Comment calculer le déterminant d'une matrice 3 x 3

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Références

En calcul infinitésimal, en algèbre linéaire et en géométrie avancée, on se sert fréquemment des déterminants des matrices. Dans la vie de tous les jours, certaines professions (ingénieurs, infographistes) les utilisent tout aussi fréquemment . Si vous savez déjà calculer le déterminant d'une matrice 2 x 2, ce sera facile, il vous suffira d'additionner, de soustraire et de multiplier.

Étapes

Partie 1

Partie 1 sur 2:

Trouver le déterminant

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   Inscrivez votre matrice 3 x 3. Nous allons chercher le déterminant |A| d'une matrice A de 3 x 3. Voici comment se présente une matrice et notre matrice de référence :

   • $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
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   Prenez une ligne ou une colonne. Ce sera votre référence. À la fin, vous aurez le même résultat, quelle que soit la ligne ou la colonne choisie. Ici, nous prendrons la première ligne. Plus loin, nous vous expliquerons quelle référence choisir afin de faciliter le calcul.

   • Choisissons donc la première ligne de la matrice A. Entourez 1 5 3. De façon plus théorique, on entoure a₁₁ a₁₂ a₁₃.
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   Barrez la ligne et la colonne du premier coefficient. Prenez en considération le premier coefficient de la ligne ou de la colonne choisie. Barrez d'un trait la colonne et la ligne sur lesquelles se trouve ledit coefficient. Il vous reste alors quatre valeurs non barrées. On les considèrera comme une matrice 2 x 2.

   • Nous avons donc choisi la première ligne : 1 5 3. Le premier coefficient est sur la ligne 1 et sur la colonne 1. Barrez-les. Écrivez les coefficients restants sous forme d'une matrice 2 x 2:
   •  1  5 3
   •  2  4 7
   •  4  6 2
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   Calculez le déterminant de cette matrice 2 x 2. Pour mémoire, la matrice ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ a pour déterminant : ad - bc . On fait la soustraction du produit en croix : on multiplie ensemble les coefficients opposés, puis on les soustrait. C'est ainsi que vous allez pouvoir calculer le déterminant de la sous-matrice 2 x 2 qu'on a isolée.

   • Revenons à notre exemple. Le déterminant de la matrice ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ est : = (4 x 2) - (7 x 6) = -34.
   • Ce déterminant est appelé le mineur du coefficient choisi . Ici, vous avez calculé le mineur de a₁₁.
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   Multipliez ce mineur par son coefficient. Souvenez-vous : vous avez au départ choisi un coefficient dans votre ligne (ou colonne) de référence, ce qui a entrainé la mise de côté d'une ligne et d'une colonne. Multipliez ce coefficient par le mineur trouvé avec la matrice 2 x 2.

   • Nous avions choisi a₁₁, qui avait une valeur de 1. Multipliez-la par le mineur de -34 (déterminant de la matrice 2 x 2). Vous obtenez : 1 x -34 = -34.
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   Déterminez le signe de la réponse. En multipliant par 1 ou -1, vous obtiendrez ce qu'on appelle le cofacteur du coefficient. Le choix entre 1 et -1 dépend de la place du coefficient dans la matrice 3 x 3. Il vous faut mémoriser la matrice des signes qui s'établit comme suit :

   • + - +
   • - + -
   • + - +
   • Nous avions choisi a₁₁, situé sur un +. Vous devez multiplier votre mineur par +1, ce qui laisse la réponse inchangée. La réponse est donc : -34.
   • Pour les puristes, le signe est donné par la formule : (-1)^i+j, dans laquelle i et j sont les rangs de la ligne et de la colonne du coefficient choisi .
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   Recommencez avec le deuxième coefficient. Revenez à la matrice 3 x 3 et prenez le deuxième coefficient de la zone encerclée. Recommencez les mêmes calculs :

   • barrez la ligne et la colonne de ce coefficient. Dans notre exemple, on prend a₁₂ qui a une valeur de 5. On barre la ligne 1 (1 5 3) et la colonne 2 ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$,
   • il reste comme précédemment une matrice 2 x 2. Ici, il reste la matrice ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$,
   • calculez le déterminant de cette matrice 2 x 2. La formule est la même : ad - bc, soit (2 x 2) - (7 x 4) = -24,
   • multipliez ce résultat par le coefficient de départ : -24 x 5 = -120,
   • déterminez le signe de votre résultat. Servez-vous de la matrice des signes ou de la formule (-1)^i+j. Nous avons pris le coefficient a₁₂, qui implique un signe négatif. Son cofacteur est donc : (-1)(-120) = 120.
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   Pour finir, passez au troisième coefficient. Il reste donc un dernier cofacteur à trouver, celui du dernier coefficient de votre ligne de référence. Voici rapidement comment on calcule le cofacteur de a₁₃ :

   • barrez la ligne 1 et la colonne 3, ce qui donne la sous-matrice : ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$,
   • le déterminant est : (2 x 6) - (4 x 4) = -4,
   • multipliez par le coefficient a₁₃ : -4 x 3 = -12,
   • le coefficient a₁₃ se voit assigner le signe « + ». Le cofacteur est donc inchangé et égal à -12.
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   Additionnez les trois cofacteurs. C'est la dernière étape du calcul. Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3.

   • Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
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Partie 2

Partie 2 sur 2:

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   Prenez comme référence la ligne avec le plus de zéros. Vous vous rappelez que vous pouvez prendre n'importe quelle ligne ou colonne, le résultat sera le même. Si vous prenez une référence avec des zéros, vous vous épargnez les calculs pour ces coefficients nuls. Voyez plutôt :

   • Admettons que vous choisissiez la ligne 2 avec les coefficients a₂₁, a_{22 et} a₂₃. Pour trouver le déterminant, il nous faut les trois déterminants des sous-matrices A₂₁, A₂₂ et A₂₃.
   • Le déterminant de la matrice 3 x 3 est donnée par la somme suivante : a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
   • Admettons que a₂₂ et a₂₃ soient égaux à 0, la somme devient : a₂₁|A₂₁| - 0 x |A₂₂| + 0 x |A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Vous le voyez, il ne faut calculer que le cofacteur du premier coefficient. Cela va plus vite, non ?
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   Allez plus vite en additionnant des lignes. Si vous prenez les coefficients d'une ligne et que vous les additionnez à ceux d'une autre ligne, le déterminant de la matrice restera inchangé. Ceci est également valable avec les colonnes. Vous pouvez faire cela plusieurs fois et même multiplier par un facteur x avant d'additionner, et ce, afin d'avoir le plus de zéros possible. Vous allez gagner un temps fou !

   • Prenons l'exemple de la matrice suivante (lignes) : ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
   • Afin d'annuler la valeur 9 du coefficient a₁₁, il est possible de multiplier la deuxième ligne par -3, puis de faire la somme des deux lignes. La première ligne devient alors : [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
   • La nouvelle matrice est devenue : ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ Pour vous exercer, essayez de faire de même, avec les colonnes cette fois, pour annuler a₁₂.
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   Connaissez les raccourcis des matrices triangulaires. Dans certains cas, le déterminant est tout simplement le produit des coefficients de la diagonale qui va de a₁₁ (en haut à gauche) à a₃₃ (en bas à droite). Nous parlons toujours de matrices 3 x 3, mais il s'agit de matrices particulières, dites « triangulaires », ayant une répartition particulière des coefficients nuls. Voici ces trois cas :

   • matrice triangulaire supérieure : tous les coefficients non nuls sont sur ou au-dessus de la diagonale, ou si vous préférez, tous ceux strictement situés au-dessous sont nuls,
   • matrice triangulaire inférieure : tous les coefficients non nuls sont sur ou au-dessous de la diagonale,
   • matrice diagonale : tous les coefficients non nuls sont sur la diagonale (cas particulier des deux cas précédents).
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Conseils

• Si tous les coefficients d'une ligne ou d'une colonne sont 0, le déterminant est vite calculé : il est égal à 0 !
• Les principes de cette méthode peuvent être utilisés pour trouver les déterminants des matrices de n'importe quelle dimension. Avec une matrice 4 x 4, vous vous retrouverez avec une sous-matrice de type 3 x 3, dont vous savez à présent calculer le déterminant. Cependant, on vous laisse imaginer les calculs fastidieux pour des matrices de grande taille !

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