Cách để Tìm góc giữa hai véc tơ

Nếu là nhà toán học hay một nhà lập trình đồ họa, có thể bạn sẽ phải tìm góc giữa hai véc-tơ cho trước. Trong bài viết này, How.com.vn sẽ hướng dẫn bạn cách để làm được điều đó.

Phần 1

Phần 1 của 2:

Tìm góc giữa hai véc-tơ

Tải về bản PDF

1
Xác định véc-tơ. Viết ra mọi thông tin liên quan đến hai véc-tơ mà bạn có. Giả sử bạn chỉ có những thông số xác định về tọa độ chiều (còn gọi là thành phần) của chúng.^{[1]XNguồn nghiên cứu} Nếu đã biết chiều dài (độ lớn) của một véc-tơ, bạn có thể bỏ qua một vài trong số những bước dưới đây.
- Ví dụ: Véc-tơ hai chiều ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) và véc-tơ hai chiều ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Chúng cũng có thể được viết dưới dạng ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j và ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
- Dù véc-tơ hai chiều được dùng trong ví dụ của bài viết này, chỉ dẫn dưới đây có thể áp dụng cho véc-tơ có số chiều bất kỳ.
2
Viết công thức cosin. Để tìm góc θ giữa hai véc-tơ, ta bắt đầu với công thức tìm cosin cho góc đó. Bạn có thể học về công thức này ở phần dưới, hoặc chỉ việc viết ra công thức như sau:^{[2]XNguồn nghiên cứu}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || nghĩa là "chiều dài của véc-tơ ${\overrightarrow {u}}$ ".
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ là tích vô hướng của hai véc-tơ – nội dung này sẽ được giải thích ở phần dưới.
3
Tính độ dài của từng véc-tơ. Tưởng tượng một tam giác vuông được tạo nên từ thành phần x, thành phần y của véc-tơ và bản thân véc-tơ đó. Véc-tơ tạo thành cạnh huyền của tam giác, do đó, để tìm chiều dài của nó, ta dùng định lý Pytago. Thật ra, công thức này có thể được mở rộng một cách dễ dàng cho véc-tơ có số chiều bất kỳ.^{[3]XNguồn nghiên cứu}
- ||u||² = u₁² + u₂². Nếu véc-tơ có nhiều hơn hai thành phần, ta chỉ việc tiếp tục thêm +u₃² + u₄² + ...
- Do đó, với véc-tơ hai chiều, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
- Trong ví dụ này, || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
4
Tính tích vô hướng của hai véc-tơ. Có lẽ bạn đã học phương pháp nhân véc-tơ, còn được gọi là tích vô hướng này.^{[4]XNguồn nghiên cứu} Để tính tích vô hướng liên quan đến thành phần của chúng, nhân các thành phần ở mỗi hướng với nhau, sau đó cộng toàn bộ kết quả thu được.^{[5]XNguồn nghiên cứu}
- Với chương trình đồ họa, hãy tham khảo Lời khuyên trước khi đọc tiếp.
- Trong toán học ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, trong đó, u = (u₁, u₂). Nếu véc-tơ có nhiều hơn hai thành phần, bạn chỉ việc thêm tiếp + u₃v₃ + u₄v₄...
- Trong ví dụ này, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Đây là tích vô hướng của véc-tơ ${\overrightarrow {u}}$ và véc-tơ ${\overrightarrow {v}}$ .
5
Đưa kết quả thu được vào công thức. Nhớ rằng cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {v}}$ ||). Lúc này, ta đã biết cả tích vô hướng lẫn độ dài của từng véc-tơ. Hãy nhập những giá trị này vào công thức để tính cosin của góc.
- Trong ví dụ của chúng ta, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6
Tìm góc dựa vào giá trị cosin của nó. Bạn có thể dùng chức năng arccos hoặc cos^-1 trong máy tính bỏ túi để tìm θ từ giá trị cos θ đã biết. Với một số kết quả thu được, có thể bạn sẽ tìm được góc dựa trên vòng tròn đơn vị.
- Trong ví dụ, cosθ = √2 / 2. Nhập "arccos(√2 / 2)" vào máy tính để tìm góc. Hoặc, bạn có thể tìm góc θ trên vòng tròn đơn vị, tại vị trí cosθ = √2 / 2. Nó đúng với θ = ^π/₄ hay 45º.
- Kết hợp mọi thứ, công thức cuối cùng là: angle θ = arccosine(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||))
Quảng cáo

Phần 2

Phần 2 của 2:

Xác định công thức góc

Tải về bản PDF

1
Hiểu mục đích của công thức. Công thức này không được rút ra từ những quy tắc sẵn có. Thay vào đó, nó được hình thành như định nghĩa của tích vô hướng và góc giữa hai véc-tơ.^{[6]XNguồn nghiên cứu} Dù vậy, đó không phải là một quyết định tùy tiện. Trở lại với hình học căn bản, ta có thể hiểu được vì sao công thức này đem lại được những định nghĩa hữu dụng và trực quan.
- Những ví dụ dưới đây sử dụng véc-tơ hai chiều bởi chúng dễ hiểu và đơn giản nhất. Véc-tơ ba chiều trở lên có những thuộc tính được xác định bằng công thức tổng quát gần như tương tự.
Xét một tam giác thường với góc θ nằm giữa hai cạnh a và b, đối diện cạnh c. Định lý Cosin khẳng định rằng c² = a² + b² -2abcos(θ). Kết quả này được rút ra khá đơn giản từ hình học căn bản.
Vẽ một cặp véc-tơ hai chiều trên giấy, véc-tơ ${\overrightarrow {a}}$ và véc-tơ ${\overrightarrow {b}}$ , với θ là góc giữa chúng. Vẽ véc-tơ thứ ba nằm giữa hai véc-tơ này để tạo hình tam giác. Hay nói cách khác, vẽ véc-tơ ${\overrightarrow {c}}$ sao cho ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ . Véc-tơ ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ .^{[7]XNguồn nghiên cứu}
4
Viết định lý Cosin cho tam giác này. Thế chiều dài cạnh "tam giác véc-tơ" của chúng ta vào định lý Cosin:
- ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5
Viết lại bằng tích vô hướng. Nhớ rằng, tích vô hướng là ảnh của một véc-tơ lên véc-tơ còn lại. Tích vô hướng của một véc-tơ với chính nó không cần phép chiếu nào, bởi ở đây, không có sự khác biệt về chiều.^{[8]XNguồn nghiên cứu} Nghĩa là ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {a}}$ = ||a||². Dùng điều này, ta viết lại phương trình:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6
Viết lại thành công thức tương tự. Mở rộng vế trái của công thức, sau đó rút gọn để thu được công thức được dùng để tìm số đo các góc.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b||cos(θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
Quảng cáo

Lời khuyên

Để thay giá trị và giải bài toán một cách nhanh chóng, hãy dùng công thức này cho mọi cặp véc-tơ hai chiều: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
Nếu làm việc với phần mềm đồ họa máy tính, nhiều khả năng bạn chỉ phải quan tâm đến chiều của véc-tơ mà không cần bận tâm đến chiều dài của chúng. Hãy dùng những bước sau để rút gọn phương trình và tăng tốc chương trình của bạn:^{[9]XNguồn nghiên cứu}^{[10]XNguồn nghiên cứu}
- Chuẩn hóa từng véc-tơ để chúng có độ dài bằng 1. Để làm vậy, chia từng thành phần của véc-tơ cho độ dài của nó.
- Lấy tích vô hướng của véc-tơ đã được chuẩn hóa thay vì véc-tơ gốc.
- Bởi véc-tơ có độ dài bằng 1, ta có thể loại phần tử độ dài ra khỏi phương trình. Cuối cùng, phương trình góc mà ta thu được là arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
Dựa trên công thức cosin, ta có thể nhanh chóng xác định góc đó là góc nhọn hay góc tù. Bắt đầu với cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\overrightarrow {v}}$ ||):
- Vế trái và vế phải của phương trình phải cùng dấu (dương hoặc âm).
- Bởi chiều dài luôn dương, cosθ phải cùng dấu với tích vô hướng.
- Do đó, nếu tích vô hướng dương, cosθ cũng dương. Ta đang ở cung phần tư thứ nhất của vòng tròn đơn vị, với θ < π / 2 hay 90º. Góc cần tìm là góc nhọn.
- Nếu tích vô hướng âm, cosθ âm. Ta đang ở cung phần tư thứ hai của vòng tròn đơn vị, với π / 2 < θ ≤ π hay 90º < θ ≤ 180º. Đó là góc tù.