Cách để Tìm định thức ma trận 3x3

Định thức của một ma trận thường được dùng trong giải tích, đại số tuyến tính và hình học cao cấp. Bên ngoài thế giới học thuật, kỹ sư và lập trình viên đồ họa máy tính cũng luôn phải dùng đến ma trận và định thức của chúng. Với bài viết này, How.com.vn sẽ hướng dẫn bạn cách tìm định thức của ma trận 3x3.

Phần 1

Phần 1 của 2:

Tìm định thức

Tải về bản PDF

1
Viết ma trận 3x3 của bạn. Chúng ta sẽ bắt đầu với ma trận A có kích thước 3x3 và cố tìm định thức |A| của nó. Đây là ký hiệu ma trận chung mà ta sẽ dùng, và ma trận trong ví dụ ở đây là:
- $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
2
Chọn một hàng hoặc một cột. Đó sẽ là hàng hoặc cột tham chiếu của bạn. Dù chọn thế nào, đáp án cuối cùng cũng là như nhau. Trước mắt, hãy cứ chọn hàng đầu tiên. Sau đó, chúng ta sẽ có một vài lời khuyên trong việc làm thế nào để chọn được phương án dễ tính toán nhất.
- Chọn hàng đầu tiên của ma trận A trong ví dụ của chúng ta. Khoanh tròn hàng 1 5 3. Hay theo thuật ngữ chung, khoanh tròn a₁₁ a₁₂ a₁₃.
3
Gạch bỏ hàng và cột đi qua phần tử đầu tiên của bạn. Nhìn vào hàng hay cột mà bạn đã khoanh tròn và chọn phần tử đầu tiên. Vẽ một đường đè lên hàng và cột của nó. Lúc này, bạn chỉ còn lại bốn số. Chúng ta sẽ xem chúng như một ma trận 2x2.
- Trong ví dụ này, hàng tham chiếu của ta là 1 5 3. Phần tử đầu tiên nằm ở hàng 1 và cột 1. Hãy gạch bỏ toàn bộ hàng 1 và cột 1. Viết các phần tử còn lại dưới dạng một ma trận 2x2:
- ~~1 5 3~~
  2 4 7
  4 6 2
4
Tìm định thức của ma trận 2x2. Nhớ rằng, định thức của ma trận ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $How.com.vn Tiếng Việt: {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ là ad - bc.^{[1]XNguồn nghiên cứu} Bạn có thể ghi nhớ công thức này bằng cách vẽ một chữ X đi từ bên này sang bên kia ma trận 2x2. Nhân hai số được kết nối bởi đường chéo \ của X. Tiếp đó, lấy kết quả này trừ đi tích của hai số được nối bởi đường chéo /. Hãy dùng công thức này để tính định thức của ma trận mà bạn vừa tìm được.
- Trong ví dụ trên, định thức của ma trận ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- Định thức này được gọi là một định thức con của phần tử được chọn từ ma trận gốc.^{[2]XNguồn nghiên cứu} Trong trường hợp này, ta vừa tìm được định thức con của a₁₁.
5
Nhân định thức vừa tìm được với phần tử mà bạn đã chọn. Nhớ rằng khi xác định hàng và cột để gạch bỏ, bạn đã chọn phần tử từ hàng (hay cột) tham chiếu. Hãy nhân phần tử này với định thức mà bạn vừa tính được từ ma trận 2x2.
- Trong ví dụ trên, ta đã chọn a₁₁, phần tử có giá trị là 1. Nhân nó với -34 (định thức của ma trận 2x2), ta được 1*-34 = -34.
6
Xác định dấu kết quả của bạn. Tiếp đến, bạn sẽ nhân kết quả này với 1 hoặc -1 để thu được phần phụ đại số của phần tử đã chọn. Dùng 1 hay -1 là tùy thuộc vào vị trí của phần tử đó trong ma trận 3x3. Hãy học thuộc bảng dấu đơn giản này để xác định dấu của từng phần tử:
- + - +
  - + -
  + - +
- Vì đã chọn a₁₁, phần tử được đánh dấu a +, ta sẽ nhân kết quả với +1 (hay nói cách khác, không làm gì với kết quả thu được). Đó vẫn sẽ là -34.
- Hoặc, bạn có thể xác định dấu với công thức (-1)^i+j, trong đó, i và j là lần lượt là hàng và cột của phần tử.^{[3]XNguồn nghiên cứu}
7
Lặp lại quá trình này cho phần tử thứ hai trên hàng hoặc cột tham chiếu của bạn. Quay lại với ma trận 3x3 gốc và hàng hay cột mà bạn đã khoanh trước đó. Lặp lại quy trình trên cho phần tử này:
- Gạch bỏ hàng và cột của phần tử đó. Trong trường hợp của chúng ta, phần tử được chọn là a₁₂ (có giá trị là 5). Gạch bỏ hàng một (1 5 3) và cột hai ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ .
- Xem các phần tử còn lại như một ma trận 2x2. Ở đây, đó là ma trận ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$
- Tìm định thức của ma trận 2x2 này. Dùng công thức ad - bc (2*2 - 7*4 = -24).
- Nhân với phần tử được chọn từ ma trận 3x3. -24 * 5 = -120
- Xác định liệu có cần phải nhân nó với -1 hay không. Dùng bảng dấu hoặc công thức (-1)^i+j. Ở đây, phần tử được chọn là a₁₂, mang dấu - trong bảng dấu. Ta phải đổi dấu của kết quả: (-1)*(-120) = 120.
8
Lặp lại với phần tử thứ ba. Bạn có thêm một phần bù đại số nữa để tìm. Tính i cho phần tử thứ ba trong hàng hay cột tham chiếu của bạn. Dưới đây là tóm tắt nhanh cách tính phần bù đại số của phần tử a₁₃ trong ví dụ này:
- Gạch bỏ hàng 1 và cột 3 để có ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$
- Định thức của nó là 2*6 - 4*4 = -4.
- Nhân với phần tử a₁₃: -4 * 3 = -12.
- Phần tử a₁₃ mang dấu + trong bảng dấu, do đó, đáp án của ta là -12.
9
Cộng ba kết quả thu được. Đây là bước cuối cùng. Bạn vừa tính ba phần bù đại số tương ứng với ba phần tử trong một hàng hay cột đơn lẻ. Cộng chúng lại và bạn thu được định thức của ma trận 3x3.
- Trong ví dụ này, định thức của chúng ta là -34 + 120 + -12 = 74.
Quảng cáo

Phần 2

Phần 2 của 2:

Đơn giản hóa bài toán

Tải về bản PDF

1
Chọn hàng hay cột tham chiếu có nhiều phần tử bằng không nhất. Nhớ rằng bạn có thể chọn bất kỳ hàng hay cột nào để tham chiếu. Đáp án thu được là không đổi. Khi chọn hàng hay cột có nhiều phần tử bằng không, bạn chỉ cần tính phần bù đại số của những phần tử khác không. Đó là vì:
- Giả sử bạn chọn hàng 2, với các phần tử a₂₁, a₂₂, và a₂₃. Để giải bài toán, ta có ba ma trận 2x2 khác nhau. Gọi chúng lần lượt là A₂₁, A₂₂, và A₂₃.
- Định thức của ma trận 3x3 là a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
- Nếu phần tử a₂₂ và a₂₃ đều bằng 0, đó sẽ là a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Giờ thì ta chỉ phải tính phần bù đại số của một phần tử mà thôi.
2
Cộng hàng để ma trận trở nên dễ hơn. Nếu lấy giá trị của một hàng và cộng chúng vào một hàng khác, định thức của ma trận sẽ không đổi. Tương tự, định thức của ma trận cũng sẽ không đổi khi ta làm vậy với cột. Bạn có thể thao tác nhiều lần hoặc nhân giá trị của các phần tử của một hàng hay một cột với một hằng số trước khi cộng chúng vào hàng hay cột khác để thu được tối đa số các số không trong ma trận. Nhờ đó, tiết kiệm được rất nhiều thời gian tính toán.
- Lấy ví dụ, giả sử bạn có ma trận 3x3: ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ .
- Để loại bỏ 9 ở vị trí a₁₁, ta có thể nhân hàng thứ hai với -3 và cộng giá trị thu được vào hàng đầu. Hàng mới là [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Ma trận mới là ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ . Hãy thử dùng mẹo tương tự với các cột để đưa a₁₂ về 0.
3
Học cách tính nhanh dùng cho ma trận tam giác. Trong trường hợp đặc biệt này, định thức đơn giản chỉ là tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính, từ a₁₁ ở phía trên bên trái đến a₃₃ ở vị trí dưới cùng bên phải. Vẫn là ma trận 3x3 nhưng với ma trận "tam giác", những giá trị khác không được sắp xếp theo dạng đặc biệt:^{[4]XNguồn nghiên cứu}
- Ma trận tam giác trên: Mọi phần tử khác không đều thuộc hoặc nằm trên đường chéo chính. Mọi phần tử bên dưới đều bằng không.
- Ma trận tam giác dưới: Mọi phần tử khác không đều thuộc hoặc nằm bên dưới đường chéo chính.
- Ma trận chéo: Mọi phần tử khác không đều thuộc đường chéo chính (đây là tập con của hai dạng trên).
Quảng cáo

Lời khuyên

Phương pháp này có thể mở rộng cho mọi ma trận vuông. Chẳng hạn như, nếu dùng nó cho ma trận 4x4, bước "gạch bỏ" cho ta ma trận 3x3 và ta có thể tìm được định thức của ma trận 3x3 này với các bước được trình bày ở trên. Dù vậy, hãy lường trước rằng việc tính tay có thể sẽ khá buồn tẻ!
Khi mọi phần tử của một hàng hay một cột bằng 0, ma trận có định thức bằng 0.