Cách để Dễ dàng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm bậc hai

Tải về bản PDF

Tải về bản PDF

Trong bài viết này:

Bắt đầu với dạng hàm tổng quát

Sử dụng dạng đỉnh hay dạng chuẩn

Dùng giải tích để tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Bài viết có liên quan

Tham khảo

Vì nhiều lý do khác nhau, có thể bạn sẽ cần xác định được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm bậc hai nào đó. Bạn có thể tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi hàm gốc được viết dưới dạng tổng quát: $f(x)=ax^{2}+bx+c$, hoặc dạng chuẩn: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$. Cuối cùng, có thể bạn cũng sẽ muốn dùng một số phép giải tích cơ bản để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của bất kỳ hàm bậc hai nào.

Các bước

Phương pháp 1

Phương pháp 1 của 3:

Bắt đầu với dạng hàm tổng quát

Tải về bản PDF

1. 
   1
   Thiết lập hàm ở dạng tổng quát. Hàm bậc hai là hàm chứa $x^{2}$. Nó có thể chứa hoặc không chứa $x$ (không đi kèm số mũ). 2 là số mũ lớn nhất. Dạng tổng quát của nó là $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Nếu cần thiết, hãy kết hợp những số hạng giống nhau và sắp xếp lại để phương trình có dạng tổng quát này.

   • Lấy ví dụ, giả sử bạn bắt đầu với $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$. Kết hợp các số hạng có chứa $x^{2}$ và các số hạng có chứa $x$, ta được dạng tổng quát sau:
     • $f(x)=2x^{2}+5x+4$
2. 
   2
   Xác định hướng của đồ thị. Hàm bậc hai có đồ thị hình parabol. Đó có thể là một parabol mở lên hoặc mở xuống. Nếu $a$, hệ số của $x^{2}$, là dương, đó là parabol mở lên. Nếu $a$ âm, đó là parabol mở xuống. Xem xét các ví dụ sau:

   • Với $f(x)=2x^{2}+4x-6$, $a=2$ nên parabol mở lên.
   • Với $f(x)=-3x^{2}+2x+8$, $a=-3$ nên parabol mở xuống.
   • Với $f(x)=x^{2}+6$, $a=1$ nên parabol mở lên.
   • Khi parabol mở lên, bạn sẽ tìm được giá trị bé nhất của nó. Khi parabol mở xuống, bạn tìm được giá trị lớn nhất.
3. 
   3
   Tính -b/2a. Giá trị của $-{\frac {b}{2a}}$ cho biết giá trị $x$ tại đỉnh của parabol. Khi hàm bậc hai được viết ở dạng tổng quát $ax^{2}+bx+c$, ta dùng hệ số của $x$ và $x^{2}$ như sau:

   • Với hàm $f(x)=x^{2}+10x-1$, $a=1$ và $b=10$. Do đó, giá trị x tại đỉnh được tính như sau:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
     • $x=-{\frac {10}{2}}$
     • $x=-5$
   • Xét ví dụ thứ hai, với hàm $f(x)=-3x^{2}+6x-4$. Trong ví dụ này, $a=-3$ và $b=6$. Do đó, giá trị x tại đỉnh được tìm như sau:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
     • $x=-{\frac {6}{-6}}$
     • $x=-(-1)$
     • $x=1$
4. 
   4
   Tìm giá trị f(x) tương ứng. Thay giá trị x mà bạn vừa tính được vào hàm để tìm giá trị f(x) tương ứng. Đó sẽ là giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm.

   • Trong ví dụ đầu tiên, $f(x)=x^{2}+10x-1$, bạn tính được giá trị x tại đỉnh là $x=-5$. Nhập $-5$ vào vị trí của $x$ trong hàm để tìm giá trị nhỏ nhất:
     • $f(x)=x^{2}+10x-1$
     • $f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
     • $f(x)=25-50-1$
     • $f(x)=-26$
   • Trong ví dụ thứ hai, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$, bạn tìm được tại đỉnh, $x=1$. Thay $1$ vào vị trí của $x$ trong hàm để tìm giá trị lớn nhất:
     • $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
     • $f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
     • $f(x)=-3+6-4$
     • $f(x)=-1$
5. 
   5
   Viết đáp án. Xem lại câu hỏi. Nếu bài toán hỏi tọa độ của đỉnh, bạn phải trả lời với cả giá trị của $x$ và $y$ (hay $f(x)$). Nếu bài toán chỉ hỏi giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, bạn chỉ cần trả lời bằng giá trị của $y$ (hay $f(x)$). Xem lại giá trị của hệ số $a$ để chắc là bạn sẽ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất.

   • Trong ví dụ đầu tiên, $f(x)=x^{2}+10x-1$, giá trị của $a$ là dương, do đó, bạn sẽ đưa ra giá trị nhỏ nhất. $(-5,-26)$ là đỉnh của parabol, và giá trị nhỏ nhất của hàm là $-26$.
   • Trong ví dụ thứ hai, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$, $a$ âm, do đó, bạn sẽ đưa ra giá trị lớn nhất. $(1,-1)$ là đỉnh của parabol, và giá trị lớn nhất của hàm số là $-1$.
   Quảng cáo

Phương pháp 2

Phương pháp 2 của 3:

Sử dụng dạng đỉnh hay dạng chuẩn

Tải về bản PDF

1. 
   1
   Viết hàm bậc hai dưới dạng chuẩn hay dạng đỉnh. Dạng chuẩn mẫu của một hàm bậc hai tổng quát, còn được gọi là dạng đỉnh, có dạng tương tự như sau:

   • $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
   • Nếu hàm được cho đã ở dạng này, bạn chỉ cần nhận biết các biến $a$, $h$ và $k$. Nếu hàm được bắt đầu ở dạng tổng quát $f(x)=ax^{2}+bx+c$, bạn sẽ cần hoàn thành phép bình phương để chuyển nó về dạng đỉnh.
   • Xem lại cách hoàn thành phép bình phương.
2. 
   2
   Xác định hướng của đồ thị. Cũng như với hàm số ở dạng tổng quát, chỉ cần nhìn vào hệ số $a$, bạn có thể xác định được hướng của parabol. Nếu $a$ trong dạng chuẩn này là dương thì parabol mở lên. Nếu nó âm, vậy parabol sẽ mở xuống. Xét các ví dụ sau:

   • Với $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, $a=2$, dương, do đó, parabol mở lên.
   • Với $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, $a=-3$, âm, do đó, parabol mở xuống.
   • Khi parabol mở lên, bạn đang tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Khi parabol mở xuống, bạn tìm giá trị lớn nhất.
3. 
   3
   Xác định giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Khi hàm được viết ở dạng chuẩn, tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất chỉ đơn giản là nêu giá trị của biến $k$. Với hai hàm ví dụ ở trên, những giá trị đó là:

   • Với $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, $k=-4$. Đây là giá trị nhỏ nhất của hàm số bởi parabol này mở lên.
   • Với $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, $k=2$. Đây là giá trị lớn nhất của hàm số, bởi parabol này mở xuống.
4. 
   4
   Tìm đỉnh. Nếu bài toán yêu cầu tìm tọa độ giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, đó sẽ là điểm $(h,k)$. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng ở dạng chuẩn của phương trình, nằm trong ngoặc đơn là $(x-h)$, do đó, bạn cần đổi dấu số theo sau $x$.

   • Với $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, nằm trong ngoặc đơn là (x+1), hay (x-(-1)). Do đó, $h=-1$. Tọa độ đỉnh của hàm số này là $(-1,-4)$.
   • Với $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, trong ngoặc đơn là (x-2). Do đó, $h=2$. Tọa độ đỉnh là (2, 2).
   Quảng cáo

Phương pháp 3

Phương pháp 3 của 3:

Dùng giải tích để tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Tải về bản PDF

1. 
   1
   Bắt đầu với dạng tổng quát. Viết hàm bậc hai của bạn ở dạng tổng quát, $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Nếu cần, có thể bạn sẽ phải kết hợp các số hạng giống nhau và sắp xếp lại để có dạng phù hợp.

   • Bắt đầu với hàm ví dụ $f(x)=2x^{2}-4x+1$.
2. 
   2
   Dùng quy tắc lũy thừa để tìm đạo hàm bậc nhất. Với giải tích cơ bản của năm nhất, đạo hàm bậc nhất của hàm bậc hai tổng quát sẽ là $f^{\prime }(x)=2ax+b$.

   • Với hàm ví dụ $f(x)=2x^{2}-4x+1$, đạo hàm của nó sẽ là:
     • $f^{\prime }(x)=4x-4$
3. 
   3
   Cho đạo hàm bằng không. Nhớ rằng đạo hàm của một hàm số tại một điểm cho biết độ dốc của hàm số tại điểm xác định đó. Hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi độ dốc của nó bằng không. Do đó, để tìm điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, ta cần cho đạo hàm bằng không. Tiếp tục với bài toán ví dụ ở trên:

   • $f^{\prime }(x)=4x-4$
   • $0=4x-4$
4. 
   4
   Tìm x. Sử dụng quy tắc đại số cơ bản để sắp xếp lại hàm số và tìm giá trị của x khi đạo hàm bằng không. Đáp án thu được sẽ cho bạn hoành độ của đỉnh hàm số, nơi mà nó đạt cực đại hay cực tiểu.

   • $0=4x-4$
   • $4=4x$
   • $1=x$
5. 
   5
   Thay x vừa tìm được vào hàm gốc. Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số sẽ là giá trị của $f(x)$ tại vị trí $x$ được chọn. Thế $x$ vào hàm gốc, giải và ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của nó.

   • Với hàm số $f(x)=2x^{2}-4x+1$ tại $x=1$,
     • $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
     • $f(1)=2-4+1$
     • $f(1)=-1$
6. 
   6
   Trình bày đáp án. Đáp án cho bạn đỉnh tại điểm lớn nhất hay nhỏ nhất. Với hàm ví dụ, $f(x)=2x^{2}-4x+1$, hàm có đỉnh tại $(1,-1)$. Hệ số $a$ dương, do đó đây là một hàm mở lên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ tại đỉnh, hay $-1$.
   Quảng cáo

Lời khuyên

• Trục đối xứng của parapol là x = h.