Comment calculer l'aire d'un quadrilatère

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Calculer l'aire d'un parallélogramme

Calculer l'aire d'un trapèze

Calculer l'aire d'un cerf-volant

Calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque

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Références

Ainsi donc, vous avez un devoir à faire à la maison qui consiste à calculer l'aire d'un quadrilatère, mais si le sens du mot quadrilatère vous échappe complètement, ne vous inquiétez pas, car nous avons écrit cet article pour vous aider ! Un quadrilatère est une figure géométrique ayant quatre côtés. Par exemple, un carré, un rectangle ou un losange sont des quadrilatères. Pour trouver l'aire d'un quadrilatère, il suffit de reconnaitre le type de quadrilatère sur lequel vous travaillez. Ensuite, vous appliquez une simple formule, et le tour est joué !

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:

Calculer l'aire d'un parallélogramme

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   Sachez identifier un parallélogramme. Il s'agit d'un quadrilatère dans lequel les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. Les parallélogrammes comprennent les figures géométriques mentionnées ci-dessous.

   • Les carrés : ils sont représentés par une figure à quatre côtés égaux et quatre angles droits, c'est-à-dire égaux à 90°.
   • Les rectangles : ils sont représentés par une figure à quatre côtés dans laquelle les côtés opposés ont la même longueur et les quatre angles sont tous droits.
   • Les losanges : ils sont représentés par un quadrilatère à quatre côtés égaux ou encore un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur, les angles opposés sont égaux.
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   Multiplier la longueur et la largeur d'un rectangle. C'est ainsi que se calcule son aire. La longueur (notée $L$) est le côté le plus long (il y en a 2), tandis que la largeur (notée $l$) est le côté le plus court (il y en a 2 aussi). Le produit des deux donne l'aire du rectangle.

   • $A=longueur\times largeur=L\times l$
   • Exemple: si la longueur d'un rectangle est de 10 cm et sa largeur de 5 cm, son aire $A$ se calcule ainsi : $A=10\ cm\times 5\ cm=50\ cm^{2}$.
   • Une aire s'exprime toujours dans une unité élevée au carré, par exemple des centimètres carrés, des décimètres carrés, des mètres carrés, etc.
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   Multipliez le côté d'un carré par lui-même. C'est ainsi que l'on obtient son aire $A$. Cette formule ressemble assez à celle du rectangle à la différence près que dans un carré, la longueur est égale à la largeur. Le côté d'un carré est noté habituellement $a$, parfois $c$ .

   • $A=c{\hat {o}}t{\acute {e}}\times c{\hat {o}}t{\acute {e}}=a\times a=a^{2}$
   • Exemple : un carré de 4 m de côté a une aire $A$ de : $A=(4\ m)^{2}=16\ m^{2}$.
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   Multipliez les diagonales d'un losange et divisez par 2. C'est ainsi que l'on obtient son aire $A$. Avec un losange, les côtés ne servent à rien dans le calcul de l'aire ; ce sont les deux diagonales ($d_{1}$ et $d_{2}$), ces segments reliant deux sommets opposés. Vous les multipliez, puis vous divisez par 2 .

   • $A={\frac {diagonale\ 1\times diagonale\ 2}{2}}={\frac {d_{1}\times d_{2}}{2}}={\frac {d_{1}d_{2}}{2}}$
   • Exemple : un losange a deux diagonales, une de 6 m, l'autre de 8 m, son aire $A$ est donnée par l'expression : $A={\frac {6\ m\times 8\ m}{2}}={\frac {48\ m^{2}}{2}}=24\ m^{2}$.
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   Multipliez la base et sa hauteur dans un losange. c'est une autre façon de calculer l'aire du losange en question. La formule est :
   $A=base\times hauteur=bh$. Le lien entre une base et sa hauteur est que la hauteur est ce segment qui part de la base à angle droit (90°) et se finit, aussi à angle droit, sur le côté opposé et parallèle à la base. La hauteur n'est aucun cas, l'autre côté du losange. Ces deux mesures vous seront données ou vous devrez les mesurer sur la figure.

   • Exemple : les côtés d'un quadrilatère sont respectivement de 10 km et 5 km. Les côtés qui mesurent 10 km sont séparés par un segment dont la longueur est égale à 3 km. Pour trouver l'aire de ce quadrilatère, vous devez calculer l'expression suivante : $A=10\ km\times 3\ km=30\ km^{2}$.
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   Remarquez que le carré est une figure particulière. Précédemment, nous avons donné la formule de son aire, formule qui est le plus souvent utilisée pour son côté pratique, et avons souligné que l'on pouvait aussi utiliser la formule du rectangle à son endroit. Le carré répond exactement à la définition du losange : 4 côtés égaux et angles opposés égaux. Pour la beauté du geste et de la démonstration, voici les formules de calcul de l'aire $A$ d'un carré selon qu'il est considéré comme un rectangle, puis un losange.

   • $A=longueur\times largeur=L\times l$
   • $A={\frac {diagonale\ 1\times diagonale\ 2}{2}}={\frac {d_{1}\times d_{2}}{2}}={\frac {d_{1}d_{2}}{2}}$
   • Exemple : soit un quadrilatère à deux côtés adjacents de même longueur (4 m). Son aire se calcule ainsi : $A=4\ m\times 4\ m=16\ m^{2}$.
   • Exemple : les deux diagonales d'un carré mesurent 10 cm. L'aire de ce carré peut être trouvée avec la formule des diagonales :
     $A={\frac {10\ cm\times 10\ cm}{2}}={\frac {100\ cm^{2}}{2}}=50\ cm^{2}$.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:

Calculer l'aire d'un trapèze

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   Sachez comment identifier un trapèze. Un trapèze est un quadrilatère qui présente deux côtés parallèles et opposés (petite et grande base). Ses angles peuvent avoir n'importe quelle valeur. Ses quatre côtés peuvent avoir n'importe quelle longueur.

   • Vous pouvez calculer l'aire d'un trapèze de deux façons, selon les données que vous avez, ce que nous allons voir successivement, mais il faut en priorité définir la hauteur du trapèze.
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   Trouvez la hauteur du trapèze. Cette hauteur est représentée par une ligne perpendiculaire aux deux côtés parallèles. La longueur de cette ligne est différente de celle des côtés, car ceux-ci sont obliques. La hauteur est nécessaire dans les deux formules de calcul de l'aire d’un trapèze .

   • Repérez les deux bases, la petite et la grande. Ce sont donc les deux côtés opposés et parallèles. Vous allez tracer (ce n'est pas obligatoire !) un segment qui relie ces deux côtés, mais ce segment devra les couper tous deux à angle droit (90°). Mesurez sa longueur : c'est la hauteur recherchée.
   • Pour calculer cette hauteur, vous pouvez utiliser, quelque peu aménagé, le théorème de Pythagore ou la loi des sinus. Vous trouverez tout sur le sujet dans cet excellent article.
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   Trouvez l'aire $$ A {\displaystyle A} d'un trapèze en utilisant la hauteur et les bases. Si vous avez les mesures de la hauteur du trapèze et celles des deux bases, appliquez la formule suivante.

   • $A={\frac {grande\ base+petite\ base}{2}}\times h={\frac {B+b}{2}}\times h=={\frac {(B+b)h}{2}}$
   • Exemple 1 : vous avez un trapèze qui a une petite base qui fait 7 mètres de long, une grande base de 11 mètres et une hauteur de 2 mètres. Vous pouvez trouver son aire en faisant l'opération suivante :
     $A={\frac {7\ m+11\ m}{2}}\times 2\ m={\frac {18\ m}{2}}\times 2\ m=9\ m\times 2\ m=18\ m^{2}$.
   • Exemple 2 : vous avez un trapèze d'une hauteur de 10 m, une petite base de 7 m et une grande base de 9 m. Son aire se calcule de la façon suivante :
     pouvez trouver l'aire en faisant le calcul suivant : $A={\frac {9\ m+7\ m}{2}}\times 10\ m={\frac {16\ m}{2}}\times 10\ m=8\ m\times 10\ m=80\ m^{2}$.
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   Trouvez l'aire $$ A {\displaystyle A} d'un trapèze avec une autre formule. En fait, il s'agit de la même formule, mais présentée différemment. Elle utilise toujours la hauteur, mais fait intervenir un nouveau segment : la moyenne des bases ($m$). Graphiquement, cette base est parallèle aux 2 bases et à égale distance d'elles moyenne par deux. Son calcul est le suivant : $m={\frac {B+b}{2}}$. C'est en fait le premier terme de la formule précédente. La formule avec cette moyenne des bases s'établit comme suit :

   • $A=mh$
   • En réalité, vous appliquez la formule initiale, sauf que $m={\frac {B+b}{2}}$ est remplacé par $m$.
   • Exemple : dans l'exemple précédent (7 et 11 m), la moyenne des bases donne 9 m et la hauteur est toujours de 2 m. L'aire du trapèze s'établit ainsi :
     $A=9\ m\times 2\ m=18\ m^{2}$. Ouf ! C'est le même résultat !
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:

Calculer l'aire d'un cerf-volant

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   Vérifiez que vous avez affaire avec un cerf-volant. Il s'agit d'un quadrilatère ayant deux paires de côtés adjacents (partageant un même angle) égaux. Cette figure rappelle la forme des cerfs-volants classiques, il ne manque plus que la queue avec les petits nœuds !

   • Il y a deux façons différentes de calculer l'aire d'un cerf-volant, selon les données dont vous disposez. Vous trouverez ci-après comment mettre en œuvre les deux méthodes.
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   Calculez l'aire d'un cerf-volant avec les diagonales. À bien y regarder, un cerf-volant ressemblerait à un losange si les côtés étaient égaux en longueur. Malgré cette différence, il est possible d'utiliser ici la formule avec les diagonales. Pour rappel, les diagonales sont les lignes droites qui relient deux sommets opposés du cerf-volant. Comme pour le losange, la formule qui donne l'aire d'un cerf-volant est de la forme suivante :

   • $A={\frac {diagonale\ 1\times diagonale\ 2}{2}}={\frac {d_{1}\times d_{2}}{2}}={\frac {d_{1}d_{2}}{2}}$.
   • Exemple : les deux diagonales d'un cerf-volant mesurent 5 et 19 dm. Son aire $A$ est donnée par l'expression suivante :
     $A={\frac {5\ dm\times 19\ dm}{2}}={\frac {95\ dm^{2}}{2}}=47,5\ dm^{2}=4\ 750\ cm^{2}$
   • Si vous ignorez les longueurs des diagonales et que vous ne pouvez pas les mesurer, sachez qu'il est possible de les calculer en utilisant les règles de la trigonométrie. Pour plus d'informations, consultez cet article.
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   Calculez l'aire d'un cerf-volant avec une autre formule. Celle-ci est fonction des 2 longueurs (différentes) des deux côtés et de l'angle qu'ils forment, et fait intervenir le sinus . Cela suppose donc que vous maitrisiez quelques bases de trigonométrie. L'aire du cerf-volant est en fait la somme des aires des deux triangles égaux qui le composent. Sans trop détailler, la formule de l'aire $A$ est la suivante :

   • $A=ad\ sin({\widehat {ad}})$, $a$ et $d$ sont de longueur différente et forment l'angle ${\widehat {ad}}$.
   • Exemple : vous avez un cerf-volant avec deux côtés de 6 dm et deux autres de 4 dm. Sachant que l'angle formé par deux côtés est de 120°, vous pouvez résoudre l'équation en faisant l'opération suivante :
     $A=6\ dm\times 4\ dm\times sin(120^{\circ })=24\ dm^{2}\times 0,866=20,78\ dm^{2}.$
   • Notez que dans cette formule, il faut utiliser deux côtés différents. En effet, la formule n'est pas applicable si vous prenez deux côtés ayant la même longueur.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:

Calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque

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   Déterminez les longueurs des quatre côtés. Si votre quadrilatère ne fait pas partie des catégories décrites ci-dessus, par exemple quand ses côtés ont des longueurs différentes et qu'il n'a aucune paire de côtés parallèles. Croyez-le ou non, mais il existe des formules qui permettent de déterminer l'aire de n'importe quel quadrilatère, indépendamment de sa forme. Dans cette partie, vous aurez l'occasion d'utiliser une formule très usuelle. Notez encore une fois que cette formule requiert la connaissance de la trigonométrie.

   • D'abord, il faut trouver la longueur de chaque côté du quadrilatère. Aux fins de cet article, nous allons nommer ces côtés $a$, $b$, $c$ et $d$. Pour la démonstration, $a$ et $c$ sont opposés, de même que $b$ et $d$.
   • Exemple : si votre quadrilatère est quelconque, commencez par mesurer ses quatre côtés. Pour notre exemple, nous poserons que : $a=12\ cm$,$b=9\ cm$, $c=8\ cm$ et $d=14\ cm$.
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   Ayez les valeurs de 2 angles opposés. Dans le cas d'un quadrilatère irrégulier, vous ne pourrez pas calculer l'aire si vous ne connaissez que les côtés. Il faut trouver la valeur de deux angles opposés. Nous prendrons ici l'angle formé par $a$ et $d$ (${\widehat {ad}}$) et celui entre $b$ et $c$ (${\widehat {bc}}$). Nous aurions aussi bien pu prendre ${\widehat {ab}}$ et ${\widehat {cd}}$.

   • Exemple : l'angle ${\widehat {ad}}$ d'un quadrilatère mesure 80°, tandis que l'angle ${\widehat {bc}}$ mesure 110°. Ces mesures d'angle vous nous servir à calculer l'aire du quadrilatère.
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   Décomposez le quadrilatère en 2 triangles. En effet, l'aire d'un quadrilatère quelconque est toujours la somme des aires des deux triangles qui le composent. En traçant un trait entre deux sommets opposés, vous créez deux triangles. Prenons le triangle (illustration) formé de $a$, de $d$ (l'angle entre les deux est
   ${\widehat {ad}}$) et la diagonale opposée à l'angle et reliant les sommets des 2 côtés. L'aire d'un tel triangle est : $A={\frac {1}{2}}ad\ sin({\widehat {ad}})$. Vous avez un second triangle du même type, avec $b$, $c$ et ${\widehat {bc}}$.

   • $A=({\frac {1}{2}}ad\ sin({\widehat {ad}}))+({\frac {1}{2}}bc\ sin({\widehat {bc}}))$
   • $A=0,5\ ad\ sin({\widehat {ad}})+0,5\ bc\ sin({\widehat {bc}})$
   • Exemple : vous connaissez déjà les angles et les côtés nécessaires pour faire le calcul. Il convient donc de calculer la somme suivante :

     $A=(0,5\times 12\ cm\times 14\ cm\times sin(80^{\circ }))+(0,5\times 9\ cm\times 5\ cm\times sin(110^{\circ }))$

     $A=(84\ cm^{2}\times sin(80^{\circ }))+(22,5\ cm^{2}\times sin(110^{\circ }))$

     $A=(84\ cm^{2}\times 0,984)+(22,5\ cm^{2}\times 0,939)$

     $A=82,66\ cm^{2}+21,13\ cm^{2}=103,79\ cm^{2}$

   • Si un jour vous êtes face à un parallélogramme dont les deux angles opposés ont la même mesure (${\widehat {ad}}={\widehat {bc}}$), la formule se simplifie singulièrement :
     $A={\frac {1}{2}}(ad+bc)\ sin({\widehat {ad}})$ ou $A={\frac {1}{2}}(ad+bc)\ sin({\widehat {bc}})$.
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Conseils

• Cette calculatrice peut vous aider à faire les calculs pour n'importe quel quadrilatère, afin de résoudre la formule précédente rapidement .
• Pour plus d'informations, reportez-vous à nos articles en rapport avec cette question, à savoir : comment calculer l’aire d’un carré, comment calculer l’aire d’un rectangle, comment calculer l’aire d’un losange, comment calculer l'aire d'un trapèze et comment calculer l'aire d'un cerf volant.

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