삼각형의 높이 계산하는 법

삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 높이를 알아야 한다. 하지만 문제에 높이가 주어지지 않았다면 이미 아는 내용으로 간단하게 계산해낼 수 있다. 이 글에서는 주어진 정보에 따라 삼각형의 높이를 구할 수 있는 두 가지 다른 방법을 배워볼 것이다.

방법 1

방법 1 의 3:

밑변과 넓이로 높이 구하기

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삼각형 넓이 공식 생각하기. 삼각형의 넓이 공식은 A=1/2bh이다.^{[1]X출처 검색하기}
- A = 삼각형의 넓이
- b = 삼각형 밑변의 길이
- h = 삼각형의 높이(밑변에서 꼭짓점까지의 수직거리)
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삼각형을 살펴보고 주어진 정보 확인하기. 이 경우에는 넓이를 이미 알고 있으므로 이를 A에 대입할 수 있다. 또한 한 변의 길이를 알고 있으므로 이를 밑변으로 지정하고 b에 넣는다. 만약 넓이와 한 변의 길이를 모른다면 다른 방법을 사용해야 할 것이다.
- 삼각형의 아무 변이나 밑변이 될 수 있다. 당신이 정하면 된다. 옆에 있는 변을 밑변으로 생각하고 싶다면 삼각형을 종이에 그린 뒤에 회전시켜보자. 더 쉽게 이해될 것이다.
- 예를 들어 삼각형의 넓이가 20이고 한 변의 길이가 4라면 A = 20이고 b = 4일 것이다.
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공식에 값 대입하기. 삼각형 넓이 공식 A=1/2bh에 값을 대입하고 계산을 해보자. 먼저 밑변에 1/2를 곱하고 이 값으로 넓이를 나눠보도록 하자. 그러면 좌변에 높이의 값이 나오게 된다.
- 예시에서 사용한 값으로 계산하면 다음처럼 된다: 20 = 1/2(4)h
- 20 = 2h
- 10 = h
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방법 2

방법 2 의 3:

정삼각형의 높이 구하기

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정삼각형의 특징 생각해보기. 정삼각형은 세 변의 길이가 같은 삼각형이다. 또한 삼각형의 세 각의 크기가 모두 60도로 같다. 정삼각형을 반으로 자른다면 두 개의 합동인 직각 삼각형이 나올 것이다.^{[2]X출처 검색하기}
- 이 예시에서는 한 변의 길이가 8인 정삼각형을 사용해볼 것이다.
피타고라스 정리에서는 직각 삼각형에서 직각을 낀 두 변 a와 b, 그리고 빗변 c가 있으면 다음과 같은 공식이 성립한다고 되어 있다: a² + b² = c². 이 정리를 이용해 정삼각형의 높이를 구해볼 수 있다!^{[3]X출처 검색하기}
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정삼각형을 반으로 잘라 각 변을 a, b, c로 배정하자. 빗변 c가 원래 정삼각형의 한 변이 된다. 변a는 정삼각형 한 변 길이의 정확히 1/2이 되며 변b는 우리가 알고자 하는 삼각형의 높이가 된다.
- 우리 예시의 정삼각형의 한 변 길이는 8이므로 c = 8이고 a = 4이다.
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피타고라스 정리에 각 값을 대입하고 b²구하기. 일단 c와 a를 제곱한다. 그리고 c²에서 a²를 뺀다.
- 4² + b² = 8²
- 16 + b² = 64
- b² = 48
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b²의 제곱근을 구해 삼각형의 높이 알기. 계산기의 루트(제곱근) 기능을 이용해 b²의 제곱근을 계산해보자. 나온 결과가 정삼각형의 높이 길이이다.
- b = Sqrt (48) = 6.93 (Sqrt는 루트를 의미한다).
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방법 3

방법 3 의 3:

각도와 변의 길이를 이용해 높이 구하기

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주어진 정보 종합해보기. 삼각형의 높이는 한 변과 양끝의 두 각도가 주어졌을 때도 구할 수 있다. 각도는 밑변과 한 변의 각도여도 좋고 삼각형의 모든 각도여도 좋다. 일단 삼각형의 각 변을 a, b, c라 정하고 각 변 사이에 낀 각도를 A, B, C라고 부르기로 한다
- 세 변의 길이를 모두 안다면 헤론의 공식을 사용할 수 있다. 이 공식은 삼각형의 넓이를 구하는 공식이다.
- 한 변의 길이과 각도 하나를 안다면 다음 공식을 사용할 수 있다: A = 1/2ab(sin C).^{[4]X출처 검색하기}
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세 변의 길이를 다 아는 경우 헤론 공식 사용하기. 헤론 공식은 두 가지 과정을 거쳐야 한다. 먼저 삼각형 둘레 길이의 절반(s로 부른다)을 알아야 한다. 이는 다음 공식을 사용하면 된다: s = (a+b+c)/2.^{[5]X출처 검색하기}
- 만약 삼각형의 각 변의 길이가 a = 4, b = 3, c = 5로 주어졌다면 삼각형 둘레 길이의 절반은 s = (4+3+5)/2, 즉, s = (12)/2 = 6이 된다.
- 이제 헤론 공식의 두 번째 과정을 거칠 차례가 되었다. 바로 "넓이 = sqr{s(s-a)(s-b)(s-c)}"이다. 넓이는 삼각형의 넓이 공식 1/2bh (또는 1/2ah, 1/2ch)로 치환하도록 한다.
- 식을 계산해 h를 구하자. 우리 예시에 주어진 값을 대입하면 다음처럼 된다: 1/2(3)h = sqr{6(6-4)(6-3)(6-5)}. 이를 정리하면 3/2h = sqr(36)이 된다. 이제 계산기를 사용해 36의 제곱근을 구한다. 그러면 3/2h = 6이 될 것이다. 따라서 삼각형의 변 b를 밑변으로 한 높이 h가 4인 것을 알 수 있다.
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한 변과 각도 하나가 주어졌을 때 공식 사용기. 위에서 언급한 공식(A = 1/2ab(sin C))에 값을 대입하도록 하자. 그리고 넓이 A는 삼각형 넓이 공식 1/2bh로 치환하도록 하자. 그러면 1/2bh = 1/2ab(sin C)과 같이 바뀔 것이다. 이를 간소화하면 h = a(sin C)이 된다. 즉, 한 변과 한 각도만 있어도 높이가 나온다는 것을 알 수 있다.^{[6]X출처 검색하기}
- 주어진 정보를 공식에 대입해 높이를 계산해보자. 예를 들어 a = 3이고 C = 40도라면 공식에 값을 대입해 다음처럼 쓸 수 있다: h = 3(sin 40). 계산기를 사용하면 h가 1.928로 나올 것이다(근삿값).
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