Come Calcolare l'Area di un Pentagono

Un pentagono è un poligono con cinque lati. La quasi totalità dei problemi matematici che dovrai affrontare nella tua carriera scolastica studiano pentagoni regolari, quindi composti da cinque lati identici. Per calcolare l'area di questa figura geometrica esistono due metodi che andranno utilizzati in base alle informazioni in possesso.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Calcolare l'Area Partendo dalla Lunghezza del Lato e dell'Apotema

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Parti dalla misura del lato e dell'apotema. Questo metodo si può applicare ai pentagoni regolari, che possiedono quindi 5 lati identici. Oltre a conoscere la lunghezza dei lati avrai la necessità di conoscere anche la lunghezza dell'apotema. Per "apotema" di un pentagono si intende la linea che partendo dal centro della figura ne interseca un lato con un angolo retto di 90°.
- Non confondere l'apotema con il raggio, che in questo caso è la linea che congiunge il centro della figura con uno dei vertici del pentagono. Se gli unici dati in tuo possesso sono la lunghezza del lato e del raggio, utilizza il metodo descritto in questa sezione.
- In questo esempio viene studiato un pentagono avente i lati lunghi 3 unità e l'apotema lungo 2 unità.
Per farlo disegna 5 linee che congiungono il centro della figura con ognuno dei vertici (i cinque angoli della figura). Al termine avrai ottenuto cinque triangoli uguali.
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Calcola l'area di un triangolo. Ogni triangolo avrà come base un lato del pentagono e come altezza l'apotema (ricorda che l'altezza di un triangolo è la linea che unisce il vertice e il lato opposto creando un angolo retto). Per calcolare l'area di ogni triangolo dovrai semplicemente utilizzare la formula classica: (base x altezza) / 2.
- Nel nostro esempio otterremo: Area = (3 x 2)/2 = 3 unità quadrate.
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Moltiplica l'area di un singolo triangolo per 5. Avendo suddiviso un pentagono regolare in cinque triangoli, questi ultimi saranno tutti identici. Ne deduciamo quindi che per calcolare l'area totale del pentagono si dovrà semplicemente moltiplicare l'area di un singolo triangolo per 5.
- Nel nostro esempio otterremo: Area = 5 x (area del triangolo) = 5 x 3 = 15 unità quadrate.
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Calcolare l'Area Partendo dalla Lunghezza del Lato

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Parti dalla lunghezza di un lato. Questo metodo si applica solo ai pentagoni regolari, cioè che possiedono 5 lati identici.
- In questo esempio studiamo un pentagono avente i lati lunghi 7 unità.
Per farlo disegna 5 linee che congiungono il centro della figura con ognuno dei vertici (i 5 angoli). Al termine avrai ottenuto 5 triangoli uguali.
Per farlo traccia una linea che partendo dal centro del pentagono interseca la base di un triangolo formando un angolo di 90°. Otterrai così due triangoli rettangoli identici.
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Studiamo uno dei triangoli rettangoli. Conosciamo già un lato e un angolo del nostro piccolo triangolo, possiamo quindi dedurre quanto segue:
- La base del nostro triangolo sarà pari a metà lunghezza del lato del pentagono. Nel nostro esempio il lato misura 7 unità, quindi la base sarà uguale a 3,5 unità.
- L'angolo al centro di un pentagono regolare formato dal raggio e dall'apotema è sempre di 36° (partendo dall'assioma che l'angolo giro è di 360°, dividendo il pentagono in 10 triangoli rettangoli, otterremo quindi 360 ÷ 10 = 36. Quindi ogni triangolo avrà l'angolo composto dalla base e dall'ipotenusa, con vertice nel centro del pentagono, che misura 36°).^{[1]XFonte di ricerca}.
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Calcola l'altezza del triangolo rettangolo. L'altezza del triangolo coincide con l'apotema del pentagono, quindi è la linea che partendo dal centro interseca il lato del pentagono con un angolo di 90°. Per calcolare la lunghezza di questo lato possiamo aiutarci con le nozioni base della trigonometria:^{[2]XFonte di ricerca}
- In un triangolo rettangolo la tangente di un angolo è uguale al rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente.
- Il lato opposto all'angolo di 36° è la base del triangolo (che sappiamo essere uguale a metà della lunghezza del lato del pentagono). Il lato adiacente all'angolo di 36° è l'altezza del triangolo.
- tan(36º) = lato opposto / lato adiacente.
- Nel nostro esempio otterremo quindi: tan(36º) = 3,5 / altezza.
- altezza x tan(36º) = 3,5
- altezza = 3,5 / tan(36º)
- altezza = 4,8 unità (arrotondando il risultato per semplificare i calcoli).
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Calcoliamo l'area del triangolo. L'area di un triangolo è uguale a: (base x altezza) / 2. Adesso che conosciamo la misura dell'altezza possiamo utilizzare la formula appena citata per calcolare l'area del nostro triangolo rettangolo.
- Nel nostro esempio l'area è data da: (base x altezza) / 2 = (3,5 x 4,8) / 2 = 8,4 unità quadrate.
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Moltiplica l'area di un triangolo rettangolo per ottenere l'area totale del pentagono. Uno dei triangoli rettangoli che abbiamo studiato copre esattamente 1/10 dell'area totale della figura in oggetto. Quindi deduciamo che per calcolare l'area totale del pentagono occorre moltiplicare l'area del triangolo per 10.
- Nel nostro esempio otterremo quindi quanto segue: 8,4 x 10 = 84 unità quadrate.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Usare la Formula Matematica

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Usa il perimetro e l'apotema. Per "apotema" di un pentagono si intende la linea che partendo dal centro della figura ne interseca un lato con un angolo retto di 90°. Qualora si conosca questa misura, si può applicare questa semplice formula:
- L'area di un pentagono regolare è uguale a : pa/2, dove p è il perimetro e a è la lunghezza dell'apotema.^{[3]XFonte di ricerca}
- Se non conosci il perimetro puoi calcolarlo nel seguente modo partendo dalla misura di un lato: p = 5s, dove s è la lunghezza di un singolo lato del pentagono.
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Usa la misura di un lato. Se conosci solo la misura di un singolo lato puoi applicare la seguente formula:^{[4]XFonte di ricerca}
- L'area di un pentagono regolare è uguale a : (5s²) / (4tan(36º)), dove s è la misura di un lato della figura.
- tan(36º) = √(5-2√5).^{[5]XFonte di ricerca} Se non disponi di una calcolatrice in grado di calcolare la funzione tan di un angolo, puoi usare la seguente formula: Area = (5s²) / (4√(5-2√5)).
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Scegli la formula che utilizza solo la misura del raggio. Puoi calcolare l'area di un pentagono regolare anche partendo dalla misura del suo raggio. La formula è la seguente:^{[6]XFonte di ricerca}
- L'area di un pentagono regolare è uguale a : (5/2)r²sin(72º), dove r è la misura del raggio.
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Consigli

Per rendere i calcoli matematici meno complessi, negli esempi di questo articolo sono stati utilizzati valori arrotondati. Calcolando l'area e le altre misure utilizzando i dati reali senza eseguire alcun arrotondamento si otterranno dei risultati leggermente differenti.
Se possibile, esegui i calcoli utilizzando sia il metodo geometrico sia la formula aritmetica e confronta i risultati ottenuti per avere la conferma della correttezza del risultato. Eseguendo il calcolo della formula aritmetica in un unico passaggio (senza eseguire gli arrotondamenti previsti dai passaggi intermedi) potresti ottenere un risultato leggermente differente, ma comunque molto simile al primo. Questa differenza viene generata perché non si eseguono gli arrotondamenti di tutti i passaggi che compongono la formula finale utilizzata.
Lo studio dei pentagoni irregolari (dove i lati della figura non sono tutti uguali) è molto più complesso. Normalmente l'approccio migliore consiste nel suddividere il pentagono irregolare in triangoli di cui andranno sommate tutte le aree. In alternativa potresti avere la necessità di procedere nel seguente modo: disegnare una figura che circoscriva il pentagono, calcolarne l'area e sottrarre a quest'ultima l'area non inclusa nel pentagono.
Le formule matematiche vengono ricavate con metodi geometrici molto simili a quelli descritti in questo articolo. Prova a scoprire come sono state ricavate le formule utilizzate. La formula che sfrutta il raggio è molto più difficile da dedurre rispetto alle altre (suggerimento: dovrai usare la doppia identità dell'angolo).