कैसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

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इस आर्टिकल में:

बेस और हाइट (आधार और ऊंचाई) का इस्तेमाल करना

साइड की लंबाई का इस्तेमाल करना

समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) की एक साइड का इस्तेमाल करना

त्रिकोणमिती (ट्रिग्नोमेट्री) इस्तेमाल करना

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स्रोत और उद्धरण

किसी भी त्रिभुज (ट्राएंगल) के बेस और उसकी हाइट को मल्टीप्लाय करके इसके रिजल्ट को 2 से डिवाइड करना, इसके इसका क्षेत्रफल या एरिया निकालने का सबसे आसान तरीका है। हालाँकि, त्रिभुज का एरिया निकालने के बहुत सारे और भी दूसरे फॉर्मूला मौजूद हैं, जो पूरी तरह से सामने दी हुई इन्फॉर्मेशन पर निर्भर करते हैं। त्रिभुज के साइड्स और एंगल का इस्तेमाल करके, इसकी हाइट जाने बिना भी त्रिभुज का एरिया कैलकुलेट किया जा सकता है। (Calculate the Area of a Triangle)

चरण

विधि 1

विधि 1 का 4:

बेस और हाइट (आधार और ऊंचाई) का इस्तेमाल करना

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   ट्राएंगल की बेस और हाइट (Base and Height) मालूम करें: ट्राएंगल का बेस, उसकी एक साइड ही होता है। ट्राएंगल के सबसे ऊंचे पॉइंट को ट्राएंगल की हाइट माना जाता है। इसे बेस से विपरीत वरटेक्स (vertex) के ऊपर एक परपेंडिकुलर (लम्बवत) लाइन खींचकर निकाला जाता है। ये इन्फॉर्मेशन आपको दी हुई होगी या फिर आप खुद से ही लंबाई निकाल सकेंगे।

   • उदाहरण के लिए, मान लीजिये कि आपको एक 5 cm बेस वाला और 3 cm लंबी हाइट वाला एक ट्राएंगल दिया गया हो।
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   ट्राएंगल के लिए एरिया का फॉर्मूला सेट अप करें: इसका फॉर्मूला ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$ है, जहाँ पर $b$ ट्राएंगल के बेस की लंबाई है और $h$ ट्राएंगल की हाइट है।
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   फॉर्मूला में बेस और हाइट डाल दें: दोनों वैल्यूज को एक-साथ मल्टीप्लाय कर दें और फिर उनके प्रोडक्ट को ${\frac {1}{2}}$ से मल्टीप्लाय कर दें। इससे आपको स्क्वेर यूनिट्स में ट्राएंगल का एरिया मिल जाएगा।

   • उदाहरण के लिए, अगर आपके ट्राएंगल का बेस 5 cm और हाइट 3 cm है, तो आप इसे ऐसे कैलकुलेट करेंगे:
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(15)$
     ${\text{Area}}=7.5$
     तो एक 5 cm बेस और 3 cm हाइट वाले ट्राएंगल का एरिया 7.5 स्क्वेर सेंटीमीटर्स होगा।
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   राइट ट्राएंगल (right triangle) या समकोण त्रिभुज का एरिया निकालें: अब जैसे कि इस तरह के ट्राएंगल में दो साइड्स एक दूसरे पर परपेंडिकुलर होती हैं, तो इसलिए इनमें से ही कोई एक साइड इस राइट ट्राएंगल की हाइट होगी। दूसरी साइड इसका बेस होगी। तो इसलिए अगर आपको हाइट और बेस नहीं भी दिये गए होंगे, तो अगर आपको साइड की लंबाई दी हुई हो, तो आप आराम से इन्हें पता कर लेंगे। फिर आप एरिया निकालने के लिए ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$ फॉर्मूला इस्तेमाल कर सकेंगे।

   • अगर आपको एक साइड की लंबाई दी हुई हो और साथ ही हाइपोटेनस (कर्ण) दिया हुआ हो, तब भी आप इस फॉर्मूला का इस्तेमाल कर सकते हैं। हाइपोटेनस किसी भी राइट ट्राएंगल की सबसे लंबी साइड होती है और ये राइट एंगल के विपरीत भी होती है। याद रखिए, कि आप पाइथागोरस प्रमेय ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$) का इस्तेमाल करके किसी भी न दी हुई साइड की लंबाई निकाल सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, अगर एक ट्राएंगल की हाइपोटेनस की साइड की लंबाई c है, और इसकी हाइट और बेस इसके और दूसरे साइड्स (a और b) हैं। अगर आपको मालूम है, कि हाइपोटेनस की लंबाई 5 cm है, और बेस है 4 cm, तो हाइट निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करें:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
     $a^{2}+16=25$
     $a^{2}+16-16=25-16$
     $a^{2}=9$
     $a=3$
     अब आप दो परपेंडिकुलर साइड्स (a और b) को फॉर्मूला में रख सकते हैं, बेस और हाइट रखने पर:
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
     ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(12)$
     ${\text{Area}}=6$

विधि 2

विधि 2 का 4:

साइड की लंबाई का इस्तेमाल करना

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   ट्राएंगल की सेमीपेरीमीटर (अर्धपरिधि) निकालें: किसी भी फिगर की सेमीपेरीमीटर (semiperimeter) उसकी पेरीमीटर (परिधि) का ठीक आधा हिस्सा होती है। सेमीपेरीमीटर निकालने के लिए, ट्राएंगल की तीनों साइड्स को जोड़कर पहले पेरीमीटर निकालें। फिर इसे ${\frac {1}{2}}$ से मल्टीप्लाय कर दें।

   • उदाहरण के लिए, अगर किसी ट्राएंगल की तीन साइड्स की लंबाई 5 cm, 4 cm, और 3 cm है, इसका सेमीपेरीमीटर ऐसा होगा:
     $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
     $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
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   हेरोन (Heron’s) के फॉर्मूला को सेट करें: ये फॉर्मूला ${\text{Area}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ है, जहाँ $s$ ट्राएंगल की सेमीपेरीमीटर है और $a$, $b$, और $c$ ट्राएंगल की साइड्स की लंबाई हैं।
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   इस फॉर्मूला में सेमीपेरीमीटर और साइड की लंबाई डाल दें: बस फॉर्मूला में हर बार $s$ आने पर आप सेमीपेरीमीटर की वैल्यू रखना न भूलें।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
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   ब्रैकेट्स (कोष्ठक) में मौजूद वैल्यू को कैलकुलेट करें: हर एक साइड की लंबाई को सेमीपेरीमीटर से घटा दें। फिर, इन तीनों वैल्यूज को मल्टीप्लाय कर लें।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(6)}}$
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   रेडिकल साइन (radical sign) के अंदर मौजूद दोनों वैल्यूज को मल्टीप्लाय कर दें: फिर उनका स्क्वेर रूट (Square Root) निकाल लें। इससे आपको स्क्वेर यूनिट्स में ट्राएंगल का एरिया मिल जाएगा।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(6)}}$
     ${\text{Area}}={\sqrt {36}}$
     ${\text{Area}}=6$
     तो ट्राएंगल का एरिया 6 स्क्वेर सेंटीमीटर्स होगा।

विधि 3

विधि 3 का 4:

समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) की एक साइड का इस्तेमाल करना

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   ट्राएंगल की एक साइड की लंबाई निकालें: एक समबाहु त्रिभुज में तीनों साइड्स की लंबाई एक समान होती है और तीनों एंगल के मान भी एक जैसे होते हैं, तो इसलिए अगर आपको किसी भी एक साइड की लंबाई मालूम होगी, तो आप सारे तीनों साइड्स की लंबाई जान लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, हो सकता है, कि आपके पास एक ऐसा ट्राएंगल हो, जिसकी एक साइड की लंबाई 6 cm है।
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   समबाहु त्रिभुज के लिए एरिया निकालने का फॉर्मूला सेट करना: इसका फॉर्मूला ${\text{Area}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ है, जहाँ $s$ समबाहु त्रिभुज के किसी एक साइड की लंबाई है।
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   साइड की लंबाई को फॉर्मूला में रखें: आपके द्वारा वेरिएबल $s$ की वैल्यू रखी जाने की और फिर वैल्यू को स्क्वेर करने की पुष्टि जरूर कर लें।

   • उदाहरण के लिए, अगर एक समबाहु त्रिभुज की साइड की लंबाई 6 cm है, तो आप इसे कुछ इस तरह से कैलकुलेट करेंगे:
     ${\text{Area}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Area}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Area}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
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   इस स्क्वेर को $$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} से मल्टीप्लाय कर दें: एकदम सही जवाब पाने के लिए, कैलकुलेटर के स्क्वेर रूट फंक्शन का इस्तेमाल करना बेहतर रहेगा। नहीं तो, आप ${\sqrt {3}}$ के लिए एक राउंड वैल्यू 1.732 का इस्तेमाल भी कर सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Area}}={\frac {62.352}{4}}$
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   इस प्रोडक्ट को 4 से डिवाइड कर दें: इससे आपको स्क्वेर यूनिट्स में ट्राएंगल का एरिया मिल जाएगा।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}={\frac {62.352}{4}}$
     ${\text{Area}}=15.588$
     तो 6 cm साइड्स की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज का एरिया 15.59 स्क्वेर सेंटीमीटर्स होगा।

विधि 4

विधि 4 का 4:

त्रिकोणमिती (ट्रिग्नोमेट्री) इस्तेमाल करना

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   दो आसन्न (adjacent) भुजाओं की लंबाई और शामिल कोण का मान निकालें: आसन्न भुजाएँ, किसी भी त्रिभुज की वो भुजाएँ होती हैं, जो वरटेक्स (vertex) को मिलती हैं। शामिल कोण, इन्हीं दोनों भुजाओं के बीच का कोण होता है।

   • उदाहरण के लिए, मान लीजिये कि आपके पास में एक ऐसा त्रिभुज है, जिसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के मान 150 cm और 231 cm है। इनके बीच का एंगल 123 डिग्रीज है।
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   त्रिभुज का एरिया निकालने के लिए, एक त्रिकोणमितीय फॉर्मूला तैयार करें: इसका फॉर्मूला ${\text{Area}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ है, जहाँ $b$ और $c$ त्रिभुज की आसन्न भुजाएँ हैं और $A$ इनके बीच का एंगल है।
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   फॉर्मूला में भुजाओं की लंबाई रखें: वेरिएबल्स $b$ और $c$ की वैल्यू रखना न भूलें। इनकी वैल्यूज को मल्टीप्लाय करें और फिर 2 से डिवाइड कर दें।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
     ${\text{Area}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
     ${\text{Area}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
     ${\text{Area}}=17,325\sin A$
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   फॉर्मूला में एंगल का साइन (sine) रखें: आप एंगल के साइन (sine) को कैलकुलेटर में एंगल का मान लिखकर और फिर कैलकुलेटर की “SIN” बटन दबाकर निकाल सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, 123-डिग्री एंगल के लिए साइन वैल्यू .83867 होगी, तो अब ये फॉर्मूला कुछ ऐसा नजर आएगा:
     ${\text{Area}}=17,325\sin A$
     ${\text{Area}}=17,325(.83867)$
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   दोनों वैल्यू को मल्टीप्लाय कर दें: इससे आपको स्क्वेर यूनिट्स में ट्राएंगल का एरिया मिल जाएगा।

   • उदाहरण के लिए:
     ${\text{Area}}=17,325(.83867)$
     ${\text{Area}}=14,529.96$.
     इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल लगभग 14,530 स्क्वेर सेंटीमीटर्स होगा।

सलाह

• अगर आपको अभी तक अच्छे से समझ नहीं आ पाया है, कि बेस-हाइट फॉर्मूला इस तरह से क्यों काम करता है, तो यहाँ पर इसके बारे में एक जानकारी मौजूद है। अगर आप एक दूसरा, ऐसा ही त्रिभुज बनाते हैं और दोनों कॉपी को एक-साथ फिट कर देते हैं, तो इससे या तो एक रेक्टेंगल (दो समकोण त्रिभुज) बनेगा या फिर एक पेरेलेलोग्राम (दो नॉन-राइट ट्राएंगल) बनेंगे। रेक्टेंगल या पेरेलेलोग्राम का एरिया निकालने के लिए, सीधे बेस को हाइट से मल्टीप्लाय कर दें। अब जैसे कि, ट्राएंगल रेक्टेंगल या पेरेलेलोग्राम का आधा है, इसलिए अब आप इसकी आधी बेस हाइट से भी हल निकाल सकते हैं।