दिया गया है, तो आप ऐसा मान सकते हैं, कि आपको पूरे सर्कल के एरिया को भी इसी तरह से रिपोर्ट करना चाहिए।^{[१६]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर आप एक न्यूमेरिकल वैल्यू रिपोर्ट करना चाहते हैं, तो इसके लिए आप 120 x 3.14 मल्टीप्लाय करके, 376.8 cm² वैल्यू पा सकते हैं।