Come Calcolare l'Angolo tra Due Vettori

Scarica PDF

Scarica PDF

In questo Articolo:

Trovare l'Angolo fra Due Vettori

Definire la Formula dell'Angolo

Articoli Correlati

I matematici e i fisici spesso hanno bisogno di calcolare l'angolo compreso fra due vettori dati. Fortunatamente, la formula non richiede nulla di più che le conoscenze necessarie per trovare un prodotto scalare. Sebbene il ragionamento che sta alla base di questo calcolo sia abbastanza intuitivo in un sistema bidimensionale, la formula può essere adattata ai vettori con qualunque numero di componenti.

Passaggi

Parte 1

Parte 1 di 2:

Trovare l'Angolo fra Due Vettori

Scarica PDF

1. 
   1
   Identifica i vettori. Scrivi tutte le informazioni che li riguardano. Consideriamo il caso in cui i vettori siano definiti solo in termini di coordinate dimensionali (chiamate componenti). Se conosci già la lunghezza (magnitudine) del vettore, puoi saltare alcuni dei passaggi successivi.

   • Esempio: i due vettori bidimensionali ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) e ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3) possono essere anche scritti come ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j e ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • Sebbene negli esempi di questo articolo si faccia riferimento a vettori bidimensionali, le istruzioni possono essere adattate a un qualunque numero di componenti.
2. 
   2
   Scrivi la formula del coseno. Per trovare l'angolo θ fra due vettori, inizia con la formula per calcolare il coseno dell'angolo. Puoi ricavare questa formula o semplicemente scriverla:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||).
   • ||${\overrightarrow {u}}$|| significa la "lunghezza del vettore ${\overrightarrow {u}}$".
   • ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ è il prodotto scalare fra i due vettori che verrà spiegato di seguito.
3. 
   3
   Calcola la lunghezza di ogni vettore. Immagina un triangolo rettangolo costituito dalle componenti x e y del vettore mentre il vettore stesso è l'ipotenusa. Sfrutta il Teorema di Pitagora per trovare la lunghezza dell'ipotenusa; questo metodo è facilmente applicabile anche ai vettori con più di due componenti.

   • ||u||² = u₁² + u₂². Se il vettore possiede più di due componenti, continua semplicemente a sommare: +u₃² + u₄² e così via.
   • Quindi, nel caso di un vettore bidimensionale: ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • Per il nostro esempio: ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
4. 
   4
   Calcola il prodotto scalare fra i due vettori. Forse hai già imparato questo metodo di moltiplicare i vettori che genera un prodotto scalare. Per procedere ai calcoli in termini di componenti vettoriali, moltiplica le componenti per ogni direzione fra loro e poi somma i risultati.

   • Se stai usando un programma di computer graphic, leggi i Consigli prima di andare avanti.
   • In termini matematici: ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, dove u = (u₁, u₂). Se il vettore ha più di due componenti, semplicemente continua a sommarle: + u₃v₃ + u₄v₄ e così via.
   • Nel nostro esempio: ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
5. 
   5
   Inserisci i risultati nella formula del coseno. Ricorda che cosθ = ((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||). Ora conosci sia il prodotto scalare che la lunghezza di ogni vettore. Costituisci opportunamente i valori all'interno della formula e calcola il coseno dell'angolo.

   • Nel nostro caso: cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   Trova l'angolo partendo dal suo coseno. Puoi usare la funzione arccos o cos^-1 della tua calcolatrice per determinare l'angolo θ dal valore noto del suo coseno. In alcuni casi, sei in grado di conoscere il valore dell'angolo basandoti sul cerchio unitario.

   • Nel nostro esempio: cosθ = √2 / 2. Questa uguaglianza è vera sul cerchio unitario per θ = ^π/₄ o 45º.
   • Mettendo tutto insieme, la formula finale è:
     angolo θ = arcoseno((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||))
   Pubblicità

Parte 2

Parte 2 di 2:

Definire la Formula dell'Angolo

Scarica PDF

1. 
   1
   Comprendi lo scopo di questa formula. Questa non deriva da regole esistenti. Al contrario, è stata creata come definizione del prodotto scalare di due vettori e dell'angolo fra essi compreso. Tuttavia, non si tratta di una decisione arbitraria. Se ripassiamo le basi della geometria, possiamo capire perché questa formula è una definizione intuitiva e utile.

   • Gli esempi che seguono si basano su vettori bidimensionali perché sono più semplici da utilizzare. I vettori con tre o più componenti hanno proprietà definite con una formula simile e più generale.
2. 
   2
   Ripassa il Teorema del Coseno. Considera un qualunque triangolo con l'angolo θ compreso fra i lati a e b e opposto al lato c. Il Teorema del Coseno afferma che: c² = a² + b² -2abcos(θ). Questo si ricava abbastanza facilmente da concetti basilari della geometria.
3. 
   3
   Collega i due vettori per formare un triangolo. Disegna una coppia di vettori bidimensionali sul foglio (i vettori ${\overrightarrow {a}}$ e ${\overrightarrow {b}}$ ) in modo che formino un angolo θ fra loro. Traccia un terzo vettore per chiudere il triangolo. In altre parole disegna il vettore ${\overrightarrow {c}}$ in modo che ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {b}}$. Questo vettore è ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$.
4. 
   4
   Scrivi il Teorema del Coseno per questo triangolo. Sostituisci la lunghezza di ogni lato del "triangolo vettoriale" al posto delle lettere che indicano i lati nella formula del teorema:

   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ).
5. 
   5
   Scrivi la formula usando il prodotto scalare. Ricorda che questo è l'ingrandimento di un vettore proiettato in un altro. Un prodotto scalare, di per sé, non richiede alcuna proiezione perché non c'è differenza di direzione. Questo significa che: ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||²/. Usa questo concetto per riscrivere l'equazione:

   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ).
6. 
   6
   Riscrivi la formula in una maniera più comune. Espandi il lato sinistro e poi semplifica per trovare la formula che si usa per trovare gli angoli.

   • (${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$) - (${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) - (${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$) + (${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ).
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ).
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ).
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ).
   Pubblicità

Consigli

Scarica PDF

• Per una soluzione rapida, usa questa formula per ogni copia di vettori su un piano bidimensionale: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
• Se stai lavorando con un software di computer graphic, molto probabilmente ti interessa solo la direzione dei vettori e non la loro lunghezza. Segui questi passaggi per semplificare le equazioni e velocizzare il programma:
  • Normalizza ciascun vettore di modo che la lunghezza sia pari a 1. Per fare ciò, dividi ogni componente del vettore per la lunghezza del vettore stesso.
  • Prendi il prodotto scalare dei vettori normalizzati e non quello dei vettori originali.
  • Dal momento che la lunghezza è 1, togli i termini che la riguardano dall'equazione. La tua equazione finale per l'angolo è arccos(${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$).
• Grazie alla formula del coseno, possiamo capire velocemente se un angolo è acuto o ottuso. Inizia con cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||):
  • I lati sinistro e destro dell'equazione devono essere di segno concorde (positivo o negativo).
  • Dato che la lunghezza è sempre un valore positivo, cosθ deve avere lo stesso segno del prodotto scalare.
  • Quindi, se il prodotto scalare è positivo, cosθ è positivo. Ci troviamo nel primo quadrante della circonferenza unitaria con θ < π / 2 o 90º. L'angolo è acuto.
  • Se il prodotto scalare è negativo, cosθ è negativo. Ci troviamo nel secondo quadrante della circonferenza unitaria con π / 2 < θ ≤ π o 90º < θ ≤ 180º. L'angolo è ottuso.

• Come Calcolare l'Intensità di un Vettore
• Come Calcolare il Baricentro di un Triangolo
• Come Usare il Teorema di Pitagora
• Come Dimostrare il Principio di Archimede