چگونه مساحت دایره را محاسبه کنیم

یکی از مسائلی که معمولا در بیشتر کلاس‌های هندسه مطرح می‌شود محاسبه‌ی مساحت دایره است. حتما فرمول محاسبه‌ی مساحت دایره را می‌دانی، $A=\pi r^{\text{۲}}$. این فرمول خیلی ساده است، فقط باید اندازه‌ی شعاع دایره را بدانی تا مساحت آن را حساب کنی. اما شاید گاهی نیاز باشد تغییراتی در متغیرها و مقادیر بدهی تا بتوانی از آن‌ها در فرمول استفاده کنی.

مراحل

روش 1

روش 1 از 4:

محاسبه‌ی مساحت دایره با استفاده از شعاع

1. 
   1
   شعاع دایره را مشخص کن. شعاع دایره فاصله‌ی محیط دایره از مرکز آن است. این اندازه‌‌گیری را می‌توانی از هر جهت که می‌خواهی انجام بدهی و ببینی که اندازه‌ی شعاع یکسان است. شعاع دایره برابر است با نصف قطر آن. قطر دایره پاره‌خطی است که از یک نقطه روی محیط شروع شده، از مرکز می‌گذرد و به نقطه‌ی مقابل روی محیط می‌رسد.

   • شعاع دایره معمولا در مسئله داده می‌شود. اگر مرکز دایره بر روی کاغذ مشخص نشده باشد، خیلی سخت است که بخواهی دقیقا آن را مشخص کنی.
   • برای مثال، فرض کن در مسئله شعاع دایره معادل با مجذور ۶ (یعنی مربع یا توان دوم ۶) سانتیمتر داده شده است.
2. 
   2
   شعاع را در خودش ضرب کن. فرمول محاسبه‌ی مساحت دایره به این شکل است: $A=\pi r^{\text{۲}}$، به طوری که $A$ مساحت دایره و $r$ شعاع آن است که با توان دو نشان داده شده است.

   • در این حالت دقت کن تا دچار اشتباه نشوی و مقدار شعاع را دوباره به توان دو نرسانی.
   • برای یک دایره‌ی فرضی با شعاع ۶ ($r={\text{۶}}$) خواهیم داشت: $r^{\text{۲}}={\text{۳۶}}$.
3. 
   3
   مقدار را در عدد پی ضرب کن. عدد پی به طور نمادین با حرف یونانی $\pi$ نشان داده می‌شود و یک ثابت ریاضی است که نسبت محیط به قطر دایره را نشان می‌دهد. مقدار تقریبی ثابت ریاضی $\pi$ تا دو رقم اعشار تقریبا برابر است با ۳/۱۴، در حالی که بخش اعشاری عدد پی تا بینهایت ادامه دارد. اگر جایی خواستی مقدار دقیق مساحت دایره را گزارش کنی باید جواب نهایی را به شکل ضریبی از نماد $\pi$ نشان دهی.

   • مساحت این دایره‌ی فرضی با شعاع ۶ سانتیمتر، به صورت زیر محاسبه می‌شود:
     • $A=\pi r^{\text{۲}}$
     • $A=\pi {\text{۶}}^{\text{۲}}$
     • $A={\text{۳۶}}\pi$ یا $A={\text{۳۶}}({\text{۳/۱۴}})={\text{۱۱۳/۰۴}}$
   • مساحت دایره با $A$ و شعاع هم با حرف $r$ نمایش داده شده می‌شود.
4. 
   4
   نتیجه را بدست بیاور. یادت باشد که مقدار مساحت باید بر حسب واحد مربع حساب شود. اگر شعاع بر حسب سانتیمتر است، پس مساحت دایره بر حسب سانتیمتر مربع خواهد بود و اگر شعاع به واحد اینچ داده شده، مساحت بر حسب اینچ مربع خواهد بود. همچنین باید بدانی که نتیجه را به صورت ضریبی از مقدار $\pi$ نشان بدهی یا از همان ثابت تقریبی ۳/۱۴ استفاده کنی. اگر در مسئله برای تو مشخص نشده که مساحت را چطور نمایش بدهی، به هر دو صورت نشان بده.

   • در این دایره‌ی فرضی با شعاع ۶ سانتیمتر، مساحت برابر است با cm^۲${\text{۳۶}}\pi$ یا ۱۱۳/۰۴cm^۲.

روش 2

روش 2 از 4:

محاسبه‌ی مساحت دایره با استفاده از قطر

1. 
   1
   قطر را اندازه‌گیری کن. در بعضی از مسائل شعاع دایره مشخص نیست. در عوض ممکن است اندازه‌ی قطر دایره مشخص باشد. اگر قطر دایره در شکل مشخص شده باشد، می‌توانی اندازه‌ی آن را با یک خط کش اندازه‌گیری کنی. یا ممکن است خود مسئله اندازه‌ی قطر را به تو بدهد.

   • فرض کن قطر دایره در این مسئله ۲۰ سانتیمتر است.
2. 
   2
   قطر را تقسیم بر ۲ کن. همانطور که می‌دانی قطر دایره دو برابر شعاع است. بنابراین اگر مقداری که به عنوان قطر به تو داده شده است را تقسیم بر ۲ کنی، اندازه‌ی شعاع را بدست خواهی آورد.

   • پس در این مثال، اگر قطر ۲۰ سانتیمتر باشد، ۱۰ = ۲۰/۲ یعنی اندازه‌ی شعاع برابر ۱۰ سانتیمتر خواهد بود.
3. 
   3
   از فرمول اصلی برای محاسبه‌ی مساحت دایره استفاده کن. بعد از این که قطر را به شعاع تبدیل کردی، آماده‌ای که مساحت دایره را محاسبه کنی. مثل مرحله‌ی قبل از فرمول $A=\pi r^{\text{۲}}$ استفاده کن که در آن A نماد مساحت است. اندازه‌ی بدست آمده برای شعاع را در فرمول جاگذاری کن و باقی مراحل را انجام بده:

   • $A=\pi r^{\text{۲}}$
   • $A=\pi {\text{۱۰}}^{\text{۲}}$
   • $A={\text{۱۰۰}}\pi$
4. 
   4
   مقدار مساحت را بدست بیاور. به یاد داری که مساحت باید بر حسب واحد مربع باشد. در این مثال قطر بر حسب سانتیمتر اندازه‌گیری شده است، پس شعاع هم بر حسب واحد سانتیمتر و مساحت هم بر اساس سانتیمتر مربع خواهد بود. در این مثال مساحت ${\text{۱۰۰}}\pi$ سانتیمتر مربع است.

   • همچنین می‌توانی به جای ضریب $\pi$ از ثابت ۳/۱۴ برای نمایش تقریبی مساحت استفاده کنی. در این صورت جواب به این شکل خواهد بود: (۱۰۰)(۳/۱۴) = ۳۱۴ سانتیمتر مربع.
   نکته از طرف متخصص

   

   Grace Imson, MA

   معلم ریاضی، City College of San Francisco

   گریس ایمسون یک معلم ریاضی با بیش از 40 سال سابقه‌ی تدریس است. گریس در حال حاضر از استادان ریاضی City College سان‌فرانسیسکو است و قبل از آن هم در دپارتمان ریاضی دانشگاه Saint Louis فعالیت کرده است. او ریاضایت را در مقاطع مختلف تحصیلی ابتدایی، راهنمایی، دبیرستان و دانشگاه تدریس کرده است. گریس دارای مدرک کارشناسی‌ارشد آموزش با گرایش نظارت و اجرا از دانشگاه Saint Louis است.

   

   Grace Imson, MA
   معلم ریاضی، City College of San Francisco

   یک اشتباه رایج موقع استفاده از قطر این است که فراموش کنی مخرج را به توان ۲ برسانی. اگر قطر را برای بدست آوردن شعاع تقسیم بر دو نکنی، باز هم می‌توانی مساحت را پیدا کنی. البته برای مربع کردن قطر نیاز است تغییراتی در فرمول ایجاد کنی تا به جواب اشتباه نرسی.

روش 3

روش 3 از 4:

محاسبه‌ی مساحت دایره با استفاده از محیط

1. 
   1
   بازنویسی فرمول را یاد بگیر. اگر محیط دایره را می‌دانی، می‌توانی آن را برای پیدا کردن مساحت دایره اصلاح کنی. این فرمول برای بدست آوردن مساحت دایره مستقیما با استفاده‌ از محیط و بدون نیاز به اندازه‌ی شعاع است. فرمول به این صورت است:

   • $A={\frac {C^{\text{۲}}}{{\text{۴}}\pi }}$
2. 
   2
   محیط را اندازه‌گیری کن. در دنیای واقعی شاید نتوانی قطر یا شعاع دایره را بطور دقیق اندازه بگیری. اگر قطر رسم نشده باشد یا مرکز دایره مشخص نباشد، سخت می‌شود مرکز را تعیین کرد. در بعضی از اجسام دایره‌‌ای شکل، مثلا خمیر پیتزا یا سینی کیک‌پزی، به جای استفاده از قطر، شاید دقیقتر باشد که محیط دایره را با استفاده از متر نواری اندازه‌گیری کنی.

   • در این مثال فرض کن محیط دایره یا جسم مُدور برابر ۴۲ سانتیمتر است.
3. 
   3
   از رابطه‌ی محیط و شعاع برای بازنویسی فرمول استفاده کن. محیط دایره برابر است با ثابت پی ضرب در قطر دایره. این فرمول را می‌توان به این شکل نوشت: $C=\pi d$. بعد به یاد بیاور که قطر برابر است با ۲ برابر شعاع، یعنی $d={\text{۲}}r$. حالا می‌توانی این دو تساوی را با هم ترکیب کنی و آن را به این صورت بنویسی: $C=\pi {\text{۲}}r$. این فرمول را بر حسب $r$ مرتب کن:

   • $C=\pi {\text{۲}}r$
   • ${\frac {C}{{\text{۲}}\pi }}=r$… (دو طرف تساوی را تقسیم بر ${\text{۲}}\pi$ کن.)
4. 
   4
   فرمول مساحت را تغییر بده. می‌توانی با استفاده از رابطه‌ی بین محیط و شعاع به فرمول بازنویسی‌شده‌ی مساحت برسی. معادله‌ی قبلی را در فرمول اصلی مساحت دایره جاگذاری کن:

   • $A=\pi r^{\text{۲}}$...... (فرمول اصلی مساحت)
   • $A=\pi ({\frac {C}{{\text{۲}}\pi }})^{\text{۲}}$….. (تساوی را با r جابجا کن.)
   • $A=\pi ({\frac {C^{\text{۲}}}{{\text{۴}}\pi ^{\text{۲}}}})$…..(صورت و مخرج کسر را به توان دو برسان.)
   • $A={\frac {C^{\text{۲}}}{{\text{۴}}\pi }}$…..(عدد $\pi$ در مخرج و ضریب کسر را با هم ساده کن.)
5. 
   5
   از فرمول اصلاح‌شده برای محاسبه‌ی مساحت استفاده کن. با استفاده از فرمول اصلاح‌شده که در آن محیط به جای شعاع به کار برده شده، می‌توانی مساحت دایره را بدست بیاوری. مقدار محیط را وارد کن و محاسبات را به این شکل انجام بده:

   • در این مثال اندازه‌ی محیط برابر $C={\text{۴۲}}$ است.
   • $A={\frac {C^{\text{۲}}}{{\text{۴}}\pi }}$
   • $A={\frac {{\text{۴۲}}^{\text{۲}}}{{\text{۴}}\pi }}$…..(مقدار متغیر را وارد کن.)
   • $A={\frac {\text{۱۷۶۴}}{{\text{۴}}\pi }}$.….(مقدار ۴۲^۲ را حساب کن.)
   • $A={\frac {\text{۴۴۱}}{\pi }}$…..(تقسیم بر ۴ کن.)
6. 
   6
   نتیجه را بدست بیاور. هر وقت در مسئله مقدار محیط به صورت ضریبی از $\pi$ مشخص شده باشد، جواب هم باید به صورت ضریب $\pi$ در مخرج کسر نشان داده شود. نتیجه‌ی محاسبه‌ی محیط یا ممکن است به این صورت باشد یا به صورت تقربیی و با تقسیم بر مقدار ثابت ۳/۱۴ بدست بیاید.

   • در این دایره‌ی فرضی با محیط ۴۲ سانتیمتر، مساحت برابر است با ${\frac {\text{۴۴۱}}{\pi }}$ سانتیمتر مربع.
   • اگر بخواهی آن را به صورت تقریبی نمایش بدهی، می‌شود: ${\frac {\text{۴۴۱}}{\pi }}={\frac {\text{۴۴۱}}{\text{۳/۱۴}}}={\text{۱۴۰/۴}}$. یعنی مساحت تقریبا برابر است با ۱۴۰ سانتیمتر مربع.

روش 4

روش 4 از 4:

محاسبه‌ی مساحت دایره با استفاده از قطاع دایره

1. 
   1
   اطلاعات داده شده را مشخص کن. در بعضی از مسئله‌ها ممکن است مشخصات قطاعی از دایره به تو داده شود و خواسته شود تا مساحت کل را محاسبه کنی. مسئله را با دقت بخوان و به دنبال اطلاعاتی بگرد که مثلا می‌گوید: "مساحت قطاعی از دایره برابر cm^۲${\text{۱۵}}\pi$ است. مساحت کل دایره‌ی O را پیداکن."
2. 
   2
   قطاع انتخاب شده را مشخص کن. قطاع را با دو شعاع که از مرکز دایره گذشته و به لبه‌ی آن می‌رسد، نشان می‌دهند. ناحیه‌ی بین این دو شعاع، تکه‌ای از محیط است که به آن قطاع دایره می‌گویند.
3. 
   3
   زاویه‌ی داخلی قطاع دایره را حساب کن. از یک نقاله برای اندازه‌گیری زاویه‌ی قطاع دایره که با دو شعاع ایجاد شده، استفاده کن. قاعده‌ی نقاله روی یکی از دو شعاع تنظیم کن به نحوی که وسط آن روی مرکز دایره یا نقطه‌ی طلاقی دو شعاع باشد، بعد عددی را که شعاع دوم نشان می‌دهد، بخوان.

   • دقت کن که حتما اندازه‌ی زاویه‌ی داخلی که کوچکتر است را بدست بیاوری و اشتباهی اندازه‌ی زاویه‌ی بیرونی و بزرگتر را نخوانی. مسئله‌ باید این را برای تو مشخص کند. مجموع زاویه‌ی داخلی و خارجی باید ۳۶۰ درجه باشد.
   • در بعضی از مسئله‌ها، خود مسئله اندازه‌ی زاویه را می‌دهد و نیازی به اندازه‌گیری نیست. مثلا ممکن است در مسئله نوشته شده باشد: "اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی قطاعی از یک دایره برابر ۴۵ درجه است." یا در مسئله از تو خواسته شود که خودت این زاویه را با نقاله اندازه بگیری.
4. 
   4
   از فرمول اصلاح شده برای محاسبه‌ی مساحت دایره استفاده کن. وقتی که اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی و مساحت قطاع دایره را بدانی می‌توانی از فرمول بازنویسی شده‌ی زیر برای بدست آوردن مساحت کل دایره استفاده کنی:

   • $A_{sir}=A_{sec}{\frac {\text{۳۶۰}}{C}}$
     • $A_{cir}$ : مساحت کل دایره
     • $A_{sec}$ : مساحت قطاع دایره
     • $C$ : اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی
5. 
   5
   مقادیری را که داری وارد کن و مساحت را حساب کن. در این مثال گفته شده است که زاویه‌ی داخلی برابر ۴۵ درجه و مساحت قطاع دایره هم ${\text{۱۵}}\pi$ است. این مقدار را در فرمول وارد کن و آن را به صورت زیر حل کن:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {\text{۳۶۰}}{C}}$
   • $A_{cir}={\text{۱۵}}\pi {\frac {\text{۳۶۰}}{\text{۴۵}}}$
   • $A_{cir}={\text{۱۵}}\pi ({\text{۸}})$
   • $A_{cir}={\text{۱۲۰}}\pi$
6. 
   6
   نتیجه را بدست بیاور. در این مثال، قطاع دایره برابر یک هشتم کل دایره است. بنابراین مساحت کل دایره برابر است با cm^۲${\text{۱۲۰}}\pi$. چون مساحت قطاع دایره درمسئله به صورت ضریبی از $\pi$ داده شده، پس جواب تو هم باید به همین صورت باشد.

   • اگر می‌خواهی جواب را به صورت عددی اعلام کنی باید ۱۲۰ را در ۳/۱۴ ضرب کنی، که ۳۷۶/۸ سانتیمتر مربع خواهد شد.