Come Calcolare l'Area di un Cerchio

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Calcolare l'Area Usando il Raggio

Calcolare l'Area Usando il Diametro

Calcolare l'Area Usando la Circonferenza

Calcolare l'Area Usando la Superficie di un Settore Circolare

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Sommario dell'Articolo

Uno dei problemi più comuni che si devono affrontare in geometria consiste nel calcolare l'area di un cerchio basandosi sulle informazioni fornite dal professore o dal testo del problema. È possibile calcolare l'area di un cerchio utilizzando la formula classica $A=\pi r^{2}$. Si tratta di una formula molto semplice che implica solamente l'utilizzo del raggio del cerchio. Tuttavia, è doveroso scoprire come riuscire a convertire i dati forniti in informazioni utili per poter sfruttare la formula indicata in qualunque caso.

Passaggi

Metodo 1

Metodo 1 di 4:

Calcolare l'Area Usando il Raggio

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   Identifica il raggio del cerchio in esame. Si tratta della lunghezza della retta che collega il centro del cerchio con un punto qualunque della sua circonferenza. È possibile misurarlo fisicamente utilizzando un semplice righello: indipendentemente dal punto della circonferenza che si sceglie, il risultato finale non cambia. Il raggio di un cerchio corrisponde anche alla metà del relativo diametro. Quest'ultimo è la retta che, passando per il centro del cerchio, collega due punti opposti della circonferenza.

   • Normalmente, la misura del raggio è un'informazione che viene fornita direttamente dal testo del problema da risolvere. A meno che il centro del cerchio in esame non sia già evidenziato con chiarezza, risulta difficile identificarlo con precisione e quindi misurare correttamente il relativo raggio.
   • Ad esempio, ipotizziamo che il raggio del cerchio in esame abbia una lunghezza di 6 cm.
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   Calcola il quadrato del raggio. La formula di base per calcolare l'area di un cerchio è $A=\pi r^{2}$, dove $r$ è la variabile che rappresenta il raggio che in questo caso viene elevata al quadrato.

   • Fai attenzione a non confonderti, è necessario elevare al quadrato solo il raggio e non l'intera equazione.
   • Nel nostro problema di esempio, il raggio del cerchio in esame è pari a $r=6$, quindi otterremo come risultato $r^{2}=36$.
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   Adesso moltiplica il risultato ottenuto nel passaggio precedente per la costante $$ π {\displaystyle \pi } . Si tratta di una costante matematica, che viene indicata con la lettera greca $\pi$ e rappresenta il rapporto esistente fra il raggio e l'area di un cerchio. È un numero decimale composto da un numero infinito di cifre, che tuttavia, per semplicità, viene normalmente arrotondato a 3,14. Se hai la necessità di utilizzare la forma matematica corretta, dovrai fornire la soluzione al problema senza sostituire la costante $\pi$ con il relativo valore numerico.

   • Nel nostro esempio, il raggio del cerchio in esame è pari a 6 cm, quindi i calcoli da svolgere per arrivare alla relativa area sono i seguenti:
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$ oppure $A=36\times 3,14=113,04$
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   Riporta il risultato nella forma corretta. Ricorda che l'area di una superficie viene sempre espressa con unità di misura "quadrate". Se il raggio è espresso in centimetri, di conseguenza l'area calcolata in base a esso dovrà essere espressa in centimetri quadrati. Al contrario, se il raggio è espresso in piedi o in pollici, dovrai utilizzare i piedi o i pollici quadrati per definire l'area risultante. Inoltre, dovresti sapere già se hai la necessità di fornire la soluzione finale del problema in relazione alla costante $\pi$ o se dovrai sostituirla con la relativa approssimazione numerica. Se non ti è stato indicato quale notazione utilizzare, usale entrambe.

   • Nel nostro esempio, un cerchio avente il raggio di 6 cm ha un'area di 36$\pi$ cm², che equivalgono a 113,04 cm².
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Metodo 2

Metodo 2 di 4:

Calcolare l'Area Usando il Diametro

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   Misura o prendi nota della lunghezza del diametro del cerchio in esame. In alcune situazioni non ti verrà fornito il raggio come informazione di partenza. In tal caso, potresti avere come dato iniziale solo il diametro del cerchio in esame. Se la figura che ti è stata fornita evidenzia chiaramente il diametro, puoi misurarlo usando un comune righello. In altri casi, la lunghezza del diametro potrebbe essere un'informazione fornita direttamente dal testo del problema.

   • Nel nostro esempio, ipotizziamo di dover calcolare l'area di un cerchio avente il diametro pari a 20 cm.
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   Partiamo dividendo il diametro a metà. Ricorda che il diametro di un cerchio è pari al doppio del relativo raggio. Quindi, per ottenere la misura del raggio partendo dal valore del diametro, dovremo semplicemente dividere a metà quest'ultimo dato.

   • Nel nostro esempio, stiamo studiando un cerchio con un diametro di 20 cm, quindi il raggio sarà pari a 20 / 2, cioè 10 cm.
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   Utilizziamo la formula classica per calcolare l'area di un cerchio. Dopo aver calcolato il raggio partendo dalla misura del diametro, siamo pronti per calcolare l'area del cerchio in esame utilizzando la seguente formula $A=\pi r^{2}$. Sostituisci il valore del raggio all'interno della formula ed esegui i calcoli.

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   Riporta il risultato finale nella forma corretta. Ricorda che l'area di una superficie va sempre indicata con unità di misura quadrate. Nel nostro esempio, il diametro del cerchio in esame è espresso in cm, quindi la relativa area dovrà essere espressa in centimetri quadrati. Il cerchio studiato ha quindi un'area di $100\pi$ cm².

   • Puoi anche usare la notazione numerica per fornire la soluzione finale del problema. In tal caso, fai riferimento al valore approssimato della costante $\pi$, cioè 3,14, ottenendo $100\times 3,14=314$ cm².
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Metodo 3

Metodo 3 di 4:

Calcolare l'Area Usando la Circonferenza

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   Impara la formula alternativa per calcolare l'area di un cerchio. Se si conosce la circonferenza di un cerchio, è possibile usare una formula speciale per calcolarne l'area. Questa nuova formula utilizza direttamente la circonferenza di un cerchio, e non il raggio, per calcolarne l'area. Ecco la formula per calcolare l'area di un cerchio utilizzando direttamente la circonferenza:

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   Misura o prendi nota del valore della circonferenza. In alcune situazioni di vita reale potresti non essere in grado di misurare direttamente il diametro o il raggio di un cerchio in modo accurato. Se il raggio o il diametro del cerchio in esame non sono indicati con chiarezza, potrebbe essere molto difficile individuare con precisione il centro della figura. Nel caso di oggetti fisici di forma circolare, ad esempio una pizza o una padella, è possibile usare un comune metro da sarto per misurarne la circonferenza in modo molto più semplice e accurato rispetto al cercare di misurarne il raggio o il diametro.

   • Ad esempio, ipotizziamo di avere un cerchio (o un oggetto circolare) la cui circonferenza misura 42 cm.
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   Utilizza la relazione esistente fra il raggio e la circonferenza di un cerchio per modificare la formula di partenza. La circonferenza di un cerchio è pari al prodotto del diametro per la costante matematica $\pi$. La formula per calcolare la circonferenza di un cerchio è $C=\pi d$. A questo punto, ricorda che il diametro di un cerchio è esattamente uguale al doppio del raggio, cioè $d=2r$. Adesso puoi combinare fra loro le due equazioni per ottenere la seguente formula: $C=\pi 2r$. Riscrivi quest'ultima equazione per isolare in un singolo membro la variabile $r$, ottenendo:

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$ (questa formula si ottiene dividendo ciascun membro dell'equazione di partenza per l'espressione 2$\pi$)
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   Sostituisci il nuovo valore del raggio all'interno della formula per il calcolo dell'area di un cerchio. Utilizzando la relazione che lega il raggio e la circonferenza di un cerchio, puoi modificare la formula di partenza per adattarla alle tue esigenze. Sostituisci il valore del raggio appena ottenuto all'interno della formula classica per il calcolo dell'area di un cerchio ottenendo:

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$ (sostituisci la variabile $r$ con la relazione che la lega alla circonferenza)
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$ (calcola il quadrato della frazione all'interno delle parentesi)
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$ (adesso semplifica la formula eliminando il $\pi$ al numeratore e al denominatore)
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   Usa la formula ottenuta per calcolare l'area del cerchio in esame. Utilizzando la nuova equazione è possibile usare la circonferenza, e non il raggio, di un cerchio per calcolarne la relativa area. Sostituendo le variabile con i rispettivi valori ed eseguendo i calcoli otterremo:

   • Nel nostro esempio la circonferenza del cerchio in esame è pari a $C=42$ cm
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$ (sostituiamo la variabile $C=42$ con il rispettivo valore)
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$ (calcoliamo il valore di 42²)
   • $A={\frac {441}{\pi }}$ (dividiamo il risultato ottenuto per 4)
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   Riporta la soluzione finale del problema. A meno che il valore della circonferenza del cerchio in esame non sia espressa come un multiplo di $\pi$, il risultato ottenuto sarà una frazione al cui denominatore è presente la costante $\pi$. Non ti preoccupare, non si tratta di un errore. Se hai la necessità di esprimere il risultato finale in forma puramente numerica, puoi sostituire la costante $\pi$ con il valore approssimato di 3,14.

   • Nel nostro esempio, un cerchio avente una circonferenza di 42 cm ha un'area di ${\frac {441}{\pi }}$ cm².
   • Approssimando il valore della costante $\pi$ a 3,14 si ottiene come risultato ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3,14}}=140,4$. In questo caso, l'area sarà pari a circa 140 cm².
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Metodo 4

Metodo 4 di 4:

Calcolare l'Area Usando la Superficie di un Settore Circolare

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   Identifica le informazioni in tuo possesso. Alcuni problemi di geometria richiedono di calcolare l'area di un cerchio partendo dalla superficie di un suo settore circolare. In tal caso, occorre leggere con molta attenzione il testo del problema alla ricerca di un'espressione simile a "L'area di un settore circolare del cerchio O ha un'area pari a 15$\pi$ cm². Calcolare l'area dell'intero cerchio".
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   Comprendi il significato di settore circolare. Un settore circolare è una porzione della superficie di un cerchio delimitata da due raggi e da un arco di circonferenza. La superficie racchiusa all'interno di questi tre elementi (due raggi e circonferenza) rappresenta il settore circolare in esame.
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   Misura l'angolo al centro del settore circolare. Usa un goniometro per misurare l'angolo al centro (quello compreso fra i due raggi) del settore circolare in esame. Posiziona la base del goniometro in modo che risulti allineata a uno dei due raggi. Adesso allinea il centro del goniometro con il centro del cerchio, quindi misura l'ampiezza dell'angolo osservando la posizione del secondo raggio che delimita il settore circolare.

   • Assicurati di misurare l'angolo compreso fra i due raggi che delimitano il settore circolare e non quello che si trova all'esterno. Normalmente, l'ampiezza di tale angolo dovrebbe essere già fornita dal testo del problema. Ricorda, inoltre, che la somma dell'ampiezza dell'angolo al centro del settore circolare e dell'ampiezza dell'angolo esterno è sempre di 360°.
   • Alcuni problemi di geometria, anziché indicare di misurare manualmente l'angolo al centro del settore circolare in esame, forniscono direttamente l'ampiezza. Ad esempio, il testo del problema potrebbe essere il seguente "L'angolo al centro di un settore circolare ha un'ampiezza di 45°".
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   Utilizza una formula apposita per calcolare l'area di un cerchio. Conoscendo l'area superficiale di un settore circolare e il relativo angolo al centro è possibile usare una formula matematica specifica per calcolare l'area del relativo cerchio partendo da queste informazioni. La formula è la seguente:

   • $A_{cerchio}=A_{settore}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cerchio}$ indica l'area dell'intero cerchio.
     • $A_{settore}$ rappresenta l'area del settore circolare in esame.
     • $C$ rappresenta l'ampiezza dell'angolo al centro del settore circolare.
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   Sostituisci le variabili con i relativi valori noti ed esegui i calcoli. Nel nostro esempio sappiamo che l'ampiezza dell'angolo al centro del settore è pari a 45° e che la relativa area è di 15$\pi$. Sostituisci questi valori all'interno della formula e risolvi l'equazione ottenendo:

   • $A_{cerchio}=A_{settore}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cerchio}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cerchio}=15\pi \times 8$
   • $A_{cerchio}=120\pi$
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   Riporta la soluzione del problema nella forma corretta. Nel nostro esempio il settore circolare in esame rappresenta esattamente un ottavo della superficie totale del relativo cerchio. Eseguendo i calcoli, abbiamo ottenuto che l'area del cerchio è pari a 120$\pi$ cm². Dato che l'area del settore circolare studiato è stata fornita in base a $\pi$, possiamo ipotizzare che l'area totale del relativo cerchio dovrà essere espressa con la medesima notazione.

   • Se hai la necessità di esprimere il risultato finale in forma numerica, dovrai semplicemente eseguire questo calcolo $120\times 3,14$, ottenendo 376,8 cm².
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