Cara Mencari Sudut antara Dua Vektor

Unduh PDF

Unduh PDF

Dalam Artikel Ini:

Mencari Sudut antara Dua Vektor

Mendefinisikan Rumus Sudut

Tip dan Peringatan

Artikel Terkait

Referensi

Para matematikawan dan fisikawan seringkali perlu mencari sudut antara dua vektor yang diberikan. Untungnya, rumus untuk menghitung sudut ini tidak membutuhkan hal lain yang lebih sulit daripada produk skalar. Walaupun pemahaman di balik rumus ini paling mudah dipahami dalam dua dimensi, rumusnya dapat dikembangkan menjadi vektor-vektor dengan komponen-komponen angka berapa pun.

Langkah

Bagian 1

Bagian 1 dari 2:

Mencari Sudut antara Dua Vektor

Unduh PDF

1. 
   1
   Identifikasi vektor-vektornya. Tuliskan semua informasi yang Anda miliki mengenai kedua vektor. Kita akan mengasumsikan bahwa Anda hanya memiliki definisi vektor tentang koordinat dimensinya (juga disebut komponen). Jika Anda sudah mengetahui panjang vektor (besarnya), Anda akan dapat melewati beberapa langkah di bawah ini.

   • Contoh: Vektor dua dimensi ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2). Vektor ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Vektor ini juga dapat ditulis sebagai ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j dan ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • Jika contoh kita menggunakan vektor-vektor dua dimensi, instruksi-instruksi di bawah ini menggunakan vektor-vektor dengan komponen angka berapa pun.
2. 
   2
   Tulislah rumus kosinus. Untuk mencari sudut θ antara dua vektor, mulailah dengan rumus untuk mencari kosinus sudut tersebut. Anda dapat mempelajari rumus di bawah ini, atau hanya menuliskannya:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||)
   • ||${\overrightarrow {u}}$|| artinya "panjang vektor ${\overrightarrow {u}}$."
   • ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ adalah hasil perkalian titik (perkalian dot/ produk skalar) dari dua vektor, yang dijelaskan di bawah ini.
3. 
   3
   Hitunglah hasil perkalian titik (dot) dari kedua vektor. Anda mungkin sudah mempelajari cara mengalikan vektor ini, yang juga disebut produk skalar. Untuk menghitung hasil perkalian titik (dot) dalam komponen-komponen vektor, kalikan komponen-komponen dalam setiap arah, kemudian jumlahkan semua hasilnya.

   • Dalam istilah matematika, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, dengan u = (u₁, u₂). Jika vektor Anda memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Maka, untuk sebuah vektor dua dimensi, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • Dalam contoh kita, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
4. 
   4
   Hitunglah panjang setiap vektor. Bayangkan sebuah segitiga siku-siku digambarkan dari komponen x, komponen y dari vektor, dan vektor itu sendiri. Vektor ini membentuk sisi miring dari segitiga, sehingga untuk mencari panjangnya, kita menggunakan teorema Pythagoras. Ternyata, rumus ini dapat dengan mudah dikembangkan menjadi vektor-vektor dengan komponen-komponen angka berapa pun.

   • ||u||² = u₁² + u₂². Jika sebuah vektor memiliki lebih dari dua komponen, lanjutkan saja menambahkan +u₃² + u₄² + ...
   • Dengan demikian, untuk vektor dua dimensi, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • Dalam contoh kita, ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
5. 
   5
   Masukkan hasil Anda ke dalam rumus. Ingat, cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||). Sekarang, Anda mengetahui hasil perkalian titik (dot) dan panjang masing-masing vektor. Masukkan nilai ini ke dalam rumus ini untuk menghitung kosinus sudut.

   • Dalam contoh kita, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   Carilah sudutnya berdasarkan kosinus.
   Anda dapat menggunakan fungsi arc kosinus atau cos^-1 pada kalkulator Anda untuk mencari sudut θ dari nilai cosθ yang diketahui. Untuk beberapa hasil, Anda mungkin dapat mencari sudutnya berdasarkan lingkaran satuan.

   • Dalam contoh kita, cosθ = √2 / 2. Jawaban ini benar untuk lingkaran satuan untuk θ = ^π/₄ or 45º.
   • Lalu, kita akan menyatukan semuanya, sehingga rumus akhir kita adalah: sudut θ = arc kosinus((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||))
   Iklan

Bagian 2

Bagian 2 dari 2:

Mendefinisikan Rumus Sudut

Unduh PDF

1. 
   1
   Pahami tujuan rumus ini. Rumus ini tidak diturunkan dari aturan yang sudah ada. Tetapi, rumus ini diciptakan sebagai definisi hasil perkalian titik (dot) dua vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut. Akan tetapi, keputusan ini bukanlah keputusan sewenang-wenang. Dengan mengingat kembali geometri dasar, kita dapat melihat alasan rumus ini menghasilkan definisi yang intuitif dan berguna.

   • Contoh-contoh di bawah ini menggunakan vektor-vektor dua dimensi karena vektor dua dimensi merupakan contoh paling intuitif yang dapat digunakan. Vektor-vektor dengan tiga komponen atau lebih, memiliki karakteristik yang didefinisikan dengan rumus kasus yang sangat sejenis dan umum.
2. 
   2
   Tinjau Hukum Kosinus. Ambillah segitiga biasa, dengan sudut θ di antara sisi a dan b, dan berlawanan dengan sisi c. Hukum Kosinus menyatakan bahwa c² = a² + b² -2abcos(θ). Rumus ini diturunkan cukup mudah dari geometri dasar.
3. 
   3
   Hubungkan dua vektor untuk membentuk sebuah segitiga. Gambarlah sketsa sepasang vektor 2D pada kertas, vektor ${\overrightarrow {a}}$ dan ${\overrightarrow {b}}$, dengan sudut θ di antara keduanya. Gambarlah vektor ketiga di antara keduanya untuk membuat segitiga. Dengan kata lain, gambarlah vektor ${\overrightarrow {c}}$ sehingga ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {b}}$. Vektor ${\overrightarrow {c}}$ ini = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$.
4. 
   4
   Tulislah Hukum Kosinus untuk segitiga ini. Masukkan panjang dari sisi-sisi "segitiga vektor" ke Hukum Kosinus:

   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. 
   5
   Tuliskan ini menggunakan hasil perkalian titik (dot). Ingat, hasil perkalian titik (dot) adalah perbesaran satu vektor yang diproyeksikan satu sama lain. Hasil perkalian titik (dot) suatu vektor dengan dirinya sendiri, tidak membutuhkan proyeksi apa pun karena tidak ada perbedaan arah. Ini berarti bahwa ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||²/. Gunakan fakta ini untuk menulis ulang persamaan:

   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. 
   6
   Tulis ulang rumus menjadi rumus umum. Kembangkan sisi kiri rumus, kemudian sederhanakan untuk mendapatkan rumus yang digunakan untuk mencari sudut.

   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
   Iklan

Tips

• Untuk cara “masukkan dan selesaikan” yang cepat, gunakan rumus ini untuk vektor pasangan dua dimensi apa pun: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
• Berdasarkan rumus kosinus, kita dapat dengan cepat mencari jika sudut tersebut adalah sudut lancip atau tumpul. Mulailah dengan cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||):
  • Sisi kiri dan kanan persamaan harus memiliki tanda yang sama (positif atau negatif).
  • Karena panjang selalu positif, cosθ harus memiliki tanda yang sama dengan hasil perkalian titik (dot).
  • Dengan demikian, jika hasil perkalian titik (dot) positif, cosθ positif. Kita berada dalam kuadran pertama dari lingkaran satuan, dengan θ < π / 2 atau 90º. Sudutnya lancip.
  • Jika hasil perkalian titik (dot) negatif, cosθ negatif. Kita berada dalam kuadran kedua dari lingkaran satuan, dengan π / 2 < θ ≤ π atau 90º < θ ≤ 180º. Sudutnya tumpul.

Iklan