Как найти угол между векторами

Математики и физики часто вычисляют угол между двумя данными векторами. Для вычисления такого угла применяют формулу, которая основана на скалярном произведении векторов. Формула может применяться для векторов как в двумерном, так и в многомерном пространствах.

Часть 1

Часть 1 из 2:

Нахождение угла между двумя векторами

Загрузить PDF

1
Запишите информацию о двух векторах. В этой статье мы будем рассматривать векторы в двумерном пространстве.^{[1]XИсточник информации} Если длины векторов вам даны, пропустите некоторые из следующих шагов.
- Пример. Даны векторы ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) и ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Эти векторы также можно записать в виде ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j и ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
- Наш пример рассматривает двумерные векторы, но описанные ниже инструкции можно применять и к многомерным векторам.
2
Запишите формулу. Чтобы найти угол θ между двумя векторами, начните с нахождения косинуса этого угла. (Об этой формуле мы расскажем в следующем разделе.)^{[2]XИсточник информации}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || – это длина вектора ${\overrightarrow {u}}$ .
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ – это скалярное произведение двух векторов.
3
Вычислите скалярное произведение двух векторов.^{[3]XИсточник информации} Для этого перемножьте соответствующие компоненты двух векторов и сложите полученные значения.^{[4]XИсточник информации}
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, где u = (u₁, u₂). Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять произведения их компонентов: + u₃v₃ + u₄v₄...
- Таким образом, в двухмерном векторе, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
- В нашем примере: ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
4
Вычислите длину каждого вектора. Нарисуйте прямоугольный треугольник, сторонами которого будет сам вектор (гипотенуза), его х-компонента и его у-компонента (катеты). Теперь найдите длину вектора при помощи теоремы Пифагора (ее можно применять к многокомпонентным векторам).^{[5]XИсточник информации}
- ||u||² = u₁² + u₂². Если ваши вектора имеют более двух компонент, просто продолжайте прибавлять: +u₃² + u₄² + ...
- Таким образом, для двумерного вектора: ||u|| = √(u₁² + u₂²).
- В нашем примере: || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
5
Подставьте найденные значения (длину векторов и их скалярное произведение) в формулу cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||).
- В нашем примере: cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6
Найдите угол по его косинусу. Вы можете использовать кнопку arccos или cos^-1 на калькуляторе, чтобы найти угол θ по известному значению cosθ. В некоторых случаях вы можете найти угол, пользуясь единичной окружностью.
- В нашем примере, cosθ = √2/2. На единичной окружности это значение соответствует углу 'θ = ^π/₄ или 45º
- Совмещая все, получаем формулу : угол θ = arccosin(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||))
Реклама

'.

Часть 2

Часть 2 из 2:

Формула для вычисления угла

Загрузить PDF

1
Эта формула была выведена для определения скалярного произведения двух векторов и угла между ними.^{[6]XИсточник информации} Но эту формулу не взяли «с потолка». Она была выведена, основываясь на геометрических принципах.
- Приведенные ниже примеры рассматривают двумерные вектора (потому что с ними проще работать). Векторы с тремя или более компонентами имеют свойства, определяемые аналогичной формулой.
Рассмотрите произвольный треугольник с углом θ между сторонами а и b и противоположной ему стороной с. Теорема косинусов гласит: c² = a² + b² -2abcos(θ).^{[7]XИсточник информации}
Нарисуйте два двумерных вектора ${\overrightarrow {a}}$ и ${\overrightarrow {b}}$ с углом θ между ними. Проведите третий вектор так, чтобы получился треугольник. Другими словами, нарисуйте вектор ${\overrightarrow {c}}$ так, чтобы ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ . Таким образом, ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ .^{[8]XИсточник информации}
4
Запишите теорему косинусов для полученного треугольника:
- ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5
Перепишите полученное уравнение через скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение – это умножение длины вектора «x» на проекцию вектора «y» на вектор «x». Но скалярное произведение вектора на самого себя не требует каких-либо проекций.^{[9]XИсточник информации} Это означает, что ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {a}}$ = ||a||²/. Используйте этот факт, чтобы переписать уравнение в виде:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6
Раскройте скобки в левой части уравнения и упростите его.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b||cos(θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
Реклама

Советы

Для ускорения решения используйте следующую формулу для любой пары двумерных векторов: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
Если вы работаете на компьютере в графической программе, вам, скорее всего нужно только направление вектора, а не длина. Используйте эти шаги, чтобы упростить уравнения и ускорить вашу программу:^{[10]XИсточник информации}^{[11]XИсточник информации}
- Нормализмруйте каждый вектор, поэтому длина становится 1. Для этого делим каждый компонент вектора на длину вектора.
- Берем скалярное произведение нормализованных векторов вместо исходных векторов.
- После того, как длину нашли равной 1, оставьте ее так как ваше окончательное уравнение для угла arccos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
На основе описанной формулы вы можете быстро определить, является ли угол острым или тупым. Начните с cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ $How.com.vn Русский: {\overrightarrow {v}}$ ||):
- Левая сторона и правая стороны уравнения должны иметь одинаковый знак (положительный или отрицательный).
- Так как длины всегда положительны, cosθ должен иметь тот же знак, что и скалярное произведение.
- Таким образом, если скалярное произведение положительно, cosθ положителен. В этом случае угол лежит в первом квадранте единичного круга (θ <π/2 или 90º). Угол острый.
- Если скалярное произведение отрицательно, cosθ тоже отрицателен. Угол лежит во втором квадранте единичного круга (π/2<θ ≤ π или 90º<θ ≤180º). Угол тупой.