두 벡터 사이 각도 구하기

PDF 다운로드

PDF 다운로드

이 글에서는

두 벡터 사이의 각 찾기

각도 공식 정의하기

관련 글

출처

수학에서 벡터란 길이가 정의되고 그 크기를 알 수 있으며 방향이 있는 물체를 말합니다. 벡터는 우리가 아는 선분이나 모양이 아니므로 그들 사이의 각을 알려면 특별한 공식을 사용해야 합니다.

단계

파트 1

파트 1 의 2:

두 벡터 사이의 각 찾기

PDF 다운로드

1. 
   1
   벡터 확인하기. 두 벡터에 대해 아는 모든 정보를 쓰세요. 당신이 벡터의 좌표(성분이라고도 합니다)만을 알고 있다고 가정합시다. 벡터의 길이(크기)를 알고 있다면 밑의 단계를 뛰어넘어도 됩니다.

   • 예를 들어: 2차원의 벡터 ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2). 벡터${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). 이렇게도 쓸 수 있습니다. ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j 그리고 ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • 예제에서는 2차원 벡터를 사용하였지만 밑의 설명에서는 벡터 성분 개수와 상관없이 여러 벡터를 다룹니다.
2. 
   2
   코사인 식을 쓰세요. 두 벡터 사이의 각 θ를 찾으세요. 공식에서 Θ의 코사인 값을 먼저 찾으세요 식에 대해 더 알고 싶다면 여기를 누르세요, 아니면 그냥 쓰세요:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||)
   • ||${\overrightarrow {u}}$|| 는 ". ${\overrightarrow {u}}$ 벡터의 길이를 나타냅니다"
   • ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ 는 두 벡터의 점곱(스칼라곱)을 나타내며 밑에서 설명할 겁니다.
3. 
   3
   각 벡터의 길이를 계산하세요. 벡터의 x성분, y성분, 그리고 벡터 그 자체를 이용하여 직각삼각형을 그린다고 상상해보세요. 벡터는 삼각형의 빗변을 그립니다. 그러므로 그 길이를 구하기 위해서는 피타고라스의 정리를 사용하세요. 이 공식은 가지고 있는 성분에 상관 없이 벡터로 확장될 수 있음을 알 수 있어요.

   • ||u||² = u₁² + u₂². 벡터가 3개 이상의 성분을 갖는다면, 똑같이 더하면 됩니다. +u₃² + u₄² + ...
   • 그러므로 2차원의 벡터에서는, ||u|| = √(u₁² + u₂²) 가 나옵니다.
   • 위의 예제에서, ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
4. 
   4
   두 벡터의 점곱을 계산하세요. 아마 이미 이 벡터곱 방법을 알고 있을 겁니다. 스칼라곱이라고도 부릅니다.

   벡터 성분을 이용해 점곱을 계산하려면 각 방향의 성분을 곱하세요. 그리고 결과를 모두 더하세요.

   컴퓨터 그래픽 프로그램을 쓴다면, 넘어가기 전에 체크해보세요. 팁.

   점곱 계산하는 예제
   수학적 용어로, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, u = (u₁, u₂). 벡터의 성분이 3개 이상이라면, 계속 더해 나가세요. + u₃v₃ + u₄v₄...
   예제에서, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6는 ${\overrightarrow {u}}$ 그리고${\overrightarrow {v}}$의 점곱 결과입니다.
5. 
   5
   결과를 식에 넣으세요. 명심하세요

   cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||)

   . 이제 점곱과 벡터의 길이를 알아냈습니다. 이 값들을 공식에 넣어 코사인 값을 구하세요.

   점곱과 벡터 길이를 이용하여 코사인 값 구하기
   예제에서, cosθ = 6 / (2√2

   3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   코사인에 기반한 각도를 찾으세요. 계산기로 arccos 나 cos^-1 함수를 이용해보세요.

   알고 있는 코사인 θ 값을 이용해 θ 값을 구하세요.

   어떤 결과 값들은 단위원에 기반한 값들로 찾을 수 있습니다..

   코사인으로 각도 찾기
   예제에서, cosθ = √2 / 2. "arccos(√2 / 2)" 를 계산기에 쳐서 각도를 알아내세요. 다른 대안으로는, cosθ = √2 / 2 인 단위원을 사용하여 각 θ를 찾으세요. 이렇게 나옵니다. θ = ^π/₄ or 45º.
   모든 것을 조합하면 최종 공식은 : θ = arccosine((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||))

   광고

파트 2

파트 2 의 2:

각도 공식 정의하기

PDF 다운로드

1. 
   1
   공식의 목적 이해하기. 이 공식은 기존의 법칙을 이용해 도출된 식이 아닙니다. 대신, 벡터의 점곱과 그 사이의 각도에 대한 정의를 이용해 만들어졌습니다. 하지만 임의로 나온 식은 아닙니다. 기본 기하학을 찾아 보면 이 공식이 왜 이런 직관적이고 유용한 정의를 내릴 수 있는지 알게 됩니다.

   • 밑의 예제는 2차원의 벡터를 사용합니다. 가장 직관적으로 사용하기 좋기 때문입니다. 3개 이상의 성분을 가진 벡터의 특성은 이와 굉장히 비슷하고 일반적인 공식으로 정의됩니다.
2. 
   2
   코사인 법칙 복습하기. 변 a와 b 사이 각이 θ이고 다른 변은 c인 일반적인 삼각형을 예로 들어봅시다. 코사인 법칙은 c² = a² + b² -2abcos(θ) 입니다. 기본 기하학을 통해 공식을 쉽게 유도할 수 있습니다.
3. 
   3
   두 벡터를 연결해 삼각형 만들기. 2차원의 벡터를 종이에 그리세요. 벡터 ${\overrightarrow {a}}$ 와 ${\overrightarrow {b}}$, 사이의 각은 θ입니다. 두 벡터 사이에 다른 세 번째 벡터를 그려 삼각형을 만드세요. 즉, ${\overrightarrow {c}}$ 그러므로 ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$. ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$.
4. 
   4
   이 삼각형에 코사인 법칙을 쓰세요. “벡터 삼각형”의 길이를 코사인 법칙 공식에 넣으세요:

   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. 
   5
   점곱을 사용해 적으세요. 명심하세요. 점곱은 다른 벡터에 투영된 벡터입니다. 스스로의 점곱은 투영할 필요가 없습니다. 방향에 변화가 없기 때문입니다. 이런 뜻입니다. ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||². 이를 이용해 공식을 재구성 해보세요:

   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. 
   6
   우리가 잘 아는 공식으로 만들기. 공식의 왼쪽을 확장하고 정리하여 각도 찾는 공식으로 만드세요.

   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
   광고

팁

• 빠르게 풀고 싶다면, 이 공식을 이용해 2차원 벡터를 푸세요: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
• 컴퓨터 그래픽 프로그램을 다룬다면 길이가 아닌 벡터의 방향만을 신경 쓰게 됩니다. 이 과정을 통해 식을 정리하고 프로그램 속도를 높이세요:
  • 벡터를 단위화하여 길이를 1로 만드세요. 각 벡터의 성분을 벡터 길이로 나누면 됩니다.
  • 원래 벡터말고 단위벡터를 이용해 점곱을 구해봅시다.
  • 길이가 1이므로 식에서 길이를 무시하여도 좋습니다. 최종 각도 식은 arccos(${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) 입니다.
• 코사인 공식에 기반하여, 둔각인지 예각인지 빠르게 판단할 수 있습니다. 이렇게 시작하세요. cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||):
  • 식의 오른쪽과 왼쪽은 모두 같은 부호를 가져야 합니다.(양수나 음수)
  • 길이 값은 언제나 양수이므로 cos θ는 점곱과 같은 부호를 가져야 합니다.
  • 그러므로, 점곱이 양수이면 cos θ값도 양수입니다. 단위원을 네 부분으로 나눴을 때, 그 첫 조각부분( θ < π / 2 or 90º)을 사용합니다. 예각이군요.
  • 만약 점곱이 음수이면 cosθ도 음수입니다. 이 경우, 단위원의 두 번째 조각( π / 2 < θ ≤ π or 90º < θ ≤ 180º)을 사용합니다. 둔각입니다.

광고