Come Calcolare il Determinante di una Matrice 3 x 3

Il determinante di una matrice è un'informazione che viene utilizzata spesso in analisi matematica, algebra lineare e in geometria avanzata. Esistono applicazioni del determinante anche al di fuori del mondo accademico; ad esempio, ingegneri e programmatori informatici lo utilizzano frequentemente in campo grafico.^{[1]XFonte di ricerca} Se conosci già come calcolare il determinante di una matrice composta da 2 righe e 2 colonne (2x2), per calcolare quello di una matrice 3x3, dovrai semplicemente eseguire qualche somma, sottrazione o moltiplicazione in più.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Calcolare il Determinante

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Prendi nota della matrice 3x3. Parti dalla matrice A composta da 3 colonne e 3 righe e procedi a calcolarne il determinante |A|. Ecco la matrice di esempio che andremo a utilizzare in questa guida e la relativa notazione standard:
- $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
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Scegli una singola riga o una singola colonna. Si tratta della tua riga o colonna di riferimento. La soluzione finale sarà la stessa, indipendentemente da cosa scegli, quindi non preoccuparti. Per comodità, nel nostro esempio scegliamo semplicemente la prima riga. Successivamente ti verranno forniti dei consigli su come scegliere l'opzione di calcolo più semplice, in base alla conformazione della matrice.
- Prendi come riferimento la prima riga della nostra matrice A, quindi cerchia i valori 1, 5 e 3. Utilizzando la notazione standard, evidenzia gli elementi a₁₁, a₁₂ e a₁₃ della matrice.
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Elimina la riga e la colonna a cui appartiene il primo elemento preso in considerazione. Osserva la riga o la colonna di riferimento, quindi scegli il primo elemento che la compone. Traccia una linea sulla rispettiva riga e colonna. Al termine dovresti aver ottenuto una matrice più piccola, composta da 2 righe e 2 colonne. Procediamo esaminando questa nuova matrice 2x2.
- Nel nostro esempio abbiamo scelto come riferimento la riga composta dagli elementi 1, 5 e 3. Il primo elemento si trova nella riga 1 e nella colonna 1. Procedi quindi a eliminare la riga 1 e la colonna 1. Riscrivi gli elementi rimasti per comporre una matrice 2x2:
- ~~1 5 3~~
- 2 4 7
- 4 6 2
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Calcola il determinante della nuova matrice 2x2. Ricorda che il determinante della matrice ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $How.com.vn Italiano: {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ è pari a ad - bc.^{[2]XFonte di ricerca} Puoi dedurre la formula tracciando una X sugli elementi della nostra matrice 2x2. Moltiplica gli elementi corrispondenti alla diagonale principale della matrice, quindi sottrai dal risultato ottenuto il prodotto degli elementi corrispondenti alla diagonale secondaria. Utilizza questa formula per calcolare il determinante della matrice che hai ricavato nel passaggio precedente.
- Nel nostro esempio il determinante della matrice ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- Questo determinate è chiamato minore perché è stato calcolato utilizzando un sottoinsieme degli elementi che compongono la matrice originale.^{[3]XFonte di ricerca} In questo caso abbiamo calcolato il minore dell'elemento a₁₁.
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Moltiplica il minore per l'elemento scelto. Ricorda che, una volta selezionata la riga (o colonna) di riferimento, occorre scegliere un singolo elemento al suo interno per poter procedere a eliminare tutti gli elementi della riga e della colonna a cui appartiene. Procedi quindi a moltiplicare l'elemento scelto per il suo minore.
- Nel nostro esempio abbiamo scelto l'elemento a₁₁, cioè il valore 1. Moltiplicandolo per -34 (cioè per il suo minore) otteniamo 1*-34 = -34.
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Determina il segno del risultato. Adesso occorre moltiplicare il risultato ottenuto per 1 o -1, ottenendo così il cofattore o complemento algebrico dell'elemento in oggetto. Il coefficiente da usare dipende dalla posizione assunta dall'elemento scelto all'interno della matrice 3x3 originale. Memorizza questo semplice schema per individuare rapidamente il coefficiente necessario:
- + - +
- - + -
- + - +
- Dato che nel nostro esempio abbiamo scelto l'elemento a₁₁, il cui segno è +, dobbiamo moltiplicare il risultato ottenuto per il coefficiente +1. In questo caso la soluzione al nostro problema rimane -34.
- In alternativa, per individuare il segno, puoi utilizzare la formula (-1)^{i+j, dove i e j corrispondono al numero di riga e colonna dell'elemento scelto.^{[4]XFonte di ricerca}}
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Ripeti il processo di calcolo utilizzando il secondo elemento della tua riga o colonna di riferimento. Riprendi in considerazione la matrice 3x3 originale in cui hai evidenziato gli elementi appartenenti alla colonna o alla riga scelta come riferimento. Ripeti tutti i passaggi visti sin qui per il secondo elemento:
- Elimina la colonna e la riga relativa all'elemento in oggetto. Nel nostro caso prendiamo in considerazione l'elemento a₁₂ (che ha valore pari a 5). Procediamo quindi a eliminare la prima riga (1, 5, 3) e la seconda colonna ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ .
- Disponi gli elementi rimasti in una matrice 2x2. Nel nostro caso la matrice risultante è la seguente ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$ .
- Calcola il determinante della nuova matrice 2x2. Utilizza la formula "ad – bc" ottenendo 2*2 - 7*4 = -24.
- Moltiplica l'elemento della matrice 3x3 scelto per il suo minore. Nel nostro esempio otterremo -24 * 5 = -120.
- Determina il coefficiente da utilizzare per calcolare il segno. Per farlo, puoi utilizzare lo schema grafico o la formula (-1)^i+j. Nel nostro esempio abbiamo scelto l'elemento a₁₂ avente segno "-". In questo caso occorre cambiare il segno del risultato ottenuto: (-1)*(-120) = 120.
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Ripeti il procedimento per il terzo elemento. Abbiamo ancora un cofattore da calcolare. Procedi a calcolare il complemento algebrico del terzo elemento che compone la riga o la colonna scelta come riferimento. Ecco uno schema riassuntivo su come procedere al calcolo del cofattore dell'elemento a₁₃ del nostro esempio:
- Elimina la prima riga e la terza colonna della matrice originale ottenendo ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$ .
- Il determinante di tale matrice è 2*6 - 4*4 = -4.
- Moltiplicalo per l'elemento a₁₃ ottenendo: -4 * 3 = -12.
- L'elemento a₁₃ ha segno positivo (+), quindi non occorre eseguire altre operazioni. La soluzione finale è -12.
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Somma fra loro i tre risultati ottenuti. Questo è l'ultimo passaggio. Dopo aver calcolato i tre cofattori, uno per ogni elemento della riga o colonna scelta come riferimento, sommali fra loro per ottenere il determinante della matrice 3x3 originale.
- Nel nostro esempio il determinante è -34 + 120 + -12 = 74.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Semplificare i Calcoli

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Come riferimento scegli la riga o la colonna che presenta più valori pari a 0. Dato che puoi scegliere una qualsiasi delle righe o delle colonne che formano la matrice senza che ciò influenzi il risultato finale, e poiché dovrai calcolare il cofattore solo degli elementi non nulli, sarà più semplice scegliere quella con il numero maggiore di valori pari a 0. Ecco spiegato il perché:
- Ipotizziamo di aver scelto come riferimento la riga numero 2 composta dagli elementi a₂₁, a₂₂, and a₂₃. Per individuare la soluzione finale al problema dobbiamo far riferimento a tre matrici 2x2 diverse. Chiamiamole A₂₁, A₂₂ e A₂₃.
- Il determinante della matrice 3x3 originale sarà quindi: a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
- Se gli elementi a₂₂ e a₂₃ hanno entrambi un valore pari a 0, la formula in oggetto diventa a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Quindi dobbiamo calcolare il cofattore solo di un elemento.
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Semplifica la matrice sommando le righe. Sommando i valori degli elementi di una riga con i rispettivi valori di un'altra, il determinante non cambia. Lo stesso principio si applica alle colonne. Puoi ripetere questa operazione più volte (o moltiplicare i valori per una costante prima di sommarli) con lo scopo di ottenere più valori nulli (uguali a 0) possibili all'interno della matrice. Questo passaggio ti consentirà di risparmiare molto tempo.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere una matrice composta da tre righe: ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
- Per poter eliminare il valore 9 dell'elemento a₁₁, possiamo moltiplicare tutti gli elementi della seconda riga per il coefficiente -3 e sommarli a quelli della prima. La nuova riga risultante è quindi [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nuova matrice sarà composta dalle seguenti righe ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ . Prova a utilizzare lo stesso procedimento con le colonne, per fare in modo che il valore dell'elemento a₁₂ diventi 0.
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Impara i calcoli applicabili alle matrici triangolari. Si tratta di un caso speciale, dove il determinante è rappresentato dal semplice prodotto dei valori presenti sulla diagonale principale, quella composta dai valori a₁₁, a₂₂ e a₃₃. Una matrice "triangolare" è comunque matrice quadrata 3x3, dove però esiste uno schema ben preciso di valori non nulli (diversi da 0):^{[5]XFonte di ricerca}
- Matrice triangolare superiore: tutti i valori diversi da 0 si trovano sulla diagonale principale o nell'area superiore delimitata da quest'ultima. Tutti gli elementi che si trovano sotto alla diagonale principale sono uguali a 0.
- Matrice triangolare inferiore: tutti i valori diversi da 0 si trovano sulla diagonale principale o nell'area inferiore delimitata da quest'ultima.
- Matrice diagonale: tutti gli elementi con valore diverso da 0 si trovano sulla diagonale principale.
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Consigli

Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna della matrice sono uguali a zero, allora anche il determinante sarà pari a zero.
Questo metodo può essere applicato anche nel caso di una matrice quadrata di qualsiasi dimensione. Ad esempio, se quella che stai studiando è una matrice composta da 4 righe e 4 colonne, dopo aver eliminato la riga e la colonna dell'elemento preso come riferimento, si ridurrà a una matrice di 3x3, consentendoti di applicare il calcolo del determinante visto in questa guida. Sii paziente perché eseguire manualmente questi calcoli può essere molto noioso.