Come Calcolare il Volume di un Cubo

Il cubo è un solido geometrico tridimensionale, le cui misure di altezza, larghezza e profondità sono identiche. Un cubo è composto da 6 facce quadrate aventi lati tutti uguali e angoli retti. Calcolare il volume di un cubo è molto semplice, dato che generalmente occorre eseguire questa semplice moltiplicazione: lunghezza × larghezza × altezza. Dato che i lati di un cubo sono tutti uguali, la formula per calcolarne il volume può essere la seguente l³, dove l rappresenta la misura di un singolo lato del solido. Prosegui nella lettura dell'articolo per scoprire come calcolare il volume di un cubo in diversi modi.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Conoscendo la Lunghezza di un Lato

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Individua la lunghezza del lato del cubo. Spesso i problemi di matematica che richiedono di calcolare il volume di un cubo forniscono la lunghezza di un lato. Se possiedi questa informazione, hai tutto quello che ti serve per eseguire i calcoli. Se non sei alle prese con un problema astratto di matematica o di geometria, ma stai cercando di calcolare il volume di un oggetto fisico reale, usa un righello o un metro per misurare la lunghezza di uno dei lati.
- Per comprendere meglio il processo da seguire per calcolare il volume di un cubo, nei passaggi di questa sezione, affronteremo un problema di esempio. Ipotizziamo di esaminare un cubo il cui lato misura 5 cm. Nei passaggi seguenti utilizzeremo questo dato per calcolarne il volume.
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Eleva al cubo la lunghezza del lato. Una volta individuato quanto misura un lato di un cubo, eleviamo al cubo tale valore. In altre parole moltiplichiamo questo numero per se stesso tre volte. Se l rappresenta la lunghezza del lato del cubo in esame, dovremo eseguire la seguente moltiplicazione: l × l × l (cioè l³). In questo modo otterremo proprio il volume del cubo in esame.
- Il processo è essenzialmente identico a quello per calcolare l'area della base del solido per poi moltiplicarla per la relativa altezza e, dato che l'area della base si calcola moltiplicando fra loro lunghezza e larghezza, in altre parole useremo la formula: lunghezza × larghezza × altezza. Sapendo che in un cubo lunghezza, larghezza e altezza sono uguali, possiamo semplificare i calcoli elevando semplicemente al cubo una di queste misure.
- Procediamo con il nostro esempio. Dato che la lunghezza di un lato del cubo è pari a 5 cm, possiamo calcolarne il volume eseguendo questo calcolo: 5 x 5 x 5 (cioè 5³) = 125.
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Esprimi il risultato finale con un'unità di misura cubica. Dato che il volume di un oggetto ne misura lo spazio tridimensionale occupato, l'unità di misura che esprime tale grandezza dovrà essere cubica. Spesso, non utilizzando le unità di misura corrette durante i test o le verifiche di matematica che si affrontano in ambito scolastico, si ottengono punteggi o voti inferiori, quindi è bene porre la massima attenzione su questo aspetto.
- Nel nostro esempio la misura iniziale del lato del cubo è espressa in cm, quindi il risultato finale che abbiamo ottenuto dovrà essere espresso in "centimetri cubi" (cioè cm³). Arrivati a questo punto, possiamo affermare che il volume del cubo studiato è pari a 125 cm³.
- Se avessimo utilizzato un'unità di misura iniziale differente, il risultato finale sarebbe cambiato. Ad esempio, se il cubo avesse avuto un lato di lunghezza pari a 5 metri, anziché 5 centimetri, avremmo ottenuto un risultato finale espresso in metri cubi (cioè m³).
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Conoscendo l'Area Superficiale

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Individua l'area superficiale del cubo. Anche se il modo più semplice per calcolare il volume di un cubo consiste nel conoscere la lunghezza di uno dei lati, esistono anche altri metodi per ottenere lo stesso risultato. La lunghezza di un lato del cubo o l'area di una sua faccia possono essere calcolati partendo da altre grandezze di questo solido. Questo significa che, conoscendo uno di questi due dati, è possibile calcolarne il volume usando delle formule inverse. Ad esempio, ipotizziamo di conoscere l'area superficiale di un cubo; partendo da tale dato tutto quello che dobbiamo fare per risalire al suo volume consiste nel dividerlo per 6 e calcolare la radice quadrata del risultato ottenendo così la lunghezza di un singolo lato. A questo punto, abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare il volume di un cubo in modo tradizionale. In questa sezione dell'articolo esamineremo passo dopo passo il processo descritto.
- L'area superficiale di un cubo si calcola tramite l'uso della formula 6l², dove l rappresenta la lunghezza di uno dei lati del cubo. Questa formula equivale a calcolare l'area superficiale di ognuna delle 6 facce del cubo e sommare tra loro i risultati ottenuti. Adesso possiamo utilizzare questa formula, o meglio le varie formule inverse, per calcolare il volume di un cubo partendo dalla sua area superficiale.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un cubo la cui area superficiale totale è pari a 50 cm², ma di cui non conosciamo la lunghezza dei lati. Nei prossimo passaggi di questa sezione illustreremo come usare questa informazione per ricavare il volume del cubo in esame.
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Iniziamo dividendo l'area superficiale per 6. Dato che un cubo è composto da 6 facce identiche fra loro, per ottenere l'area di una di esse basta semplicemente dividere l'area superficiale totale per 6. L'area di una faccia di un cubo si ottiene moltiplicando fra loro le lunghezze di due dei lati che la compongono (lunghezza × larghezza, larghezza × altezza o altezza × lunghezza).
- Nel nostro esempio divideremo l'area totale per il numero delle facce ottenendo 50/6 = 8,33 cm². Ricorda che per esprimere un'area bidimensionale si utilizzano sempre unità di misura quadrate (cm², m² e così via).
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Calcoliamo la radice quadrata del risultato ottenuto. Sapendo che l'area di una delle facce del cubo è uguale a l² (cioé l × l), calcolando la radice quadrata di tale valore si ottiene la lunghezza di un singolo lato. Una volta ricavato questo valore, abbiamo tutte le informazioni necessarie per risolvere il nostro problema nella maniera classica.
- Nel nostro esempio otterremo √8,33 = 2,89 cm.
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Eleva al cubo il risultato ottenuto. Adesso che sappiamo quanto misura un singolo lato del nostro cubo, per calcolarne il volume dovremo semplicemente elevare al cubo tale misura (cioè moltiplicarlo per se stesso tre volte), come mostrato nel dettaglio nella prima sezione dell'articolo. Congratulazioni, adesso sei in grado di calcolare il volume di un cubo partendo dalla sua area superficiale totale!
- Nel nostro esempio otterremo 2,89 × 2,89 × 2,89 = 24,14 cm³. Non dimenticare che i volumi sono grandezze tridimensionali, che vanno quindi espresse con unità di misura cubiche.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Conoscendo le Diagonali

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Dividi la lunghezza di una delle diagonali delle facce del cubo per √2, ottenendo così la misura di un singolo lato. Per definizione, la diagonale di un quadrato è calcolata come √2 × l, dove l rappresenta la lunghezza di un lato. Da qui possiamo dedurre che se l'unica informazione che hai a disposizione è la lunghezza di una diagonale di una faccia del cubo, è possibile risalire alla lunghezza di un singolo lato dividendo tale valore per √2. Ottenuta la misura di un lato del nostro solido, risulta molto semplice calcolarne il volume come descritto nella prima sezione dell'articolo.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un cubo la cui diagonale di una faccia misura 7 metri. Possiamo calcolare la lunghezza di un singolo lato dividendo la diagonale per √2 ottenendo 7/√2 = 4,96 metri. Adesso che conosciamo la misura di un lato del nostro cubo, possiamo facilmente calcolarne il volume come segue 4,96³ = 122,36 metri³.
- Nota: in termini generali vale la seguente equazione d² = 2l², dove d è la lunghezza della diagonale di una delle facce del cubo e l è la misura di uno dei lati. Questa formula è valida grazie al teorema di Pitagora, il quale afferma che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Dato che la diagonale non è altro che l'ipotenusa del triangolo formato dai due lati di una faccia del cubo e dalla diagonale stessa, possiamo affermare che d² = l² + l² = 2l².
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Anche conoscendo la diagonale interna di un cubo è possibile calcolarne il volume. Se l'unico dato a tua disposizione è la lunghezza della diagonale interna di un cubo, cioè il segmento che collega due angoli opposti del solido, è comunque possibile trovarne il volume. In questo caso, occorre calcolare la radice quadrata della diagonale interna e dividere il risultato ottenuto per 3. Dato che la diagonale di una delle facce, d, è uno dei cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa la diagonale interna del cubo, possiamo affermare che D² = 3l², dove D è la diagonale interna che unisce due angoli opposti del solido e l è il lato.
- Questo è vero sempre grazie al teorema di Pitagora. I segmenti D, d e l formano un triangolo rettangolo, dove D è l'ipotenusa; quindi, in base al teorema di Pitagora, possiamo affermare che D² = d² + l². Dato che nel passaggio precedente abbiamo affermato che d² = 2s², possiamo semplificare la formula di partenza in D² = 2l² + l² = 3l².
- Ad esempio, ipotizziamo che la diagonale interna di un cubo che collega uno degli angoli della base con il rispettivo angolo opposto della faccia superiore misuri 10 m. Se abbiamo la necessità di calcolarne il volume, dobbiamo sostituire il valore 10 alla variabile "D" dell'equazione descritta in precedenza, ottenendo:
  - D² = 3l².
  - 10² = 3l².
  - 100 = 3l²
  - 33,33 = l²
  - 5,77 m = l. Una volta ottenuta la lunghezza di un singolo lato del cubo in esame, possiamo usarla per risalire al volume elevandola al cubo.
  - 5,77³ = 192,45 m³
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