วิธีการ หามุมระหว่างสองเวกเตอร์

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

หามุมระหว่างค่าสองเวกเตอร์

นิยามสูตรของมุม

บทความที่เกี่ยวข้อง

ข้ออ้างอิง

หากคุณเป็นนักคณิตศาสตร์หรือนักเขียนโปรแกรมกราฟฟิก คุณอาจจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์หรือเส้นสมมติที่ให้มาสองเส้น วิกิฮาวบทนี้จะสอนคุณว่าต้องทำอย่างไร

ขั้นตอน

ส่วน 1

ส่วน 1 ของ 2:

หามุมระหว่างค่าสองเวกเตอร์

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ระบุเวกเตอร์. จดข้อมูลทั้งหมดที่คุณมีเกี่ยวกับเวกเตอร์สองค่านี้ เราจะคาดไปก่อนว่าคุณมีคำจำกัดความเวกเตอร์ในแง่ของระยะพิกัดของมิติ (หรือที่เรีกว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์) หากคุณรู้ความยาวของเวกเตอร์หนึ่ง (ขนาดของเวกเตอร์นั้น) คุณจะสามารถข้ามขั้นตอนบางส่วนด้านล่างนี้ไปได้เลย

   • ตัวอย่าง: เวกเตอร์สองมิติ ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2) เวกเตอร์ ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3) มันอาจเขียนได้เป็น ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j และ ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • ในขณะที่ตัวอย่างของเราใช้เวกเตอร์สองมิติ คำแนะนำด้านล่างครอบคลุมเวกเตอร์ทุกขนาด
2. 
   2
   เขียนสูตรโคไซน์. ในการหามุม θ ระหว่างสองเวกเตอร์ ให้เริ่มด้วยสูตรการหาโคไซน์ของมุม คุณสามารถ เรียนรู้เกี่ยวกับสูตรนี้ด้านล่าง หรือเขียนลงไปเลย:

   • cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||)
   • ||${\overrightarrow {u}}$|| หมายถึง "ความยาวของเวกเตอร์ ${\overrightarrow {u}}$."
   • ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ เป็นผลคูณจุด (ผลคูณเชิงสเกลาร์) ของเวกเตอร์ทั้งสองที่จะอธิบายด้านล่าง
3. 
   3
   คำนวณความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว. นึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉากที่วาดจากขนาด x กับขนาด y ของเวกเตอร์ และตัวเวกเตอร์เอง เวกเตอร์จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้นการหาความยาวของมันจึงต้องใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัส และอย่างที่เห็น สูตรนี้สามารถยืดไปใช้กับเวกเตอร์ที่มีขนาดใดก็ได้

   • ||u||² = u₁² + u₂². หากเวกเตอร์มีมากกว่าสองขนาด ก็แค่บวกเพิ่มเข้าไป +u₃² + u₄² + ...
   • ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์สองมิติแล้ว ||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • ในตัวอย่างของเรา ||${\overrightarrow {u}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\overrightarrow {v}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
4. 
   4
   คำนวณผลคูณจุดของเวกเตอร์ทั้งสอง. คุณอาจเรียนรู้วิธีนี้จากการคูณเวกเตอร์มาแล้ว หรือที่เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ ในการคำนวณผลคูณจุดในแง่ของขนาดเวกเตอร์นั้น ให้คูณขนาดในแต่ละทิศทางเข้าด้วยกัน แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งหมด

   • สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก ให้ดู เคล็ดลับ ก่อนจะทำต่อไป
   • ในเชิงคณิตศาสตร์ ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, ในขณะที่ u = (u₁, u₂) ถ้าเวกเตอร์ของคุณมีมากกว่าสองส่วนประกอบหรือขนาด แค่บวกเพิ่ม + u₃v₃ + u₄v₄...
   • ในตัวอย่างของเรา ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6 นี่คือผลคูณจุดของเวกเตอร์ ${\overrightarrow {u}}$ และ ${\overrightarrow {v}}$.
5. 
   5
   แทนผลลัพธ์ลงในสูตร. จำไว้ว่า cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||) ตอนนี้คุณมีทั้งผลคูณจุดและความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวแล้ว แทนค่าลงไปในสูตรนี้เพื่อคำนวณโคไซน์ของมุม

   • ในตัวอย่างของเรา cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   6
   หามุมโดยอาศัยค่าโคไซน์. คุณสามารถใช้ปุ่ม arccos หรือ cos^-1 บนเครื่องคิดเลขหามุม θ จากค่าของ cos θ ที่ทราบแล้ว สำหรับผลบางตัว คุณอาจหามุมได้โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วย

   • ในตัวอย่างของเรา cosθ = √2 / 2, กดปุ่ม "arccos(√2 / 2)" ในเครื่องคิดเลขเพื่อให้ได้มุม อีกทางเลือกคือหามุม θ บนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ซึ่ง cosθ = √2 / 2 นี่เป็นจริงสำหรับ θ = ^π/₄ หรือ 45º.
   • นำค่าที่ได้ทั้งหมดมารวมกัน สูตรตอนสุดท้ายจะเป็น: มุม θ = arccosine((${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$ ||))
   โฆษณา

ส่วน 2

ส่วน 2 ของ 2:

นิยามสูตรของมุม

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เข้าใจวัตถุประสงค์ของสูตรนี้. สูตรนี้ไม่ได้ผันมาจากกฎที่มีอยู่แล้ว มันกลับถูกสร้างขึ้นในฐานะคำจำกัดความของผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างมัน อย่างไรก็ตาม มันใช่ว่าจะเกิดขึ้นอย่างไร้กฎเกณฑ์ที่มาที่ไป หากย้อนมองกลับไปในเรขาคณิตพื้นฐาน เราจะเห็นว่าเหตุใดสูตรนี้ถึงให้คำจำกัดความที่มีประโยชน์และใช้ได้ผล

   • ตัวอย่างด้านล่างใช้เวกเตอร์สองมิติเพราะพวกมันเป็นค่าเบื้องต้นที่สุดในการใช้ เวกเตอร์ที่มีสามขนาดหรือองค์ประกอบขึ้นไปมีคุณสมบัติที่นิยามตามสูตรนี้เหมือนกัน
2. 
   2
   ทบทวนกฎของโคไซน์. นำสามเหลี่ยมธรรมดาทั่วไปที่มีมุม θ ระหว่างด้าน a กับ b และด้านตรงข้ามคือ c กฎของโคไซน์บอกว่า c² = a² + b² -2abcos(θ) นี่เป็นการนำมาจากเรขาคณิตพื้นฐาน
3. 
   3
   เชื่อมเวกเตอร์ทั้งสองเพื่อสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม. วาดเวกเตอร์ 2 มิติคู่หนึ่งบนกระดาษ เวกเตอร์ ${\overrightarrow {a}}$ และ ${\overrightarrow {b}}$ ที่มีมุม θ ระหว่างพวกมัน วาดเวกเตอร์ที่สามระหว่างนั้นให้เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม หรือพูดอีกอย่างคือ วาดเวกเตอร์ ${\overrightarrow {c}}$ ซึ่ง ${\overrightarrow {b}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ เวกเตอร์นี้${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$
4. 
   4
   เขียนกฎโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมรูปนี้. ใส่ความยาวของด้านใน "สามเหลี่ยมเวกเตอร์" ลงในกฎโคไซน์:

   • ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
5. 
   5
   เขียนขึ้นโดยใช้ผลคูณจุด. จำไว้ว่าผลคูณจุดเป็นการเพิ่มขนาดของเวกเตอร์หนึ่งลงบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง ผลคูณจุดของเวกเตอร์ในตัวมันเองไม่ต้องการการขยายเพิ่มขนาด เนื่องจากไม่มีความแตกต่างในทิศทาง นั่นหมายถึงว่า ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||² ใช้ข้อเท็จจริงข้อนี้เขียนสมการเสียใหม่:

   • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) • (${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
6. 
   6
   เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปสูตรที่คุ้นเคย. ขยายด้านซ้ายของสูตร แล้วทอนลงเป็นสมการที่ใช้หามุม

   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
   • - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • -2(${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$) = -2||a|| ||b||cos(θ)
   • ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)
   โฆษณา

เคล็ดลับ

• สำหรับการแทนค่าแล้วแก้โจทย์เร็วๆ ใช้สูตรนี้สำหรับเวกเตอร์สองมิติสองจำนวนใดๆ: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
• หากคุณทำงานด้านการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก คุณอาจจะสนใจเฉพาะในทิศทางของเวกเตอร์มากกว่าจะเป็นความยาว ให้ใช้ขั้นตอนเหล่านี้ในการทอนสมการและเพิ่มความเร็วของโปรแกรม:
  • หารเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยขนาดของมันเอง เพื่อที่ความยาวจะกลายเป็น 1 ทำโดยหารแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ด้วยความยาวของเวกเตอร์นั้น
  • นำผลคูณจุดของเวกเตอร์ที่ผ่านการหารมาแล้วแทนที่จะเป็นเวกเตอร์เดิม
  • เนื่องจากความยาวหรือขนาดเท่ากับ 1 จึงเอาพจน์ความยาวออกจากสมการได้ สมการสุดท้ายสำหรับมุมคือ arccos(${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$)
• จากสูตรโคไซน์ เราสามารถหาว่ามุมนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้านได้อย่างรวดเร็ว เริ่มจาก cosθ = (${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$) / (||${\overrightarrow {u}}$|| ||${\overrightarrow {v}}$||):
  • ด้านซ้ายกับด้านขวาของสมการจะต้องมีสัญลักษณ์เดียวกัน (บวกหรือลบ)
  • เนื่องจากความยาวจะเป็นค่าบวกเสมอ cosθ จะต้องมีสัญลักษณ์แบบเดียวกับผลคูณจุด
  • ฉะนั้น หากผลคูณจุดมีค่าเป็นบวก cosθ ก็ต้องเป็นบวก เราอยู่ในเสี้ยวแรกของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี θ < π / 2 หรือ 90º มุมจึงเป็นมุมแหลม
  • หากผลคูณจุดเป็นลบ cosθ จะต้องเป็นลบด้วย เราจะอยู่ในเสี้ยวที่สองของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมี π / 2 < θ ≤ π or 90º < θ ≤ 180º มุมจึงเป็นมุมป้าน

โฆษณา