Comment calculer la hauteur d'un triangle

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Avec la base et l'aire

Avec trois côtés égaux (triangle équilatéral)

Avec d'autres données

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Résumé de l'article

À l'école, dans un exercice de calcul d'aire d'un triangle, il faut impérativement connaitre la hauteur. Souvent, elle est donnée, mais parfois elle n'est pas indiquée. Il faut donc absolument la trouver en fonction des seules informations qui ont été délivrées. Il existe au moins trois façons de calculer la hauteur d'un triangle en fonction des données qui peuvent vous être fournies.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Avec la base et l'aire

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   Utilisez la formule de calcul de l'aire d'un triangle. La formule la plus courante est la suivante : $A=1/2(bh)={\frac {1}{2}}bh={\frac {bh}{2}}$ , formule dans laquelle :

   • $A$ est l'aire du triangle ;
   • $b$ est la longueur de la base du triangle ;
   • $h$ est la hauteur associée à la base précédente.
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   Observez votre triangle et récupérez les données connues. Prenons un triangle dont on connait l'aire $A$. La longueur d'un des côtés que l'on appellera $b$ est aussi donnée. N'importe quel côté du triangle peut servir de base et si, dans l'exercice qui vous est proposé, celle-ci n'est pas en bas de la figure, faites-le mentalement… ou faites pivoter la feuille !

   Exemple :
   Pour un triangle de 4 cm de base et d'une aire de 20 cm², vous avez :
   $A=20$ et $b=4$.
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   Faites l'application numérique avec la formule $$ A = 1 / 2 ( b h ) {\displaystyle A=1/2(bh)} . Comme on cherche $h$, les calculs sont alors les suivants : multipliez la base ($b$) par 1/2, puis divisez l'aire ($A$) par le résultat précédent. La valeur obtenue est la hauteur $h$ de votre triangle !

   Exemple :
   $20=1/2(4)h$ (application numérique)
   $20=2h$ (produit de 1/2 par 4).
   $h=10$ (division par 2)

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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Avec trois côtés égaux (triangle équilatéral)

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   Utilisez les propriétés du triangle équilatéral. Comme son nom l'indique, un triangle équilatéral est constitué de trois côtés d'égale longueur : il a donc trois angles égaux à 60° (la somme des angles d'un triangle est toujours de 180°). En coupant un triangle équilatéral en deux, on obtient deux triangles rectangles congruents .

   • Nous prendrons un exemple concret, celui d'un triangle équilatéral de 8 cm de côté.
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   Utilisez le mythique théorème de Pythagore. Selon le philosophe grec, dans un triangle rectangle dont les côtés sont $a$, $b$ et $c$, $c$ étant l'hypoténuse (le plus long côté), on a l'équation suivante : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. C'est cette équation qui va nous permettre de trouver la hauteur de notre triangle  !
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   Coupez votre triangle équilatéral en deux. Prenons le triangle rectangle de droite. Il a trois côtés : $a$, $b$ et $c$. Ce dernier côté est le plus long, est opposé à l'angle droit et a comme longueur celle du côté du triangle de départ. $a$ a comme longueur la moitié du côté du triangle de départ et $b$ est la hauteur ($h$).

   • Pour le triangle de 8 cm de côté, si on le coupe en deux, on a un triangle rectangle avec $c=8\ cm$ et $a=4\ cm$.
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   Faites l'application numérique avec l'équation de Pythagore. Pour trouver dans un premier temps $b^{2}$, calculez les deux carrés ($c^{2}$ et $a^{2}$), puis ôtez $a^{2}$ de $c^{2}$.

   Exemple :
   $4^{2}+b^{2}=8^{2}$ (application numérique)
   $16+b^{2}=64$ (calcul des carrés)
   $b^{2}=64-16=48$ (isolement de $b^{2}$)
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   Calculez $$ b {\displaystyle b} . C'est en fait la hauteur du triangle. Vous avez trouvé $b^{2}$ et pour connaitre $b$, il faut extraire la racine de $b^{2}$ ($b={\sqrt {b^{2}}}$). Pour cela, sur votre calculatrice, tapez la valeur de $b^{2}$, puis appuyez sur la touche √ : le résultat est la hauteur $h$ de votre triangle équilatéral !

   • $b=h={\sqrt {48}}\approx {6,93}\ cm$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Avec d'autres données

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   Voyez les données que vous avez. On peut trouver la hauteur d'un triangle en ayant les trois côtés, ou seulement les longueurs des 2 côtés et l'angle qu'ils forment. Nous appellerons $a$, $b$ et $c$ les côtés du triangle et $A$, $B$ et $C$ les trois angles.

   • Si vous connaissez les trois côtés, utilisez la formule de Héron et celle de l'aire d'un triangle.
   • Si vous connaissez deux côtés et leur angle, utilisez la formule d'aire (A) suivante : $A={\frac {1}{2}}ab\times sin(C)$ .
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   Si vous avez les trois côtés, servez-vous de la formule de Héron. Elle se décompose en deux temps. Premièrement, on calcule $s$, c'est-à-dire le demi-périmètre, d'où la formule : $s=(a+b+c)/2$ .

   Exemple avec la formule de Héron :
   Soit un triangle avec $a=4\ cm$, $b=3\ cm$ et $c=5\ cm$ :
   $s=(4\ cm+3\ cm+5\ cm)/2$
   $s=(12\ cm)/2$
   $s=6\ cm$
   Ensuite, il faut se servir d'une seconde formule :
   $A\ (aire)={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$. Remplacez $A$ par son autre expression : $A={\frac {1}{2}}bh$.
   Calculez $h$. Dans notre exemple ($b$ est la base), cela donne :
   ${\frac {1}{2}}(3)h={\sqrt {6(6-4)(6-3)(6-5)}}$
   ${\frac {3}{2}}h={\sqrt {6(2)(3)(1)}}$
   ${\frac {3}{2}}h={\sqrt {36}}$
   Servez-vous d'une calculatrice pour calculer ${\sqrt {36}}$ : ${\sqrt {36}}=6$.
   Si ${\frac {3}{2}}h=6$, alors $h=4\ cm$ : c'est la hauteur associée à la base $b$.
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   Utilisez encore une autre formule. Dans le cas où l'on vous donne les longueurs de 2 côtés ($a$ et $b$) et l'angle $\alpha$ entre eux, servez-vous d'une autre formule de l'aire du triangle. Vous connaissez $A={\frac {1}{2}}bh$, il y a aussi $A={\frac {1}{2}}ab\times sin(C)$. En les mettant à égalité, on obtient la formule suivante : ${\frac {1}{2}}bh={\frac {1}{2}}ab\times sin(C)$. On simplifie de chaque côté par $1/2b$, ce qui donne : $h_{b}=a\times sin(C)$ .

   Prenons un triangle dont $a$ mesure 3 cm et $\alpha$ (entre $a$ et $b$) mesure 40°, la hauteur associée au côté $b$ ($h_{b}$) s'obtient en calculant : $h_{b}=a\times sin(40)$. Comme avec la calculatrice, vous trouvez que : $sin(40)=0,642$, vous en concluez que la hauteur $h_{b}$ mesure environ 1,928 cm.

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