كيفية حساب مساحة المثلث

تنزيل المقال

تنزيل المقال

الطريقة الأشهر لمعرفة مساحة المثلث هي ضرب نصف طول القاعدة في ارتفاع المثلث. لكن القاعدة والاتفاع ليسا دائمًا من المعطيات المتوفرة في السؤال، لذلك توجد الكثير من معادلات حساب مساحة المثلث التي تستخدم معطيات أخرى، ألا وهي طول الأضلاع أو قياس زوايا المثلث. واصل القراءة لمعرفة المزيد.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 4:

القاعدة والارتفاع

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف طول قاعدة المثلث وارتفاعه. القاعدة هي ضلع من أضلاع المثلث، والارتفاع هو طول المسافة من القاعدة وصولًا لأعلى نقطة في المثلث بالنسبة لها. بطريقة أخرى يمكننا تعريف الارتفاع ببساطة بأنه الخط العمودي على نقطة من القاعدة مقابلة لرأس المثلث وتمتد بينهما. قد يكون طول الارتفاع ضمن معطيات المسألة التي تحلها أو يمكنك قياسه بنفسك بأدوات القياس، كما توجد بعض الحيل الرياضية التي تعرف من خلالها طول الارتفاع إن كان مجهولًا بناءً على معطيات أخرى.

   • مثال: قد تكون قاعدة المثلث (أحد أضلاعه) طولها 5 سم، وطول الارتفاع هو 3 سم. يمكنك بهذه المعطيات حساب مساحة المثلث.
2. 
   2
   اعرف معادلة حساب مساحة المثلث بطول القاعدة والارتفاع. المعادلة هي: مساحة المثلث = ½ طول القاعدة × الارتفاع، ويمكن اختصارها إلى: (م= ½ ق ع)، حيث م هي المساحة، ق هي طول القاعدة، ع هي طول الارتفاع.
3. 
   3
   عوّض عن قيمة المتغيرات في معادلة مساحة المثلث. يجب أن يتوفر لديك ضمن المعطيات طول القاعدة والارتفاع للمواصلة في هذه الخطوة، وبناءً عليهما يمكنك ضرب قيمة طول القاعدة × الارتفاع × ½. تصل بذلك لقيمة مساحة المثلث بوحدة المربعات.

   • مثال: قاعدة المثلث (ق) = 5 سم. الارتفاع (ع)= 3 سم. قم بالعملية الحسابية التالية لمعرفة قيمة المساحة
     المساحة= ½ × ق ع
     المساحة= ½ × 5 × 3
     المساحة = ½ × 15
     المساحة = 7.5
     وبالتالي فإن المثلث إن كان طول قاعدته 5 سم وطول ارتفاعه 3 سم، فمساحته تساوي 7.5 سم مربع.
4. 
   4
   احسب مساحة المثلث قائم الزاوية. في المثلث القائم الزاوية يتعامد ضلعين على بعضهما البعض لتكوين الزاوية القائمة، ومن ثم فإن أي ضلع منهما يمكن اعتباره الارتفاع والآخر القاعدة. قد لا يظهر وسط معطيات المسألة إشارة مباشرة على طول الارتفاع ولا القاعدة، لكن طالما أنك تعرف أطوال الأضلاع وتعرف الزاوية القائمة، فيمكنك استخراج طول القاعدة والارتفاع من تلك المعطيات، ثم التعويض في المعادلة سابقة الذكر: م = ½ ق ق'.

   • هل لا يوجد في المعطيات طول ضلعي الزاوية القائمة، ولكنك تعرف طول ضلع واحد وطول الوتر؟ (الوتر هو الضلع الأطول في المثلث قائم الزاوية والذي يكون مقابلًا للزاوية القائمة). يمكنك معرفة طول الضلع الثالث في المثلث قائم الزاوية إن عرفت طول ضلعين باستخدام على نظرية فيثاغورس الشهيرة (أ²+ ب²=ج²)، حيث أ، ب ضلعا المثلث قائم الزاوية، و ج هو وتر المثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه.
   • مثال: في المثلث أ ب ج، إن كان ضلع الوتر في مثلث قائم هو "ج"، فالارتفاع والقاعدة هما الضلعين الآخرين أ، ب. طول الوتر (ج) = 5 سم، والقاعدة (ب) 4 سم. استخدم نظرية فيثاغورس لمعرفة الضلع الثالث (الارتفاع):
     أ²+ ب²=ج²
     أ²+ 4²=5²
     أ²+ 16=25
     أ²=25 - 16 = 9
     أ² = 9
     أ = 3.
     يمكنك الآن التعويض عن قيمة ضلعي الزاوية القائمة في المثلث (القاعدة والارتفاع).
     م = ½ ق ع. القاعدة هي طول الضلع أ، والارتفاع طول الضلع ب.
     م = ½ × 4 × 3
     م= ½ × 12
     م = 6.

طريقة 2

طريقة 2 من 4:

طول الضلعين

تنزيل المقال

1. 
   1
   احسب نصف محيط المثلث. نصف المحيط هو قيمة محيط المثلث مقسومة على اثنين. ستحتاج أولًا لمعرفة المحيط إذًا، وذلك بجمع أضلاعه الثلاثة فقط لا غير، ثم قسمة هذا الناتج ÷ 2 أو ضربه × ½.

   • مثال: طول أضلاع المثلث أ ب ج هي: أ= 5 سم، ب=4 سم، ج=3 سم. لحساب نصف المحيط أجرِ العملية الحسابية التالية:
     نصف المحيط: ½ × [3+4+5]
     نصف المحيط= ½ × [12]=6.
2. 
   2
   استخدم معادلة هيرون. معادلة هيرون هي معادلة لمعرفة مساحة المثلث، وتنص على أنه في مثلث أ ب ج، فإن المساحة= الجذر التربيعي لـ [(نصف المحيط) × (نصف المحيط - أ) × (نصف المحيط - ب) × (نصف المحيط - ج).
3. 
   3
   عوّض عن قيمة نصف المحيط والأضلاع في المعادلة السابقة. تأكد من التعويض عن قيمة نصف المحيط في كل مرة تتواجد داخل المعادلة، وكذلك عن قيمة طول أضلاع المثلث الثلاثة.

   • المعادلة: المساحة= الجذر التربيعي لـ [(نصف المحيط) × (نصف المحيط - أ) × (نصف المحيط - ب) × (نصف المحيط - ج)
     استكمالًا للمثال المذكور سابقًا، نجد أن: نصف المحيط=6، أ= 5 سم، ب=4 سم، ج=3 سم.
     المساحة= الجذر التربيعي لـ [(6) × (6 - 5) × (6 - 4) × (6 - 3)
4. 
   4
   أجرِ العمليات الحسابية ما بين الأقواس. اطرح أولًا طول كل ضلع من قيمة نصف المحيط، ثم اضرب الثلاث قيم معًا.

   • المساحة= الجذر التربيعي ل [6 × (6 - 5) × (6 - 4) × (6 - 3)
     المساحة= الجذر التربيعي لـ [6 × (1) × (2) × (3)
     المساحة= الجذر التربيعي لـ [6 × (6)].
5. 
   5
   اضرب القيمتين أسفل الجذر التربيعي. وبعدها أجرِ عملية حساب الجذر التربيعي. الناتج الذي تصل إليه هو قيمة مساحة المثلث بالوحدة المربعة.

   • استكمالًا للمثال السابق:
     المساحة= الجذر التربيعي لـ [6 × (6)
     المساحة= الجذر التربيعي لـ [36]'
     المساحة= 6
     إذًا فمساحة المثلث المذكور تساوي 6 سم مربع.

طريقة 3

طريقة 3 من 4:

طول ضلع واحد (المثلث متساوي الأضلاع)

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف طول ضلع واحد من أضلاع المثلث. في المثلث متساوي الأضلاع، وكما هو واضح من اسمه، تكون الأضلاع الثلاثة متساوية القيمة وكذا الأمر بالنسبة للثلاث زوايا الداخلية في المثلث. يكفيك في هذه الحالة معرفة طول ضلع واحد ضمن المعطيات لتقدر على حساب المساحة.

   • مثال: لنفترض أن المثلث أ ب ج متساوي الأضلاع، وطول الضلع أ هو 6 سم.
2. 
   2
   اعرف معادلة حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع. استخدم المعادلة التالية لحساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع: المساحة = تربيع (طول ضلع المثلث) × [(جذر 3) ÷ 4].
3. 
   3
   عوّض عن طول ضلع المثلث في المعادلة. تأكد من التعويض بطريقة صحيحة عن طول ضلع المثلث، ثم تربيع قيمته (ضرب قيمته في نفسها).

   • مثال: طول ضلع في مثلث متساوي الأضلاع هو 6 سم. عوِّض بهذه القيمة في المعادلة كما يلي:
     المساحة= المساحة = تربيع (طول ضلع المثلث) × [(${\sqrt {3}}$ 3) ÷ 4]
     المساحة= المساحة = تربيع (6) × [${\sqrt {3}}$ ÷ 4]
     المساحة= المساحة = 36 × [(${\sqrt {3}}$) ÷ 4].
4. 
   4
   استكمل حساب قيمة المعادلة. الطريقة الأمثل هي ضرب قيمة تربيع طول الضلع في ${\sqrt {3}}$. يُنصح بإجراء هذه الخطوة بواسطة الآلة الحاسبة للوصول للقيمة الأدق، لكن لا مانع من التعويض عن ${\sqrt {3}}$ بقيمة 1.732، وهي تقريب جذر 3، ومواصلة حل المعادلة يدويًا بنفسك. احفظ القيمة الصحيحة (1.732) لتتمكن من حساب المساحة أسرع لاحقًا.

   • مثال:
     المساحة = 36 × [(${\sqrt {3}}$) ÷ 4]
     المساحة = 62.352 ÷ 4.
5. 
   5
   استكمل العملية الحسابية بالقسمة على 4. ينتج عن ذلك القيمة النهائية لمساحة المثلث بالوحدات المربعة.

   • مثال:
     المساحة = 62.352 ÷ 4
     المساحة = 15.588.
     يعني ذلك أن مساحة المثلث متساوي الأضلاع، إن كان طول ضلعه هو 6 سم، سوف تساوي قيمة تقريبية هي 15.59 سم مربع.

طريقة 4

طريقة 4 من 4:

معرفة المساحة بقواعد حساب المثلثات

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف طول ضلعين متجاورين وقياس زاوية الرأس بينهما. الضلعان المتجاوران في المثلث هما اللذين يلتقيان عند رأس المثلث والزاوية بينهما هي الزاوية عند هذه الرأس.

   • مثال: لنفترض أنك تحسب مساحة المثلث أ ب ج، وكان طول أ هو 150 سم، وطول ب هو 231 سم، وقياس الزاوية أ ب (المكونة من الضلعين) هو 123ْ درجة.
2. 
   2
   استخدم معادلة حساب المثلثات الخاصة بحساب مساحة المثلث. المعادلة هي: المساحة = [(الضلع الأول × الضلع الثاني) ÷ 2] × جيب زاوية الرأس بين الضلعين. أو ما يمكن كتابتها اختصارًا: المساحة= [(أ ب) ÷ 2] × جا (الزاوية ج).
3. 
   3
   عوّض عن طول ضلعي المثلث في المعادلة. تأكد من التعويض عن المتغيرات أ، ب (طول الضلعين) ثم اقسم القيمة على 2.

   • استكمالًا للمثال:
     المساحة= [(أ ب) ÷ 2] × جا (الزاوية ج)
     المساحة= [(150 × 231) ÷ 2] × جا (الزاوية ج)
     المساحة= [34650 ÷ 2] × جا (الزاوية ج)
     المساحة= [17325] × جا (الزاوية ج).
4. 
   4
   عوَّض عن قيمة جيب الزاوية في المعادلة. يتوفر في الآلات الحاسبة العلمية زر لحساب قيمة جيب الزاوية بضغطة واحدة. استخدم الزر "SIN".

   • استكمالًا لنفس المثال: جيب الزاوية ج، وقياسها 123ْ درجة يساوي 0.83867، وبالتعويض في المعادلة ستكون على الشكل التالي:
     المساحة= [17325] × جا (الزاوية ج)
     المساحة= 17325 × 0.83867.
5. 
   5
   أنهِ العمل على المعادلة بضرب القيمتين. ينتج عن ذلك قيمة مساحة المثلث بوحدة القياس المربعة.

   • المساحة= 17325 × 0.83867
     المساحة= 14529.96
     . مساحة المثلث تساوي إذًا 14530 سم مربع تقريبًا.

أفكار مفيدة

• هل ترغب في معرفة المنطق الرياضي من وراء معادلة القاعدة والارتفاع؟ فيما يلي شرح بسيط للأمر: لنفترض أنك سترسم مثلثًا مطابقًا للمثلث الحالي وتضع الاثنين ليكملا بعضهما البعض، سينتج عن ذلك إمّا مستطيل (إن كان المثلث قائم الزاوية) أو متوازي أضلاع (إن كان المثلث غير قائم الزاوية). مساحة المستطيل أو متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع، وبما أن هذا الشكل قد كونته بنفسك من مثلثين متطابقي المساحة، فمساحة المثلث ستساوي ببساطة نصف مساحة المستطيل أو متوازي الأضلاع؛ أي ½ × القاعدة × الارتفاع