如何计算圆面积

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在本文中：

用半径计算圆面积

用直径计算圆面积

用周长计算圆面积

从扇形面积计算出完整的圆面积

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参考

需要计算圆面积？这是很常见的几何问题，要找出答案相当简单。大多数时候，你都能借助简单的数学公式$A=\pi r^{2}$来计算。就算不知道半径，下面也会教你用直径、周长甚至是扇形面积算出圆面积。

步骤

方法 1

方法 1 的 4:

用半径计算圆面积

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   确认圆形的半径。半径是从圆心到圆周上任何一点所连成的线段。从任何方向测量半径都是一样的。半径也是直径的一半。直径是穿过圆心连接圆周上两点的线段。

   • 题目通常会标注圆心并给出半径。我们自己很难测量精确的圆心。
   • 在这个例子中，假设圆形的半径为6厘米。
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   计算半径的平方。计算圆面积的公式是$A=\pi r^{2}$，其中$r$变量指的就是半径。计算这个变量的平方。

   • 只是计算半径的平方，不是整个等式的平方。
   • 在这个例子中，$r=6$，所以$r^{2}=36$。
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   乘以圆周率。圆周率是圆形的周长与直径的比值，常用符号$\pi$来表示。$\pi$的近似值约等于3.14，但它其实是一个无限不循环小数。要精准描述圆面积，通常会用$\pi$符号来书写答案。

   • 在这个例子中，半径是6厘米，圆面积的计算方法是：
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$或$A=36(3.14)=113.04$
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   给出答案。记住，圆面积以平方为单位。如果半径的测量单位是厘米，那么圆面积的单位就是平方厘米。如果半径的测量单位是英尺，那么圆面积的单位就是平方英尺。你也应该弄清楚应该用符号$\pi$还是近似值来书写答案。如果不知道，那就两个都写。

   • 在这个半径为6厘米的例子中，得出的圆面积是36$\pi$ cm²或113.04 cm²。
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方法 2

方法 2 的 4:

用直径计算圆面积

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   测量或记录直径。有些问题没有提供半径，而是给出直径。如果图上画了直径，你可以用尺来量。有的问题会直接给出直径的数值。

   • 在这个例子中，假设圆形的直径为20英寸（50.8厘米）。
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   将直径除以2。记住，半径是直径的一半，所以不管直径的数值是多少，除以2就能得出半径。

   • 所以，在这个例子中，圆形直径是20英寸（50.8厘米），半径就是20/2或10英寸（50.8/2或25.4厘米）。
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   用原始的公式计算圆面积。用直径算出半径后，就能用$A=\pi r^{2}$公式来计算圆面积。放入半径的数值，然后按照下面的步骤完成剩下的计算：

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   给出答案。记住，圆面积以平方为单位。在这个例子中，直径的测量单位是英寸，所以半径的单位也是英寸。计算出来的圆面积单位应该是平方英寸。在这个例子中，圆面积将会是$100\pi$平方英寸。

   • 你也可以用3.14代替$\pi$，算出圆面积的近似值。得出的答案将会是(100)(3.14) = 314平方英寸。
   专家提示

   

   Grace Imson, MA

   旧金山城市学院数学老师

   Grace Imson是一位拥有逾40年教学经验的数学老师。她目前是美国旧金山城市学院的数学老师，之前曾在圣路易斯大学的数学系就职。Grace教过小学、初中、高中和大学水平的数学。她拥有圣路易斯大学的教育文学硕士学位，专攻教育管理与监督。

   

   Grace Imson, MA
   旧金山城市学院数学老师

   用直径计算圆面积最常犯的错误是忘记计算分母的平方。即使不将直径除以2得出半径，也有办法算出圆面积。但是，需要改一改公式，计算直径的平方，否则会得出错误的答案。

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方法 3

方法 3 的 4:

用周长计算圆面积

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   学习修正公式。如果你知道圆形的周长，就可以利用经过修正的公式计算出圆面积。这个修正公式直接使用周长算出面积，不需要知道半径。新的公式如下：

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   测量或记录圆形周长。在真实的情况，你可能无法直接测量直径或半径。如果直径没有被画出来或是圆心没有被确认，你很难推测出圆心的位置。如果是有形的圆形物体，比如比萨盘或平底锅，用卷尺测量周长会比测量直径更准确。

   • 在这个例子中，假设你被告知或测量出圆形的周长为42厘米。
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   利用圆周和半径的关系来修正公式。圆形的周长等于pi乘以直径，可以写作$C=\pi d$。回想一下，直径是半径的两倍或$d=2r$。你可以将这两个等式结合在一起，创造出以下的关系：$C=\pi 2r$，C即是圆周。重新排列一下，将$r$的变量分隔出来：

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$...... （两边除以2$\pi$）
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   将圆面积代入公式。你可以利用圆周和半径之间的关系，创造一个修正版的圆面积公式。将最新得到的等式代入原始的圆面积公式中：

   • $A=\pi r^{2}$......（原始的圆面积公式）
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$......（代入直径的等式）
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$......（算出分数的平方）
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$......（将分子和分母里的$\pi$抵消）
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   运用修正后的公式算出圆面积。这个修正公式使用周长代替半径，算出圆面积。放入周长的数值，然后按照下面的步骤进行计算：

   • 在这个例子中，$C=42$英寸（106.68厘米）。
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$......（放入数值）
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$......（计算42²）
   • $A={\frac {441}{\pi }}$......（除以4）
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   给出答案。除非题目给出的周长为$\pi$的倍数，否则答案应该会是分数，而分母是$\pi$。这个答案没有错，你也可以将它除以3.14，得出近似值。

   • 在这个例子中，圆周为42厘米，那么圆面积是${\frac {441}{\pi }}$平方厘米。
   • 如果要计算近似值，${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140.4$。圆面积大概是140平方厘米。
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方法 4

方法 4 的 4:

从扇形面积计算出完整的圆面积

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   确认已知或所给信息。有些问题会告诉你扇形面积，然后要求你推导出完整的圆面积。仔细阅读题目，寻找类似这样的信息：“圆形O中的一个扇形面积为15$\pi$ cm²。计算圆形O的面积。”
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   确认被选中的扇形。扇形是圆形上被两条半径和半径所截之一段弧所围成的图形，有时候也被称为“楔形”。从圆心处画两条半径到圆周。这两个半径之间的空间就是扇形。
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   测量扇形的圆心角。用量角器测量两个半径之间的圆心角度。将量角器的底部边缘抵在一条半径上，量角器的中心点与圆心对齐。然后，读取跟构成扇形的第二条半径对应的角度读数。

   • 弄清楚究竟是测量两个半径之间的小角还是它们外侧的大角。题目应该会注明这一点。小角和大角的总和是360度。
   • 有些题目会直接告诉你圆心角，不需要测量，比如：“扇形的圆心角是45度”。有的题目可能要求你自己测量圆心角。
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   用修正公式计算圆面积。只要知道扇形面积和圆心角，就能用以下的修正公式找出圆面积：

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cir}$是完整的圆面积。
     • $A_{sec}$是扇形面积。
     • $C$是测量出的圆心角。
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   输入你知道的数值，计算出圆面积。在这个例子中，你被告知圆心角为45度，扇形面积为15$\pi$。将这些数值放入公式中，然后按下面的步骤解答：

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cir}=15\pi (8)$
   • $A_{cir}=120\pi$
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   给出答案。在这个例子中，扇形面积是圆面积的八分之一。所以，完整的圆形面积是120$\pi$ cm²。题目给出的扇形面积直接使用$\pi$，所以你应该按同样的方式给出圆形面积。

   • 如果想要给出圆面积的近似值，将120乘以3.14，得出376.8 cm²的数值。
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