İki Vektör Arasındaki Açı Nasıl Bulunur?

Matematikte bir vektör, büyüklük olarak bilinen tanımlanabilir bir uzunluğa ve yöne sahiptir. Vektörler normal çizgi ve şekillerle aynı olmadığı için aralarındaki açıyı bulmak için bazı özel formüller kullanman gerekir.

Kısım 1

Kısım 1 / 2:

İki Vektör Arasındaki Açıyı Bulmak

Makaleyi İndir

1
Vektörleri tanımla. İki vektöre ait elindeki tüm bilgiyi yaz. Vektörün sadece boyutsal koordinatları cinsinden tanımına (bileşenleri de denir) sahip olduğunu varsayacağız. Eğer bir vektörün uzunluğunu (büyüklüğünü) biliyorsan aşağıdaki bazı adımları atlayabilirsin.
- Örnek: İki boyutlu vektör ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2). Vektör ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Bunlar aynı zamanda ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j ve ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j şeklinde yazılabilir.
- Örneğimiz iki boyutlu vektörler kullanıyor olsa da, aşağıdaki talimatlarda çok sayıda bileşeni olan vektörler bulunuyor.
2
Kosinüs formülünü yaz. İki vektör arasındaki θ açısını bulmak için o açının kosinüsünü bulma formülü ile başla. Bu formülü aşağıdan öğrenebilir veya şöyle yazabilirsin:^{[1]XKaynağı araştır}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || " ${\overrightarrow {u}}$ vektörünün uzunluğu" demektir.
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ iki vektörün nokta çarpımıdır (skaler çarpım), aşağıda açıklanmıştır.
3
İki vektörün uzunluğunu hesapla. Vektörün x-bileşeni, y-bileşeni ve vektörün kendisi ile çizilmiş bir dik üçgen düşün. Vektör, üçgenin hipotenüsünü oluşturur ve onun uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Görüleceği üzere, bu formül çok sayıda bileşeni olan vektörlere kolayca genişletilebilir.
- ||u||² = u₁² + u₂². Eğer bir vektörün ikiden fazla bileşeni varsa +u₃² + u₄² + … şeklinde eklemeye devam et.
- Bu sebeple, iki boyutlu bir vektör için ||u|| = √(u₁² + u₂²).
- Örneğimizde; || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
Skaler çarpım da denen vektörleri çarpma yöntemini muhtemelen daha önce öğrenmişsindir.^{[2]XKaynağı araştır}
Skaler çarpımı vektörlerin bileşenleri cinsinden hesaplamak için her yöndeki bileşenleri birbiriyle çarp, sonra tüm sonuçları topla.
Bilgisayar grafik programları için, devam etmeden önce İpuçlarına bak.
Skaler Çarpım Bulma Örneği
Matematiksel terimlerle, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, burada u = (u₁, u₂). Eğer vektörün ikiden fazla bileşeni varsa, + u₃v₃ + u₄v₄... şeklinde eklemeye devam et.
Örneğimizde, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Bu, ${\overrightarrow {u}}$ and ${\overrightarrow {v}}$ vektörlerinin skaler çarpımıdır.
Unutma,
cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||).
Artık her vektörün skaler çarpımını ve uzunluklarını biliyorsun. Açının kosinüsünü hesaplamak için bunları bu formülde yerine koy.
Kosinüsü Skaler Çarpım ve Vektör Uzunluklarıyla Bulmak
Örneğimizde, cosθ = 6 / (2√2
3) = 1 / √2 = √2 / 2.
Bilinen bir cos θ değerinden θ açısını bulmak için
hesap makinendeki arccos veya cos^-1 işlevini kullanabilirsin. Bazı sonuçlar için, birim daireden hareketle açıyı hesaplayabilirsin.
Kosinüs ile Bir Açı Bulmak
Örneğimizde, cosθ = √2 / 2. Açıyı bulmak için hesap makinene "arccos(√2 / 2)" yaz. Alternatif olarak, cosθ = √2 / 2 olan birim dairede θ açısını bul. Bu, θ = ^π/₄ veya 45º olduğu durumlarda doğrudur.
Hepsi toparlanacak olursa son formül şöyle olur::
θ açısı = arccos(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||))
Reklam

Kısım 2

Kısım 2 / 2:

Açı Formülünü Tanımlamak

Makaleyi İndir

1
Bu formülün amacını anla. Bu formül mevcut kurallardan elde edilmez. Aksine, iki vektörün skaler çarpımı ve aralarındaki açının bir tanımı olarak bulunur.^{[3]XKaynağı araştır} Ancak, bu karar keyfi değildir. Temel geometriye bir dönüş yapacak olursak, bu formülün neden sezgisel ve kullanışlı tanımlara sebep olduğunu görebiliriz.
- Aşağıdaki örneklerde iki boyutlu vektörler kullanılır çünkü bunlar en sezgisel olanlarıdır. Üç veya daha fazla bileşeni olan vektörler çok benzer, genel durum formülleriyle tanımlanan özelliklere sahiptir.
A ve b kenarları arasındaki açı θ olan ve karşı kenarı c olan normal bir üçgen al. Kosinüs Teoremine göre c² = a² + b² -2abcos(θ). Temel geometriden bunu elde etmek oldukça kolay.
Kağıda aralarında θ açısı olan 2 boyutlu ${\overrightarrow {a}}$ ve ${\overrightarrow {b}}$ vektörlerini çiz. Bir üçgen oluşturmak için aralarına üçüncü bir vektör çiz. Diğer bir deyişle ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ olacak şekilde ${\overrightarrow {c}}$ vektörünü çiz. Bu vektör ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ .^{[4]XKaynağı araştır}
4
Bu üçgen için Kosinüs Teoremini yaz. "Vektör üçgen"in kenar uzunluklarını Kosinüs Teoreminde yerine koy:
- ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5
Bunu skaler çarpımı kullanarak yaz. Unutma, bir skaler çarpım bir diğerinin üzerine iz düşürülen bir vektörün büyütülmesidir. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı bir iz düşümü gerektirmez, çünkü yönünde bir değişiklik yoktur.^{[5]XKaynağı araştır} Bu da demek oluyor ki ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {a}}$ = ||a||². Bunu denklemi yeniden yazmak için kullan:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6
Formülü bilinen şekilde yeniden yaz. Formülün sol tarafını genişlet, ardından açıları bulmak için kullanılan formüle ulaşmak için sadeleştir.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b||cos(θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
Reklam

İpuçları

Hızlı bir çözüm için, bu formülü herhangi bir iki boyutlu vektör çifti için kullan: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
Bir bilgisayar grafik programında çalışıyorsan muhtemelen sadece vektörlerin yönüyle ilgilenirsin, uzunluğuyla değil. Denklemleri sadeleştirmek ve programını hızlandırmak için şu adımları takip et:^{[6]XKaynağı araştır}^{[7]XKaynağı araştır}
- Her vektörü uzunluk 1 olacak şekilde normalleştir. Bunu yapmak için, vektörün her bir bileşenini vektörün uzunluğuna böl.
- Orijinal vektörler yerine normalleştirilmiş vektörlerin skaler çarpımını al.
- Uzunluk 1'e eşit olduğundan, uzunluk terimlerini denkleminden çıkar. Açı için son denklemin: arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
Kosinüs formülüne dayanarak, açının dar mı yoksa geniş mi olduğunu hızlıca bulabiliriz. cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Türkçe: {\overrightarrow {v}}$ ||) ile başla:
- Denklemin sol ve sağ tarafı aynı işaret olmalı (pozitif veya negatif).
- Uzunluklar her zaman pozitif olduğundan, cosθ skaler çarpım ile aynı işarete sahip olmalı.
- Bu nedenle, eğer skaler çarpım pozitif ise, cosθ pozitiftir. Birim dairenin ilk dörtte birlik dilimdeyiz ve θ <π / 2 veya 90º. Açı dar açıdır.
- Eğer skaler çarpım negatif ise, cosθ negatiftir. Birim dairenin ikinci dörtte birlik dilimdeyiz ve π / 2 < θ ≤ π veya 90º < θ ≤ 180º. Açı geniş açıdır.