Como Calcular a Área de um Círculo

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Usando o raio para calcular a área

Calculando a área a partir do diâmetro

Usando a circunferência para calcular a área

Calculando a área de um setor circular

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Referências

Um dos problemas mais comuns das aulas de geometria é ter de calcular a área de um círculo a partir de informações dadas no enunciado da questão. Para isso, você deve saber a fórmula básica, que é simples e só envolve o raio da figura: $A=\pi r^{2}$. Ademais, também é bom converter alguns valores em unidades que possam facilitar o uso da fórmula e a resolução dos problemas.

Passos

Método 1

Método 1 de 4:

Usando o raio para calcular a área

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   Identifique o raio de um círculo. O raio equivale à distância do centro do círculo à sua extremidade e tem o mesmo valor em qualquer ponto da figura geométrica. Além disso, ele vale metade do diâmetro, que, por sua vez, é o segmento de linha que passa pelo meio do círculo e conecta seus lados opostos.

   • Geralmente, o enunciado do problema informa o raio. Pode ser difícil determinar o centro exato de um círculo, a menos que ele já esteja bem marcado no papel.
   • No exemplo abaixo, imagine que tem um círculo de raio igual a 6 centímetros.
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   Eleve o raio ao quadrado. A fórmula da área do círculo é $A=\pi r^{2}$, na qual o $r$ representa o raio e o $^{2}$ indica que ele está elevado ao quadrado.

   • Não eleve toda a equação ao quadrado por engano.
   • Usando o valor do exemplo, $r=6$: $r^{2}=36$.
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   Multiplique o raio por pi. Pi, representado simbolicamente pela letra grega $\pi$, é uma constante matemática que representa a relação de proporção entre o raio e a área do círculo. Em valores decimais aproximados, equivale a 3,14 — valor infinito. Para chegar a um número exato para a área de um círculo, anote a resposta usando o símbolo $\pi$ em si.

   • No exemplo de raio igual a 6 cm, a área fica assim:
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$ ou $A=36(3,14)=113,04$
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   Anote o resultado. Lembre-se de que a área deve ser representada em unidades quadráticas: se o raio estiver em centímetros, a área vai estar em centímetros quadrados; se o raio estiver em metros, ela vai estar em metros quadrados etc. Você também pode aprender a escrever a resposta usando o símbolo $\pi$ ou o valor numérico aproximado. Em caso de dúvidas, use ambos.

   • No exemplo do círculo de raio igual a 6 cm, a área ficaria como 36$\pi$ cm² ou 113,04 cm².
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Método 2

Método 2 de 4:

Calculando a área a partir do diâmetro

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   Meça ou anote o valor do diâmetro. Alguns problemas e enunciados informam o diâmetro do círculo, em vez do raio. Se o objeto estiver desenhado na folha, meça-o com uma régua. Em outros casos, basta ler o problema para determinar o seu valor.

   • Neste exemplo, imagine que o diâmetro do círculo é de 50 centímetros.
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   Divida o diâmetro pela metade. Lembre-se de que o diâmetro equivale ao dobro do raio. Assim, seja qual for o seu valor, você vai ter de cortá-lo ao meio.

   • Portanto, para o círculo cujo diâmetro vale 50 cm, o raio vai ser igual a 50/2: 25 centímetros.
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   Use a fórmula original da área. Após converter o diâmetro ao raio, você vai poder usar a fórmula $A=\pi r^{2}$ para calcular a área. Insira o valor do raio e faça o resto dos cálculos assim:

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 25^{2}$
   • $A=625\pi$
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   Anote o valor da área. Veja se deve informá-la em unidades quadráticas. Neste exemplo, o diâmetro estava em centímetros; portanto, o raio também deve estar. Por fim, você vai ter de anotar a área em centímetros quadrados — e vai equivaler a $625\pi$ cm².

   • Você também pode fazer uma aproximação numérica, multiplicando o valor por 3,14 em vez de $\pi$. Assim, vai chegar ao resultado de (625)(3,14) = 1.962,5 cm².
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Método 3

Método 3 de 4:

Usando a circunferência para calcular a área

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   Aprenda a usar a versão revisada da fórmula. Se souber a circunferência de um círculo, você pode alterar a fórmula da área para usar o valor diretamente, sem o raio. Dessa maneira, ela ficaria assim:

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   Meça ou anote o valor da circunferência. Em alguns exercícios, você pode não conseguir calcular o diâmetro ou o raio de forma precisa. Se os detalhes do círculo não estiverem bem desenhados em papel, vai ser difícil chegar a uma estimativa do seu centro. Em alguns círculos físicos — uma forma de pizza ou uma frigideira, por exemplo —, você pode conseguir usar uma fita métrica para medir a circunferência de forma mais precisa que o diâmetro.

   • Neste exemplo, imagine que sabe que a circunferência de um círculo (ou objeto circular) é de 42 centímetros.
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   Use a relação entre a circunferência e o raio para alterar a fórmula. Lembre-se de que a circunferência equivale a pi multiplicado pelo diâmetro: $C=\pi d$. Depois, lembre-se de que o diâmetro equivale ao dobro do raio: $d=2r$. Use ambas essas informações para criar a seguinte relação: $C=\pi 2r$. Depois, isole a variável $r$, assim:

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$….. (divida ambos os lados por 2$\pi$)
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   Substitua a área do círculo na fórmula. Você pode modificar ainda mais a fórmula da área do círculo usando a relação entre circunferência e raio. Insira essas informações na fórmula original, assim:

   • $A=\pi r^{2}$…..(fórmula da área original)
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$….. (troque a equivalência por r)
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$…..(eleve a fração ao quadrado)
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$…..(corte $\pi$ no numerador e no denominador)
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   5
   Use a fórmula revisada (escrita com a circunferência, em vez do raio) para chegar diretamente à área. Insira o valor da circunferência e faça os cálculos:

   • Neste exemplo, você tem o valor de $C=42$ centímetros.
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$…..(insira o valor)
   • $A={\frac {1764^{2}}{4\pi }}$…..(calcule 42²)
   • $A={\frac {441^{2}}{4\pi }}$…..(divida o valor por 4)
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   Anote o resultado. A menos que o problema informe que a circunferência é um múltiplo de $\pi$, o seu resultado provavelmente vai ser uma fração com $\pi$ no denominador — o que não está errado. Anote o cálculo da área desse jeito ou divida-o por 3,14 para fazer uma aproximação.

   • Ainda nesse exemplo, com o círculo de circunferência igual a 42 cm, a área equivale a ${\frac {441}{\pi }}$ cm².
   • Se fizer a aproximação, ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3,14}}=140,4$. A área final vai ser aproximadamente 140 cm².
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Método 4

Método 4 de 4:

Calculando a área de um setor circular

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   Separe as informações dadas no enunciado ou que você já conhece. Em alguns problemas, o enunciado pode dar informações sobre um setor circular e pedir a área de toda a figura. Leia-o com atenção e busque algo como "Um setor do círculo O tem 15$\pi$ cm² de área. Determine a área de todo o círculo".
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   Defina o setor que quer calcular. Para definir o setor, basta desenhar dois raios a partir do centro até as extremidades e usar o espaço no meio.
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   Meça o ângulo central do setor. Use um transferidor para medir o ângulo central, formado pelos dois raios. Ponha a base do acessório em uma das linhas, com o seu ponto central alinhado ao centro da figura em si. Depois, leia o ângulo que corresponde à posição do segundo raio.

   • Determine se tem de medir o ângulo interno (entre os dois raios) ou externo (o resto do círculo). O problema vai dar instruções quanto a isso. A soma de ambos deve ser igual a 360 graus.
   • Em vez de pedirem o ângulo central, alguns problemas informam os valores no enunciado, como "O ângulo central do setor é 45 graus", e pedem os cálculos.
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   Use uma fórmula modificada da área. Quando souber a área de um setor e a medida do ângulo central dele, use a fórmula modificada a seguir para chegar à área:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cir}$ é a área do círculo completo
     • $A_{sec}$ é a área do setor
     • $C$ é a medida do ângulo central
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   5
   Insira os valores que já tem e calcule a área. Neste exemplo, você sabe que o ângulo central mede 45 graus e que o setor tem 15$\pi$ de área. Insira os valores na fórmula e faça os cálculos da circunferência:

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cir}=15\pi (8)$
   • $A_{cir}=120\pi$
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   Anote o resultado. Neste exemplo, o setor valia 1/8 do círculo completo. Portanto, a área do círculo é 120$\pi$ cm². Já que a área do setor foi dada em $\pi$, você pode representar a área da figura inteira da mesma forma.

   • Se quiser anotar o resultado em um valor numérico, multiplique 120 x 3,14 para chegar ao valor de 376,8 cm².
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