Как найти площадь треугольника

Самый распространенный способ вычислить площадь треугольника — это разделить пополам результат перемножения высоты и основания. Но существуют и другие формулы для вычисления площади треугольника, которые применяются в зависимости от данных значений. Также можно найти площадь треугольника по известным сторонам и углам треугольника (то есть без использования высоты).

Метод 1

Метод 1 из 4:

По основанию и высоте

Загрузить PDF

1
Найдите основание и высоту треугольника. Основание — это одна из сторон треугольника. Высота — это перпендикуляр, проведенный к основанию из противолежащей вершины треугольника. Значения основания и высоты будут даны в задаче или нужно измерить их.
- Например, дан треугольник с основанием 5 см и высотой 3 см.
Формула: ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)$ , где $b$ — основание, $h$ — высота.^{[1]XИсточник информации} Обратите внимание: здесь и далее на рисунках площадь обозначена как $A$ , но в формулах используется $S$ .
3
Подставьте значения основания и высоты в формулу. Перемножьте эти значения, а затем разделите их на 2 (или умножьте на ${\frac {1}{2}}$ $How.com.vn Русский: {\frac {1}{2}}$ ). Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
- Например, если основание треугольника равно 5 см, а высота равна 3 см, то вычисления выглядят так:
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{S}}=7,5$
  Таким образом, площадь треугольника с основанием 5 см и высотой 3 см равна 7,5 квадратных сантиметров.
4
Найдите площадь прямоугольного треугольника. Так как две стороны (катеты) прямоугольного треугольника перпендикулярны, один из катетов является высотой, а второй — основанием. Таким образом, если значения основания и высоты в задаче не даны, можно определить их по длинам сторон треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)$ $How.com.vn Русский: {\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)$
- Также можно пользоваться этой формулой, если известен только один катет и гипотенуза. Гипотенуза — это сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. Помните, что неизвестную сторону прямоугольного треугольника можно найти по теореме Пифагора: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .
- Например, если обозначить гипотенузу как «с», то катеты обозначаются как «a» и «b». Если гипотенуза равна 5 см, а основание (один из катетов) равно 4 см, по теореме Пифагора можно найти высоту (другой катет):
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  Теперь в формулу для вычисления площади вместо b и h подставьте значения двух катетов (a и b):
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{S}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{S}}=6$
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

По сторонам

Загрузить PDF

1
Вычислите полупериметр треугольника. Полупериметр фигуры равен половине ее периметра. Чтобы найти полупериметр, сначала нужно вычислить периметр треугольника, то есть сложить значения трех сторон, а затем периметр разделить на 2 (или умножить на ${\frac {1}{2}}$ $How.com.vn Русский: {\frac {1}{2}}$ ).^{[2]XИсточник информации} Обратите внимание: здесь и далее на рисунках полупериметр обозначен как $s$ $How.com.vn Русский: s$ , но в формулах используется $p$ $How.com.vn Русский: p$ .
- Например, дан треугольник, стороны которого равны 5 см, 4 см и 3 см. Полупериметр вычисляется так:
  $p={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $p={\frac {1}{2}}(12)=6$
Формула: ${\text{S}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ , где $p$ — полупериметр, $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника.^{[3]XИсточник информации}
3
Подставьте значения полупериметра и сторон в формулу. Полупериметр подставляется вместо $p$ $How.com.vn Русский: p$ .
- В нашем примере:
  ${\text{S}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
  ${\text{S}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4
Вычислите выражения в скобках. Вычтите значение каждой стороны из значения полупериметра. Затем перемножьте полученные результаты.
- В нашем примере:
  ${\text{S}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{S}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{S}}={\sqrt {6(6)}}$
5
Перемножьте значения, стоящие под знаком корня. Затем из полученного результата извлеките квадратный корень. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
- В нашем примере:
  ${\text{S}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{S}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{S}}=6$
  Таким образом, площадь треугольника равна 6 квадратных сантиметров.
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

По одной из сторон равностороннего треугольника

Загрузить PDF

1
Найдите длину одной стороны треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны, поэтому достаточно знать значение только одной стороны.^{[4]XИсточник информации}
- Например, дан треугольник, все стороны которого равны 6 см.
Запишите формулу для вычисления площади равностороннего треугольника. Формула: ${\text{S}}=(a^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ , где $a$ — сторона равностороннего треугольника.^{[5]XИсточник информации}
3
В формулу подставьте значение стороны треугольника. Оно подставляется вместо $a$ $How.com.vn Русский: a$ . Затем возведите значение в квадрат.
- Например, если сторона равностороннего треугольника равна 6 см, вычисления запишутся так:
  ${\text{S}}=(a^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{S}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{S}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4
Умножьте квадрат стороны на ${\sqrt {3}}$ . Чтобы извлечь корень и получить точное значение, воспользуйтесь калькулятором. Если калькулятора нет, ${\sqrt {3}}$ $How.com.vn Русский: {\sqrt {3}}$ ≈ 1,732.
- В нашем примере:
  ${\text{S}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{S}}={\frac {62,352}{4}}$
5
Результат разделите на 4. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
- В нашем примере:
  ${\text{S}}={\frac {62,352}{4}}$
  ${\text{S}}=15,588$
  Таким образом, площадь равностороннего треугольника, стороны которого равны 6 см, приблизительно равна 15,59 квадратных сантиметров.
Реклама

Метод 4

Метод 4 из 4:

С помощью тригонометрических функций

Загрузить PDF

1
Найдите длины двух смежных сторон и прилежащий угол. Смежные стороны сходятся в одной вершине треугольника.^{[6]XИсточник информации} Прилежащий угол находится между смежными сторонами.
- Например, дан треугольник, смежные стороны которого равны 150 см и 231 см, а угол между ними равен 123 градуса.
Запишите формулу для вычисления площади треугольника с помощью тригонометрических функций. Формула: ${\text{S}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ , где $b$ и $c$ — смежные стороны, $A$ — угол между ними.^{[7]XИсточник информации}
3
В формулу подставьте значения сторон. Они подставляются вместо $b$ $How.com.vn Русский: b$ и $c$ $How.com.vn Русский: c$ . Перемножьте значения, а затем результат разделите на 2.
- В нашем примере:
  ${\text{S}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
  ${\text{S}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
  ${\text{S}}={\frac {(34650)}{2}}\sin A$
  ${\text{S}}=17325\sin A$
4
В формулу подставьте синус угла. Синус угла можно найти с помощью научного калькулятора: введите значение угла, а затем нажмите кнопку «Sin».
- Например, синус угла в 123 градусов равен 0,83867, поэтому формула запишется так:
  ${\text{S}}=17325\sin A$
  ${\text{S}}=17325(0,83867)$
5
Перемножьте два значения. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).
- В нашем примере:
  ${\text{S}}=17325(0,83867)$
  ${\text{S}}=14529,96$ .
  Таким образом, площадь треугольника приблизительно равна 14530 квадратных сантиметров.
Реклама

Советы

Сейчас мы поясним принцип работы формулы, в которой присутствуют основание и высота. Если нарисовать второй треугольник, идентичный данному, а затем соединить два треугольника, получится либо прямоугольник (в случае двух прямоугольных треугольников), либо параллелограмм (в случае двух непрямоугольных треугольников). Чтобы вычислить площадь прямоугольника или параллелограмма, просто умножьте основание на высоту. Поскольку треугольник является половиной прямоугольника или параллелограмма, нужно найти половину произведения высоты на основание.