कैसे दो वेक्टर्स के बीच का कोण ज्ञात करें

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दो वेक्टर्स के बीच के कोण को ज्ञात करना

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स्रोत और उद्धरण

गणित में, वेक्टर कोई भी एक ऐसा ऑब्जेक्ट होता है जिसकी एक डिफ़ाइनेबल (definable) लंबाई, जिसे मैग्निटूड (magnitude) कहा जाता है, तथा डाइरेक्शन (direction) हो। चूंकि वेक्टर्स, स्टैण्डर्ड लाइंस या शेप्स (shapes) के समान नहीं होते हैं, इसलिए आपको उनके बीच के कोण को ज्ञात करने के लिए कुछ विशेष फॉर्मूलाज़ (formulas) का उपयोग करना होगा।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 1:

दो वेक्टर्स के बीच के कोण को ज्ञात करना

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   वेक्टर्स को चुनें: उन दोनों वेक्टर्स से संबंधित सभी जानकारी को लिख लें। हम ऐसा मान लेंगे कि आपके पास वेक्टर की परिभाषा केवल डाइमेन्शनल कोआर्डिनेट्स (जिन्हें कांपोनेंट्स भी कहते हैं) के टर्म्स में ही है। यदि आप पहले से ही एक वेक्टर की लंबाई (इसका मैग्निच्यूड)जानते हैं, तो आपको नीचे दिए गए कुछ स्टेप्स की आवश्यकता नहीं होगी।:

   • उदाहरण:द्वि-आयामी (two-dimensional) वेक्टर ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2)। वेक्टर ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3)। इन्हें ऐसे भी लिखा जा सकता है ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j और ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j।
   • हालाँकि हमारे उदाहरण में केवल द्वि-आयामी वेक्टर्स का उपयोग किया गया है तथापि, नीचे दिए गए निर्देश, सभी वेक्टर्स को कवर करते हैं, चाहे उनके कांपोनेंट्स की संख्या कितनी भी क्यों न हो।
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   कोसाइन (cosine) फॉर्मूला लिखें: दोनों वेक्टर्स के बीच के कोण θ को ज्ञात करने के लिए, उस कोण के कोसाइन को ज्ञात करने के फॉर्मूला के साथ शुरूआत करें। आप नीचे दिए गए फार्मूला के बारे में सीख सकते हैं, या बस इसे लिख लीजिए:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$||||${\overrightarrow {v}}$||)
   • ||${\overrightarrow {u}}$|| मतलब "वेक्टर की लंबाई ${\overrightarrow {u}}$."
   • ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ नीचे वर्णित दोनों वेक्टर्स का डॉट प्रॉडक्ट(स्केलर प्रॉडक्ट)है।
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   प्रत्येक वेक्टर के लंबाई की गणना करें: वेक्टर के x–कांपोनेंट, इसके y –कांपोनेंट और स्वयं वेक्टर से ही खींचे गए एक समकोण त्रिभुज को चित्रित करें। वेक्टर, त्रिभुज का कर्ण(hypotenuse) बनाता है, इसलिए इसकी लंबाई ज्ञात करने के लिए हम पाइथागोरियन थ्योरेम (Pythagorean theorem) का उपयोग करते हैं। जैसे-जैसे यह आगे निकलता है, इस सूत्र का विस्तार उन वेक्टर्स के लिए भी आसानी से किया जा सकता है जिनके काम्प्नेंट्स की संख्या चाहे जितनी भी अधिक हो।

   • ||u||² = u₁² + u₂²। यदि एक वेक्टर में दो से अधिक घटक हैं, तो बस जोड़ना जारी रखें
   • ||u||² = u₁² + u₂²
   • इसलिए, एक द्वि-आयामी वेक्टर के लिए, ||u|| = √(u₁² + u₂²)।
   • हमारे उदाहरण में, ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3 है।
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   दोनों वेक्टर्स के डॉट प्रॉडक्ट की गणना करें: आपने शायद वेक्टर्स को गुणा करने की इस विधि को पहले से ही सीख लिया है, जिसे “स्केलर प्रॉडक्ट”भी कहा जाता है।

   वेक्टर के कांपोनेंट्स के टर्म्स में डॉट प्रॉडक्ट की गणना करने के लिए, प्रत्येक डाइरेक्शन में कांपोनेंट्स को एक साथ गुणा करें, फिर सभी परिणामों को जोड़ लें

   आगे बढ़ने से पहले, कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोग्राम के लिए इन टिप्स को देख लें।

   डॉट प्रॉडक्ट उदाहरण प्राप्त करना
   गणितीय टर्म्स में, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, जहां u = (u₁, u₂)। यदि आपके वेक्टर में दो से अधिक कांपोनेंट्स हैं, तो बस + u₃v₃ + u₄v₄...जोड़ते जाएँ।
   हमारे उदाहरण में, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6। यही वेक्टर का डॉट प्रॉडक्ट है ${\overrightarrow {u}}$ and ${\overrightarrow {v}}$.
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   अपने परिणामों को फॉर्मूला में भरें: याद रखें,

   cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||)।

   अब आप डॉट प्रॉडक्ट और प्रत्येक वेक्टर की लंबाई, दोनों को जानते हैं। इन्हें, कोण के कोसाइन की गणना करने के लिए, इस फॉर्मूला में एंटर (Enter) करें।

   डॉट प्रॉडक्ट और वेक्टर के लम्बाइयों के साथ कोसाइन ज्ञात करना
   हमारे उदाहरण में, cosθ = 6 / (2√2

   3) = 1 / √2 = √2 / 2.
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   कोसाइन के आधार पर कोण की गणना करें: आप arccos या cos^-1 फंक्शन का उपयोग अपने कैलकुलेटर पर

   कॉस (cos) θ के ज्ञात मान से, कोण θ को ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं।

   कुछ परिणामों के लिए, आप यूनिट सर्कल के आधार पर कोण को ज्ञात कर पाएंगे।

   कोसाइन से किसी कोण को ज्ञात करना
   हमारे उदाहरण में, cosθ = √2 / 2। कोण जानने के लिए अपने कैलक्यूलेटर में "arccos(√2 / 2)" एंटर करें। वैकल्पिक रूप से, यूनिट सर्कल पर कोण θ ज्ञात करें जहां cosθ = √2 / 2. यह θ = ^π/₄ या 45º के लिए सत्य है।
   इन सभी को एक साथ रखने पर, अंतिम फॉर्मूला है: angle θ = arccosine((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (

कोण का फॉर्मूला परिभाषित करना

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1. इस फॉर्मूले के उद्देश्य को समझें: यह फॉर्मूला मौजूदा नियमों से नहीं डिराईव (derive) किया गया था। इसके बजाए, यह दो वेक्टर्स के डॉट प्रॉडक्ट और उनके बीच के कोण की परिभाषा के रूप में बनाया गया था। तथापि, यह निर्णय मनमाने ढंग से नहीं लिया गया था। बेसिक ज्योमेट्री (geometry) पर एक नज़र डालने से हम देख सकते हैं, कि इस फार्मूले से इंट्यूटिव (intuitive) और उपयोगी परिभाषाएं क्यों प्राप्त होती हैं।
   
   • नीचे दिए गए उदाहरण, द्वि-आयामी वेक्टर्स का उपयोग करते हैं क्योंकि ये, उपयोग करने के लिए, बेहद इंट्यूटिव होते हैं। तीन या अधिक कांपोनेंट्स वाले वेक्टर्स में, बेहद मिलते-जुलते, जनरल केस (case) फार्मूला द्वारा डिफ़ाइंड गुण होते हैं।
2. कोसाइन के नियम को रिव्यू करें: एक सामान्य त्रिभुज लें साइड्स a और b के बीच का कोण θ हो और सामने की साइड c हो। कोसाइन्स का नियम बताता है कि, c² = a² + b² -2abcos(θ) होता है। इसे बेसिक ज्योमेट्री से काफी आसानी से डिराईव किया जाता है।
   
3. दो वेक्टर्स को जोड़ कर एक त्रिभुज बनायें: पेपर पर, वेक्टर्स ${\overrightarrow {a}}$ और ${\overrightarrow {b}}$, उनके बीच के कोण θ के साथ, 2 D वेक्टर्स की एक जोड़ी को स्केच करें। त्रिभुज बनाने के लिए उनके बीच एक तीसरा वेक्टर बनाएं। दूसरे शब्दों में, वेक्टर ${\overrightarrow {c}}$ को इस इस प्रकार ड्रा करें ताकि, ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$। यह वेक्टर ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ है।.
   
4. इस त्रिभुज के लिए कोसाइन का नियम लिखें: कोसाइन्स के नियम में हमारे "वेक्टर त्रिभुज" के साइड्स की लंबाई इन्सर्ट करें:
   
   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. डॉट प्रोडक्टस का उपयोग करते हुए इसे लिखें: याद रखें, एक डॉट प्रॉडक्ट,एक ऐसे वेक्टर का आवर्धन (magnification) है, जो दूसरे वेक्टर पर प्रक्षेपित (projected) है। एक वेक्टर के डॉट प्रॉडक्ट को स्वयं के साथ किसी प्रक्षेपण (projection) की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि डाइरेक्शन में कोई अंतर नहीं होता है। इसका मतलब है कि ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||²। इस तथ्य का प्रयोग करते हुए समीकरण को फिर से लिखेँ:
   
   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. इसे परिचित फॉर्मूला में फिर से लिखें: फॉर्मूला के लेफ्ट साइड का विस्तार करें, सिर्फ कोण ज्ञात करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फॉर्मूला तक पहुंचने के लिए।
   
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)

सलाह

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• एक त्वरित प्लग और साल्व (plug and solve) के लिए, इस फॉर्मूले का उपयोग दो-आयामी वेक्टर्स के किसी भी जोड़ी:cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)) के लिए करें।
• यदि आप किसी कंप्यूटर-ग्राफिक्स-प्रोग्राम पर काम कर रहे हैं, तो संभवतः आप केवल वेक्टर्स के डाइरेक्शन की परवाह करते हैं, न कि उनके लंबाई की। समीकरणों को सरल बनाने और अपने प्रोग्राम की गति को तेज़ करने के लिए,ये स्टेप्स लें:
  • प्रत्येक वेक्टर को नार्मलाइज़ करें ताकि, लंबाई 1 हो जाए। ऐसा करने के लिए, वेक्टर के प्रत्येक कांपोनेंट को वेक्टर की लंबाई से डिवाइड करें।
  • ओरिजिनल वेक्टर्स के बजाय नार्मलाइज्ड वेक्टर्स का डॉट प्रॉडक्ट लें।
  • चूंकि लंबाई 1 के बराबर है इसलिए, लंबाई के टर्म्स को अपने समीकरण से बाहर निकाल दें। कोण के लिए आपका अंतिम समीकरण है arccos (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$).
• कोसाइन फॉर्मूला के आधार पर, हम फौरन पता लगा सकते हैं कि कोण, न्यून-कोण (acute) है या अधिक-कोण (obtuse) है। Cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$||||${\overrightarrow {v}}$||) के साथ शुरू करें:
  • समीकरण के लेफ्ट और राइट साइड्स में एक ही चिन्ह (पॉज़िटिव या निगेटिव)होना चाहिए।
  • चूंकि लंबाई हमेशा पॉज़िटिव ही होती है, इसलिए cosθ का चिन्ह भी वही होना चाहिए जो डॉट प्रॉडक्ट का हो।
  • इसलिए, यदि डॉट प्रॉडक्ट पॉज़िटिव है, तो cosθ भी पॉज़िटिव ही होगा। हम यूनिट सर्कल के पहले क्वाड्रैण्ट (quadrant) में हैं जहां θ<π / 2 या 90º है। कोण न्यून-कोण है।
  • यदि डॉट प्रॉडक्ट निगेटिव है, तो cosθ भी निगेटिव ही होगा।हम यूनिट सर्कल के दूसरे क्वाड्रैण्ट में हैं जहां θ<π / 2 या 90º < θ ≤ 180º है। कोण अधिक-कोण है।