كيفية حساب مجموع متتالية حسابية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام التي يزيد فيها كل حد عن الحد التالي له بمقدار ثابت. يمكنك جمع الأرقام كلها بنفسك لإيجاد مجموع متتالية حسابية؛ لكن تصبح هذه الطريقة غير عملية عندما تتكون المتتالية من عدد كبير من الأرقام، لذلك يوجد قانون يمكّنك من إيجاد مجموع أي تسلسل حسابي بسرعة من خلال ضرب متوسط الحد الأول والأخير في عدد حدود المتتالية.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 3:

تقييم المتتالية

تنزيل المقال

1. 
   1
   تأكد أن سلسلة الأعداد التي أمامك هي متتالية حسابية. المتتالية الحسابية هي عبارة عن سلسلة مرتبة من الأرقام، يكون الفرق بين كل رقمين متتابعين بها ثابتًا. لن تنفع هذه الطريقة لحساب مجموع سلسلة عددية إلا إذا كانت متتالية حسابية.

   • لتحديد ما إذا كانت مجموعة الأرقام هي متتالية حسابية، احسب الفرق بين الأرقام القليلة الأولى وكذلك بين الأرقام الأخيرة، وتأكد أن الفرق بين كل عددين متتالين هو نفسه في الحالتين.
   • على سبيل المثال: سلسلة الأعداد 10، 15، 20، 25، 30 هي متتالية حسابية، لأن الفرق بين كل حدين متتالين ثابت (5).
2. 
   2
   حدد عدد حدود المتتالية. يمثل كل رقم في السلسلة حد. يمكنك عدّ الحدود ببساطة إذا كانت قليلة، ماعدا ذلك، اعرف الحد الأول والحدالأخير والأساس (الفرق بين كل حدين متتالين) إن أمكن، حيث يمكنك استخدامهم في القانون الخاص بإيجاد عدد الحدود. لنمثل هذا العدد بواسطة رمز المتغير $n$.

   • على سبيل المثال: إذا كنت تحسب مجموع المتتالية 10، 15، 20، 25، 30، فإن $n=5$ لأن المتتالية مكونة من 5 حدود.
3. 
   3
   حدد الحددين الأول والأخير في المتتالية. ينبغي أن تعرف هذين الرقمين لحساب مجموع المتتالية الحسابية. غالبًا ما يكون الرقم الأول هو 1، لكنه لا يكون كذلك دائمًا. استخدم المتغير $a_{1}$ ليرمز للحد الأول من المتتالية، والمتغير $a_{n}$ يساوي الحد الأخير.

   • على سبيل المثال: في المتتالية 10، 15، 20، 25، 30 يكون $a_{1}=10$ و$a_{n}=30$.

جزء 2

جزء 2 من 3:

حساب المجموع

تنزيل المقال

1. 
   1
   اكتب قانون حساب مجموع متتالية حسابية. القانون هو $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$، حيث $S_{n}$ يساوي مجموع أعداد المتتالية.

   • لاحظ أن هذا القانون يبين أن مجموع متتالية حسابية يساوي متوسط الحد الأول والأخير، مضروبًا في عدد الحدود.
2. 
   2
   عوض في القانون عن قيم كل من $$ n {\displaystyle n} و $$ a 1 {\displaystyle a_{1}} و$$ a n {\displaystyle a_{n}} ، وتأكد من استعمال القيمة العددية الصحيحة المقابلة لكل متغير.

   • على سبيل المثال: إذا كان في المتتالية 5 حدود، و10 هو الحد الأول و30 الحد الأخير، سيصبح التعويض في القانون كما يلي: $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$.
3. 
   3
   احسب متوسط الحدين الأول والثاني من خلال جمع الرقمين ثم قسمة ناتج الجمع على 2.

   • مثال:
     $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
     $S_{n}=5(20)$
4. 
   4
   اضرب المتوسط في عدد حدود المتتالية. سوف تجد بهذا مجموع المتتالية الحسابية.

   • مثال:
     $S_{n}=5(20)$
     $S_{n}=100$
     إذًا: مجموع المتتالية الحسابية 10، 15، 20، 25، 30 هو 100.

جزء 3

جزء 3 من 3:

نماذج حل مسائل

تنزيل المقال

1. 
   1
   أوجد مجموع الأرقام بين 1 و500. احسب جميع الأعداد الصحيحة المتتالية بينهما.

   • حدد عدد الحدود ($n$) في المتتالية. بما أنك تتعامل مع جميع الأعداد الصحيحة المتتالية وصولًا إلى العدد 500؛ إذًا $n=500$.
   • حدد أول حد ($a_{1}$) وآخر حد ($a_{n}$) في المتتالية. بما أن المتتالية من 1 إلى 500، $a_{1}=1$ و $a_{n}=500$.
   • أوجد متوسط $a_{1}$ و $a_{n}$: ${\frac {1+500}{2}}=250.5$.
   • اضرب المتوسط في $n$: $250.5\times 500=125250$.
2. 
   2
   أوجد مجموع متتالية حسابية مذكور مواصفاتها التالية. الحد الأول في المتتالية هو 3 والأخير هو 24، والأساس هو 7.

   • حدد عدد الحدود ($n$) في المتتالية. بما أنها تبدأ بـ 3 وتنتهي بـ 24، وتزيد كل مرة بمقدار 7، تكون المتتالية عبارة عن 3، 10، 17، 24. (الأساس هو الفرق بين كل حدين متتالين في المتتالية). يعني هذا أن $n=4$
   • حدد أول حد ($a_{1}$) وآخر حد ($a_{n}$) في المتتالية. بما أن المتتالية من 3 إلى 24، $a_{1}=3$ و $a_{n}=24$.
   • أوجد متوسط $a_{1}$ و $a_{n}$: ${\frac {3+24}{2}}=13.5$.
   • اضرب المتوسط في $n$: $13.5\times 4=54$.
3. 
   3
   حل المسألة التالية. وفرت ميرنا 5 جنيهات في الأسبوع الأول من العام، ثم أصبحت تزيد مدخراتها الأسبوعية بمقدار 5 جنيهات كل أسبوع طوال ما تبقى من العام. ما مقدار المال الذي ستوفره ميرنا بحلول نهاية العام؟

   • حدد عدد حدود المتتالية الذي يرمز له ($n$). بما أن ميرنا تدخر لمدة 52 أسبوع (سنة)، $n=52$.
   • حدد أول حد ($a_{1}$) وآخر حد ($a_{n}$) في المتتالية. أول مبلغ تدخره هو 5 جنيهات، بالتالي $a_{1}=5$. لمعرفة المبلغ الذي تدخره في الأسبوع الأخير من السنة؛ احسب $5\times 52=260$. إذًا:$a_{n}=260$.
   • أوجد متوسط $a_{1}$ و $a_{n}$: ${\frac {5+260}{2}}=132.5$.
   • اضرب المتوسط في $n$: $135.5\times 52=7046$. ستكون إذًا قد ادّخرت مبلغًا مقداره 7046 جنيهًا عند حلول نهاية السنة.