Kreisfläche berechnen

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In diesem Artikel:

Die Fläche mithilfe des Radius finden

Die Fläche mit dem Durchmesser berechnen

Dem Umfang verwenden, um die Fläche zu berechnen

Die Fläche eines Kreisausschnittes berechnen

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Literaturhinweise

Zusammenfassung

Eine Aufgabe, die im Geometrieunterricht oft gestellt wird, ist, die Fläche eines Kreises anhand von gegebenen Informationen zu berechnen. Dafür musst du die Formel zum Berechnen einer Kreisfläche kennen, $A=\pi r^{2}$. Die Formel ist einfach und man braucht nur den Radius des Kreises, um seine Fläche herauszufinden. Du solltest jedoch auch üben, andere Angaben in mathematische Begriffe umzuwandeln, die du für diese Formel verwenden kannst.

Vorgehensweise

Methode 1

Methode 1 von 4:

Die Fläche mithilfe des Radius finden

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   Ermittle den Radius des Kreises. Der Radius ist die Strecke von der Kreismitte bis zum Rand des Kreises. Du kannst den Radius in jede Richtung messen und er wird immer gleich sein. Er ist außerdem die Hälfte des Durchmessers des Kreises. Der Durchmesser ist die Strecke, die durch die Mitte verläuft und zwei entgegengesetzte Seiten des Kreises miteinander verbindet.

   • Der Radius ist in der Regel angegeben. Es kann schwierig sein, exakt bis zur Mitte des Kreises zu messen, außer der Mittelpunkt ist bei einem aufgezeichneten Kreis bereits für dich markiert.
   • Nehmen wir bei diesem Beispiel an, dir wird gesagt, dass der Radius eines vorgegebenen Kreises 6 cm ist.
2. 
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   Quadriere den Radius. Die Formel zum Berechnen der Kreisfläche lautet $A=\pi r^{2}$, wobei die Variable $r$ den Radius darstellt. Diese Variable steht im Quadrat.

   • Komme nicht durcheinander und quadriere die gesamte Gleichung.
   • Bei dem Kreis mit einem Radius $r=6$ ist $r^{2}=36$.
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   Multipliziere mit Pi. Pi, als Symbol mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ ausgedrückt, ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises darstellt. Als dezimaler Annäherungswert beträgt $\pi$ ungefähr 3,14. Der echte Dezimalwert von Pi geht unendlich weiter. Für eine präzise Angabe zu der Fläche eines Kreises gibt man die Lösung normalerweise mit dem Symbol $\pi$ an.

   • In dem genannten Beispiel mit einem Radius von 6 cm wird die Fläche so berechnet:
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$ oder $A=36(3,14)=113,04$
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   Gib das Ergebnis an. Denke daran, dass die Berechnung einer Fläche in „Quadrateinheiten“ angegeben wird. Wenn der Radius in Zentimetern gemessen wurde, steht die Fläche in Quadratzentimetern. Wenn der Radius in Fuß gemessen wurde, ist die Fläche in Quadratfuß. Du solltest auch wissen, ob du das Ergebnis mit dem Symbol $\pi$ oder dem in Zahlen ausgedrückten Annäherungswert angeben sollst. Wenn du es nicht weißt, gib beide an.

   • Bei dem Beispielkreis mit einem Radius von 6 cm beträgt die Fläche entweder 36$\pi$ cm² oder 113,04 cm².
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Methode 2

Methode 2 von 4:

Die Fläche mit dem Durchmesser berechnen

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   Miss den Durchmesser ab oder finde ihn in der Angabe. In manchen Aufgaben oder Situationen könnte nicht der Radius angegeben sein, sondern stattdessen der Durchmesser des Kreises. Wenn der Durchmesser in einer Abbildung angezeichnet ist, kannst du ihn mit einem Lineal messen. Sonst könnte der Wert auch einfach angegeben sein.

   • Nehmen wir in diesem Beispiel an, der Durchmesser des Kreises ist 20 Zentimeter.
2. 
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   Halbiere den Durchmesser. Denke daran, dass der Durchmesser zweimal dem Radius entspricht. Deswegen kannst du den Wert, den du für den Durchmesser erhalten hast, halbieren und erhältst so den Radius.

   • Der Beispielkreis mit einem Durchmesser von 20 cm hat somit einen Radius von 20/2 oder 10 cm.
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   Verwende die normale Formel für die Fläche. Nachdem du den Radius aus dem Durchmesser abgeleitet hast, kannst du die Formel $A=\pi r^{2}$ anwenden, um die Fläche des Kreises zu berechnen. Setze den Wert für den Radius ein und führe folgendermaßen die Berechnungen aus:

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   Gib den Wert der Fläche an. Erinnere dich, dass die Fläche in Quadrateinheiten angegeben wird. In diesem Beispiel stand der angegebene Durchmesser in Zentimetern, der Radius ist also ebenfalls in Zentimetern. Also wird die Fläche in Quadratzentimetern angegeben. In diesem Beispiel beträgt die Fläche $100\pi$ cm².

   • Du kannst auch einen numerischen Annäherungswert berechnen, indem du mit 3,14 multiplizierst, statt das Ergebnis mit $\pi$ anzugeben. Damit erhältst du das Ergebnis (100)(3,14) = 314 cm²
   EXPERTENRAT

   

   Grace Imson, MA

   Mathelehrerin, City College of San Francisco

   Grace Imson ist Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist zurzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Mittelschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Masterabschluss in Erziehungswissenschaft, spezialisiert auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.

   

   Grace Imson, MA
   Mathelehrerin, City College of San Francisco

   Einer der häufigsten Fehler, wenn der Durchmesser verwendet wird, ist zu vergessen, den Nenner zu quadrieren. Wenn du den Durchmesser nicht durch 2 teilst, um den Radius zu finden, kannst du auch so die Fläche des Kreises finden. Du musst die Formel aber so abändern, dass du 'd' quadrierst, sonst ist das Ergebnis falsch.

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Methode 3

Methode 3 von 4:

Dem Umfang verwenden, um die Fläche zu berechnen

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1. 
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   Lerne die veränderte Formel. Wenn du den Umfang eines Kreises kennst, kannst du eine veränderte Formel für die Fläche des Kreises verwenden. Bei dieser Formel wird direkt der Umfang verwendet, ohne dass man vorher den Radius herausfindet. Die neue Formel lautet:

   • $A={\frac {U^{2}}{4\pi }}$
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   Miss den Umfang ab oder finde ihn in der Angabe. In manchen Situationen des echten Lebens kannst du den Durchmesser oder Radius vielleicht nicht genau messen. Wenn der Durchmesser nicht für dich eingezeichnet ist oder die Mitte gekennzeichnet ist, kann es schwer sein, der Mitte nahe zu kommen. Bei manchen echten Kreisen – einem Pizzablech oder einer Bratpfanne zum Beispiel – könntest du ein Maßband verwenden und den Umfang präziser messen als den Durchmesser.

   • In diesem Beispiel nehmen wir an, dir wurde gesagt oder du hast gemessen, dass der Umfang eines Kreises (oder eines runden Gegenstandes) 42 cm ist.
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   Verwende das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Radius, um die Formel umzuformen. Der Umfang eines Kreises entspricht Pi mal dem Durchmesser. Das kann als $C=\pi d$ geschrieben werden. Erinnere dich dann daran, dass der Durchmesser gleich zweimal der Radius ist oder $d=2r$. Du kannst diese zwei Merkmale verbinden und das folgende Verhältnis aufstellen: $C=\pi 2r$. Stelle diese Formel so um, dass du die Variable $r$ isolierst:

   • $U=\pi 2r$
   • ${\frac {U}{2\pi }}=r$….. (teile beide Seiten durch 2$\pi$)
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   Setze das in die Formel für die Kreisfläche ein. Du kannst eine veränderte Version der Formel für die Fläche eines Kreises erstellen, indem du das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Radius verwendest. Setze die neue Gleichung in die ursprüngliche Formel für die Kreisfläche ein, wie folgt:

   • $A=\pi r^{2}$…..(ursprüngliche Formel für die Fläche)
   • $A=\pi ({\frac {U}{2\pi }})^{2}$….. (r durch die Gleichung ersetzen)
   • $A=\pi ({\frac {U^{2}}{4\pi ^{2}}})$…..(den Bruch quadrieren)
   • $A={\frac {U^{2}}{4\pi }}$…..(streiche $\pi$ im Zähler und Nenner)
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   5
   Verwende die überarbeitete Formel, um die Fläche zu berechnen. Mithilfe der überarbeiteten Formel, bei der du den Umfang anstelle des Radius verwendet hast, kannst du die angegebenen Informationen verwenden und die Fläche direkt ausrechnen. Setze den Wert für den Umfang ein und führe die Rechnungen wie folgt aus:

   • In diesem Beispiel war der Umfang mit $U=42cm$ angegeben
   • $A={\frac {U^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$…..(setze den Wert ein)
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$.….(berechne 42²)
   • $A={\frac {441}{\pi }}$…..(teile durch 4)
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   Gib das Ergebnis an. Außer wenn dir gesagt wurde, dass der Umfang ein Vielfaches von $\pi$ ist, wird das Ergebnis vermutlich ein Bruch mit $\pi$ im Nenner sein. Daran ist nichts falsch. Du solltest deine Berechnung der Fläche mit diesem Wert angeben oder du kannst eine Annäherung finden, indem du durch 3,14 teilst.

   • Bei diesem Beispielkreis mit einem Umfang von 42 cm ist die Fläche ${\frac {441}{\pi }}$ cm².
   • Wenn du einen Annäherungswert ausrechnest, ist ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3,14}}=140,4$. Die Fläche entspricht ungefähr 140 cm².
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Methode 4

Methode 4 von 4:

Die Fläche eines Kreisausschnittes berechnen

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   Stelle fest, welche Informationen bekannt oder angegeben sind. In manchen Aufgaben könnten Informationen zu einem Ausschnitt des Kreises genannt werden und du wirst aufgefordert, die Fläche des ganzen Kreises herauszufinden. Lies dir die Aufgabe sorgfältig durch und suche nach Informationen wie „Ein Ausschnitt eines Kreises O hat die Fläche 15$\pi$ cm². Finde die Fläche des Kreises O.”
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   Definiere den gewählten Teilabschnitt. Der Ausschnitt eines Kreises ist ein Abschnitt, der manchmal auch mit einem Kuchenstück verglichen wird. Er wird dadurch abgegrenzt, dass zwei Radien von der Mitte aus zum Rand des Kreises gezeichnet werden. Der Platz zwischen diesen beiden Radien ist der Ausschnitt.
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   3
   Miss den Mittelpunktswinkel des Ausschnitts. Verwende einen Winkelmesser, um den Winkel zu messen, der durch die zwei Radien entsteht. Lege den Ansatz des Winkelmessers auf einen der Radien und den Mittelpunkt des Winkelmessers auf die Kreismitte. Lies dann das Winkelmaß ab, das der Position des zweiten Radius entspricht, der den Ausschnitt bildet.

   • Achte darauf, dass du weißt, ob du den kleinen Winkel zwischen den zwei Radien misst oder den größeren Winkel außen. Die Aufgabe, an der du arbeitest, sollte das für dich bestimmen. Die Summe des kleinen Winkels und des größeren Winkels beträgt 360 Grad.
   • In manchen Aufgaben könnte das Maß einfach angegeben sein, anstatt dass du den Winkel selber messen musst. Man könnte dir zum Beispiel sagen „Der Mittelpunktswinkel des Ausschnittes ist 45 Grad groß“ oder man könnte von dir erwarten, dass du ihn misst.
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   4
   Verwende eine umgewandelte Formel für die Fläche. Wenn du die Fläche eines Kreisausschnittes und die Größe seines Mittelpunktswinkel kennst, kannst du die folgende Formel verwenden, um die Fläche des Kreises herauszufinden:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cir}$ ist die Fläche des ganzen Kreises
     • $A_{sec}$ ist die Fläche des Ausschnittes
     • $C$ ist das Maß des Mittelpunktswinkels
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   Setze die Werte ein, die dir bekannt sind, um nach der Fläche zu lösen. In diesem Beispiel hat man dir gesagt, dass der Mittelpunktswinkel 45 Grad beträgt und dass der Ausschnitt eine Fläche von 15$\pi$ hat. Setze das in die Formel ein und löse wie folgt:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cir}=15\pi (8)$
   • $A_{cir}=120\pi$
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   Gib das Ergebnis an. In diesem Beispiel war der Ausschnitt ein Achtel des ganzen Kreises. Daher ist die Fläche des ganzen Kreises 120$\pi$ cm². Da die Fläche des Kreisausschnittes mit dem Wert $\pi$ angegeben war, kannst du davon ausgehen, dass die Fläche des ganzen Kreises auf dieselbe Weise angegeben werden soll.

   • Wenn du einen Zahlenwert angeben möchtest, kannst du 120 x 3,14 multiplizieren und du erhälst den Wert 376,8 cm².
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