Como Calcular a Área de um Triângulo

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Neste Artigo:

Usando a base e a altura

Usando os comprimentos das laterais

Usando um lado de um triângulo equilátero

Usando trigonometria

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Referências

A forma mais comum de calcular a área de um triângulo é multiplicando metade da sua base pela altura. No entanto, existem diversas outras fórmulas que podem ser usadas dependendo dos dados conhecidos. Usando informações sobre as laterais e ângulos de um triângulo, você pode calcular a área dele sem precisa saber o valor da altura.

Passos

Método 1

Método 1 de 4:

Usando a base e a altura

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   Calcule a base e altura do triângulo. A base é um dos lados do triângulo. A altura é a medida do ponto mais alto da figura - ela pode ser encontrada desenhando uma linha perpendicular a partir da base até o vértice oposto. Essa informação deverá ser fornecida; caso contrário, você deverá ser capaz de medi-la.

   • Por exemplo: imagine um triângulo com uma base de 5 cm e altura de 3 cm.
2. 
   2
   Monte a fórmula da área do triângulo. A fórmula é ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$, onde $b$ é o comprimento da base do triângulo, e $h$ é a altura do triângulo.
3. 
   3
   Substitua o valor da base e da altura na fórmula. Multiplique esses dois valores, e depois multiplique o resultado por ${\frac {1}{2}}$. O resultado vai ser a área do triângulo, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo, se o triângulo tiver 5 cm de base e 3 cm de altura, calcule:
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(15)$
     ${\text{Área}}=7,5$
     Portanto, a área de um triângulo com uma base de 5 cm e uma altura de 3 cm é de 7,5 cm².
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   Calcule a área de um triângulo retângulo. Como dois lados de um triângulo retângulo são perpendiculares, um deles vai ser a altura do triângulo enquanto o outro, vai ser a base. Sendo assim, mesmo que a altura ou base não sejam fornecidas, você pode saber o valor delas se souber os comprimentos das laterais. Dessa forma, é possível usar a fórmula ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$ para calcular a área.

   • Você também pode usar essa fórmula se souber o comprimento de uma lateral e o valor da hipotenusa. A hipotenusa é o lado mais comprido de um triângulo retângulo, e ela é oposta ao ângulo reto. Lembre-se que é possível encontrar o valor do lado ausente de um triângulo retângulo usando o Teorema de Pitágoras ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$).
   • Por exemplo, se a hipotenusa de um triângulo for o lado "c", a altura e base serão os outros dois lados ("a" e "b"). Caso você saiba que a hipotenusa mede 5 cm e a base, 4 cm, use o Teorema de Pitágoras para calcular a altura:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
     $a^{2}+16=25$
     $a^{2}+16-16=25-16$
     $a^{2}=9$
     $a=3$
     Agora, substitua os dois lados perpendiculares ("a" e "b") na fórmula da área pelo valor da base e da altura:
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
     ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(12)$
     ${\text{Área}}=6$
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Método 2

Método 2 de 4:

Usando os comprimentos das laterais

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   Calcule o semiperímetro do triângulo. O semiperímetro e uma figura que equivale à metade do perímetro. Para calculá-lo, primeiro é preciso calcular o perímetro de um triângulo somando a altura com suas três laterais. Em seguida, multiplique o resultado por ${\frac {1}{2}}$.

   • Por exemplo, se um triângulo tiver três lados que medem 5 cm, 4 cm e 3 cm, o semiperímetro pode ser calculado por:
     $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
     $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
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   2
   Monte o Teorema de Herão. O Teorema de Herão é ${\text{Área}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$, onde $s$ equivale ao semiperímetro do triângulo, e $a$, $b$ e $c$ são os comprimentos das laterais do triângulo.
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   Substitua o semiperímetro e os comprimentos das laterais na fórmula. Lembre-se de substituir o semiperímetro para cada ocorrência de $s$ na fórmula.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
     ${\text{Área}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4. 
   4
   Calcule os valores em parênteses. Subtraia o comprimento de cada lateral do valor do semiperímetro. Em seguida, multiplique esses três valores.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
     ${\text{Área}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
     ${\text{Área}}={\sqrt {6(6)}}$
5. 
   5
   Multiplique os dois números abaixo do sinal de radical. Em seguida, calcule o valor da raiz quadrada. O resultado vai ser a área do triângulo, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}={\sqrt {6(6)}}$
     ${\text{Área}}={\sqrt {36}}$
     ${\text{Área}}=6$
     Sendo assim, a área do triângulo é igual a 6 centímetros quadrados.
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Método 3

Método 3 de 4:

Usando um lado de um triângulo equilátero

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   Calcule o comprimento de um lado do triângulo. Um triângulo equilátero possui três lados e três ângulos de medidas iguais; portanto, se você sabe o comprimento de um lado, você sabe o comprimento de todos os lados.

   • Por exemplo: imagine um triângulo com três lados de 6 cm de comprimento.
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   Monte a fórmula da área de um triângulo equilátero. A fórmula é ${\text{Área}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$, onde $s$ equivale ao comprimento de um dos lados do triângulo equilátero.
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   Substitua o comprimento do lado na fórmula. Lembre-se de substituir a variável $s$, e depois elevar o valor ao quadrado.

   • Por exemplo, se o triângulo equilátero possui lados de 6 cm de comprimento, calcule:
     ${\text{Área}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Área}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Área}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
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   4
   Multiplique a raiz por $$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} . Para obter uma resposta mais precisa, use a função de raiz quadrada em uma calculadora. Caso contrário, use 1,732 como valor arredondado para ${\sqrt {3}}$.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Área}}={\frac {62,352}{4}}$
5. 
   5
   Divida o produto por 4. O resultado vai ser a área do triângulo, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}={\frac {62,352}{4}}$
     ${\text{Área}}=15,588$
     Portanto, a área de um triângulo equilátero com laterais de 6 cm de comprimento é de 15,59 centímetros quadrados.
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Método 4

Método 4 de 4:

Usando trigonometria

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   Calcule o comprimento dos dois lados adjacentes e do ângulo formado. Lados adjacentes são as duas laterais de um triângulo que se encontram um vértice. O ângulo formado é o ângulo entre os dois lados.

   • Por exemplo: imagine um triângulo com dois lados adjacentes medindo 150 cm e 231 cm de comprimento. O ângulo formado entre eles é de 123 graus.
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   2
   Monte a fórmula de trigonometria da área de um triângulo. A fórmula é ${\text{Área}}={\frac {bc}{2}}\operatorname {sen} A$, onde $b$ e $c$ são os lados adjacentes do triângulo, e $A$ é o ângulo formado entre eles.
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   3
   Substitua os comprimentos dos lados na fórmula. Lembre-se de substituir as variáveis $b$ e $c$. Multiplique esses valores e depois multiplique-os por 2.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}={\frac {bc}{2}}\operatorname {sen} A$
     ${\text{Área}}={\frac {(150)(231)}{2}}\operatorname {sen} A$
     ${\text{Área}}={\frac {(34,650)}{2}}\operatorname {sen} A$
     ${\text{Área}}=17,325\operatorname {sen} A$
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   Substitua o valor do seno do ângulo na fórmula. Encontre o seno usando uma calculadora científica digitando a medida do ângulo e pressionando o botão "SEN" (ou "SIN").

   • Por exemplo: o seno de um ângulo de 123graus é 0,83867, então a fórmula vai ficar da seguinte maneira:
     ${\text{Área}}=17,325\operatorname {sen} A$
     ${\text{Área}}=17,325(0,83867)$
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   5
   Multiplique esses dois valores. O resultado vai ser a área do triângulo, em centímetros quadrados.

   • Por exemplo:
     ${\text{Área}}=17,325(0,83867)$
     ${\text{Área}}=14.529,96$.
     Sendo assim, a área do triângulo é de 14.530 centímetros quadrados.
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Dicas

• Caso não tenha certeza do porquê de a fórmula da base/altura funcionar desta forma, aqui está uma explicação rápida: ao criar um segundo triângulo idêntico ao primeiro, e juntá-los, é possível formar um retângulo (dois triângulos retângulos) ou um paralelogramo (dois triângulos não retângulos). Para calcular a área de um retângulo ou paralelogramo, basta multiplicar a base pela altura. Como o triângulo equivale à metade do retângulo ou paralelogramo, então é preciso calcular metade da base pela altura.

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