كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين

تنزيل المقال

تنزيل المقال

المتجه في الرياضيات هو أي شيء له طول محدد (يعرف بالمقدار) واتجاه. سيكون عليك استخدام معادلات خاصة لإيجاد الزوايا بين المتجهات نظرًا لأنها ليست أشكالًا أو خطوطًا عادية.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 2:

إيجاد الزاوية بين متجهين

تنزيل المقال

1. 
   1
   تعريف المتجه. اكتب كل المعلومات المتوافرة لديك والخاصة بالمتجهين. سنفترض أن لديك تعريف المتجه بالإحداثيات الكارتيزية (تسمى العناصر أيضًا). تستطيع تجاوز بعض الخطوات الموضحة أدناه إذا كنت تعرف طول المتجه (المقدار).

   • مثال: المتجه ثنائي الأبعاد ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) والمتجه ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). كما يمكن كتابتهما ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j and ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • رغم أن أمثلتنا تستخدم متجهات ثنائية الأبعاد، إلا أن التعليمات أدناه تغطي المتجهات متعددة العناصر.
2. 
   2
   اكتب معادلة جيب التمام. ابدأ بمعادلة إيجاد جيب تمام الزاوية θ الواقعة بين متجهين لإيجاد الزاوية. يمكنك معرفة المزيد عن هذه المعادلة أدناه أو كتابتها فحسب:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||)
   • تعني ||${\overrightarrow {u}}$|| طول المتجه ${\overrightarrow {u}}$.
   • تمثل ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ الضرب النقطي (القياسي) للمتجهين وهو مشروحٌ أدناه.
3. 
   3
   احسب طول كل من المتجهين. تصور مثلثًا قائمًا مرسومًا من العنصر السيني للمتجه والعنصر الصادي والمتجه نفسه. يشكل المتجه وتر المثلث، لذا سنستخدم نظرية فيثاغورث لإيجاد طوله، وكما سيتضح فإن هذه المعادلة تنطبق بسهولة على أي متجه بأي عدد من العناصر.

   • ||u||² = u₁² + u₂². واصل إضافة +u ₃² + u₄² + ... إذا كان للمتجه أكثر من عنصرين.
   • لذا فإن المتجه ثنائي الأبعاد ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • في المثال ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
4. 
   4
   احسب حاصل الضرب النقطي للمتجهين. لقد تعلمت طريقة ضرب المتجهات هذه على الأرجح والتي تسمى أيضًا "الضرب القياسي". اضرب العناصر الموجودة في نفس الاتجاه ببعضها البعض ثم اجمع النتائج لحساب حاصل الضرب النقطي لعناصر المتجه.

   • انظر أفكار مفيدة قبل المتابعة لبرامج الرسم بالحاسوب.
   • للصياغة الرياضية ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ حيث u = (u₁, u₂). واصل إضافة u₃v₃ + u₄v₄... إذا كان للمتجه أكثر من عنصرين.
   • نجد في مثالنا أن ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. هذا هو حاصل الضرب النقطي للمتجهين ${\overrightarrow {u}}$ and ${\overrightarrow {v}}$.
5. 
   5
   عوض بالنتائج في المعادلة. تذكر أن cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||). صرت تعرف الآن حاصل الضرب النقطي وأطوال المتجهات. عوض بها في المعادلة لحساب جيب تمام الزاوية.

   • نجد في مثالنا أن cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   جد الزاوية بناءً على جيب التمام. يمكنك استخدام دالة arccos أو cos^-1 على آلتك الحاسبة لإيجاد الزاوية θ من القيمة المعلومة لجيب تمامها. قد تتمكن في بعض النتائج من إيجاد الزاوية بناءً على دائرة الوحدة.

   • نجد في مثالنا أن cosθ = √2 / 2. أدخل "arccos(√2 / 2)" على الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية. جد الزاوية θ على دائرة الوحدة بدلًا مما سبق حيث cosθ = √2 / 2 وهذا ينطبق عند θ = ^ط/₄ أو 45º.
   • تصبح المعادلة النهائية بعد تجميع كل ما سبق: الزاوية θ = arccosine((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||))

جزء 2

جزء 2 من 2:

تعريف معادلة الزاوية

تنزيل المقال

1. 
   1
   فهم الغرض من هذه المعادلة. لم تشتق هذه المعادلة من قواعد موجودة وإنما نشأت من تعريف الضرب النقطي لمتجهين والزاوية بينهما. لكن هذا القرار لم يكن عشوائيًا فبالرجوع إلى أساسيات الهندسة نرى سبب حصولنا على تعريفات بدهية ومفيدة من هذه المعادلة.

   • تستخدم الأمثلة الموضحة أدناه متجهات ثنائية الأبعاد لأنها الأكثر بديهية في الاستخدام، لكن تعرف خصائص المتجهات ثلاثية الأبعاد أو ذات العناصر الأكثر بمعادلة عامة مشابهة للغاية.
2. 
   2
   راجع قانون جيب التمام. خذ مثلثًا عاديًا حيث هناك زاوية θ بين الأضلاع أ وب والضلع المقابل ج. ينص قانون جيب التمام على أن c² = a² + b² -2abcos(θ). يشتق هذا بسهولة من أساسيات الهندسة.
3. 
   3
   قم بتوصيل متجهين لتكوين مثلث. ارسم متجهين ثنائيي الأبعاد على الورق وهما ${\overrightarrow {a}}$ و ${\overrightarrow {b}}$ وبينهما الزاوية θ. ارسم متجهًا ثالثًا بينهما لتكوين مثلث، بعبارة أخرى ارسم المتجه ${\overrightarrow {c}}$ such that ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$. هذا المتجه ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$.
4. 
   4
   اكتب قانون جيب التمام لهذا المثلث. عوض بأطوال أضلاع "مثلث المتجهات" في قانون جيب التمام:

   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. 
   5
   اكتب هذا باستخدام الضرب النقطي. تذكر أن الضرب النقطي هو تكبير أحد المتجهين وإسقاطه على الآخر. لا يتطلب الضرب النقطي للمتجه في نفسه أي إسقاط إذ ليس هناك اختلافٌ في الاتجاه. هذا يعني ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||². استخدم هذه الحقيقة لإعادة كتابة المعادلة:

   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. 
   6
   أعد كتابتها بالصيغة المألوفة. قم بفك الطرف الأيمن من المعادلة ثم بسطه لتصل للمعادلة المستخدمة لإيجاد الزوايا.

   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)

أفكار مفيدة

• استخدم هذه المعادلة لأي متجهين ثنائيي الأبعاد لإجراء تعويض والحصول على حل سريع:cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
• الأرجح أنك ستهتم باتجاهات المتجهات فقط لا أطوالها إذا كنت تعمل على برامج الرسم بالحاسوب. اتبع هذه الخطوات لتبسيط المعادلات وتسريع البرنامج:
  • استخدم التنسيب الأحادي لكل متجه بحيث يصبح الطول 1 وسيكون عليك قسمة عناصر المتجه على طوله لفعل هذا.
  • خذ حاصل الضرب النقطي للمتجهات المنسبة بدلًا من الأصلية.
  • استبعد حدود الطول من معادلتك حيث أنه يساوي 1. ستكون المعادلة النهائية للزاوية (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$).
• يمكننا أن نعرف سريعًا ما إذا كانت الزاوية حادة أم منفرجة من معادلة جيب التمام. ابدأ بالمعادلة cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||):
  • لابد أن تتطابق إشارات طرفي المعادلة الأيمن والأيسر (موجب أو سالب)
  • لابد أن تكون إشارة cosθهي نفس إشارة حاصل الضرب النقطي لأن الأطوال موجبة دومًا.
  • لذا فإن cosθ تكون موجبة إذا كان الضرب النقطي موجبًا ونكون في الربع الأول من دائرة الوحدة حيث θ < ط/2 أو 90ْ.
  • ستكون cosθ سالبة إذا كان الضرب النقطي سالبًا وسنكون في الربع الثاني من دائرة الوحدة حيث ط/2 < θ ≤ ط أو 90ْ < θ ≤ 180ْ والزاوية منفرجة.