Come Calcolare l'Area di un Triangolo

Il metodo più utilizzato per calcolare l'area di un triangolo consiste nel moltiplicare metà della lunghezza della base per la relativa altezza. Esistono tuttavia numerose altre formule che possono servire allo stesso scopo, il cui utilizzo dipende dalle informazioni in nostro possesso. Conoscendo la misura dei lati e degli angoli di un triangolo è possibile calcolarne l'area senza conoscerne l'altezza.

Metodo 1

Metodo 1 di 4:

Utilizzare Base e Altezza

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Individua la base e l'altezza del triangolo in esame. La base è rappresentata da uno dei lati che compongono la figura. L'altezza è rappresentata dalla distanza fra la base e il punto più alto del triangolo. Normalmente, la base è il lato inferiore su cui poggia il triangolo, quindi l'altezza è data dalla retta perpendicolare a essa, che arriva al vertice opposto. Nel caso di un problema di geometria, tutti questi dati dovrebbero essere già noti, mentre nel caso di un problema reale dovrebbe essere essere possibile misurarli fisicamente.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un triangolo con base lunga 5 cm e altezza pari a 3 cm.
La formula da usare è ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(b\times h)$ , dove $b$ rappresenta la lunghezza della base del triangolo e $h$ la relativa altezza.^{[1]XFonte di ricerca}
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Sostituisci i valori di base e altezza all'interno della formula. Moltiplica fra loro le due misure, quindi moltiplica il risultato ottenuto per il coefficiente ${\frac {1}{2}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {1}{2}}$ . In questo modo, otterrai come risultato l'area del triangolo in esame espressa in unità di misura quadrate (nel nostro esempio ${\text{cm}}^{2}$ $How.com.vn Italiano: {\text{cm}}^{{2}}$ ).
- Nel nostro esempio, la base del triangolo in esame è pari a 5 cm e l'altezza è di 3 cm, quindi l'area sarà pari a:
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(b\times h)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(5\times 3)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{Area}}=7,5$
  Riassumendo, l'area di un triangolo con base lunga 5 cm e altezza pari a 3 cm è uguale a 7,5 ${\text{cm}}^{2}$ .
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Calcola l'area di un triangolo rettangolo. Dato che la caratteristica di un triangolo rettangolo è quella di avere un angolo retto, cioè di 90°, è possibile dedurre che due lati sono perpendicolari fra loro e uno di questi rappresenta l'altezza della figura mentre l'altro è la base. Partendo da questo concetto, si evince che anche se la base e/o l'altezza non vengono espressamente dichiarate nel testo del problema, conoscendo la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo, le avrai comunque a disposizione. È quindi possibile calcolarne l'area usando la formula classica ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(b\times h)$ $How.com.vn Italiano: {\text{Area}}={\frac {1}{2}}(b\times h)$ .
- Si può usare questa formula anche quando si conosce la misura di uno dei cateti e quella dell'ipotenusa. Quest'ultima rappresenta il lato più lungo di un triangolo rettangolo, per l'esattezza quello opposto all'angolo retto. Ricorda che è possibile calcolare la misura di uno dei cateti di un triangolo rettangolo utilizzando il Teorema di Pitagora ( $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ).
- Ad esempio, ipotizzando che $c$ rappresenti l'ipotenusa del triangolo in esame, la base e l'altezza sono rappresentate dai lati $a$ e $b$ . Se sappiamo che l'ipotenusa misura 5 cm e che la base è lunga 4 cm, è possibile usare il Teorema di Pitagora per ricavare l'altezza:
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  A questo punto, si possono utilizzare le misure dei due lati perpendicolari fra loro ( $a$ e $b$ ) all'interno della formula classica per il calcolo dell'area di un triangolo, sostituendole alle variabili che rappresentano la base e l'altezza:
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(b\times h)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(4\times 3)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{Area}}=6{\text{ cm}}^{2}$
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Metodo 2

Metodo 2 di 4:

Utilizzare la Misura dei Lati

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Calcola il semiperimetro del triangolo in esame. Si tratta della metà del perimetro totale della figura. Per calcolare il semiperimetro occorre prima individuare il perimetro, sommando la lunghezza di ciascuno dei tre lati, per poi moltiplicare il risultato ottenuto per il coefficiente ${\frac {1}{2}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {1}{2}}$ .^{[2]XFonte di ricerca}
- Ad esempio, ipotizzando di studiare un triangolo avente i lati lunghi 5, 4 e 3 cm, il relativo semiperimetro sarà pari a:
  $p={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $p={\frac {1}{2}}(12)=6{\text{ cm}}$
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Imposta la formula di Erone. La formula da usare è la seguente ${\text{Area}}={\sqrt {p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}}$ , dove $p$ rappresenta il semiperimetro del triangolo in esame, mentre $a$ , $b$ e $c$ rappresentano i tre lati che lo compongono.^{[3]XFonte di ricerca}
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Sostituisci la misura del semiperimetro e dei tre lati all'interno della formula di Erone. Assicurati di sostituire il valore del semiperimetro con la variabile $p$ $How.com.vn Italiano: p$ della formula.
- Nel nostro esempio, otterremo:
  ${\text{Area}}={\sqrt {p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6\times (6-3)\times (6-4)\times (6-5)}}$
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Esegui per primi i calcoli presenti all'interno delle parentesi tonde. Sottrai la lunghezza di ciascun lato del triangolo dal valore del semiperimetro, quindi moltiplica fra loro i tre risultati parziali ottenuti.
- Nel nostro esempio, avremo:
  ${\text{Area}}={\sqrt {6\times (6-3)\times (6-4)\times (6-5)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6\times (3)\times (2)\times (1)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6\times (6)}}$
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Moltiplica i due valori presenti all'interno del simbolo di radice. A questo punto calcola la radice quadrata del risultato ottenuto. In questo modo otterrai il valore dell'area del triangolo in esame espresso in unità di misura quadrate.
- Nel nostro esempio, otterremo:
  ${\text{Area}}={\sqrt {6\times (6)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{Area}}=6{\text{ cm}}^{2}$
  Possiamo quindi affermare che l'area del triangolo studiato è pari a 6 $cm^{2}$ .
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Metodo 3

Metodo 3 di 4:

Utilizzare la Misura di un Lato di un Triangolo Equilatero

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Individua la lunghezza di uno dei lati del triangolo. Un triangolo si definisce equilatero quando presenta tutti e tre i lati uguali fra loro (in questo caso anche i relativi angoli saranno tutti uguali). Se ne deduce che, conoscendo la misura di un singolo lato del triangolo, si può disporre automaticamente anche della misura degli altri due.^{[4]XFonte di ricerca}
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un triangolo equilatero i cui lati misurano 6 cm.
La formula è la seguente: ${\text{Area}}=(l^{2})\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}$ , dove $l$ rappresenta la lunghezza di uno dei lati del triangolo.^{[5]XFonte di ricerca}
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Sostituisci la lunghezza del lato all'interno della formula data. Assicurati di sostituire il valore noto con la variabile $l$ $How.com.vn Italiano: l$ per poi elevarlo al quadrato.
- Ad esempio, se il triangolo equilatero in esame ha i lati lunghi 6 cm, otterremo:
  ${\text{Area}}=(l^{2})\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}=(6^{2})\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}=(36)\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}$
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Calcola il prodotto del quadrato della lunghezza del lato per la ${\sqrt {3}}$ . In questo caso è meglio utilizzare una calcolatrice per ottenere un risultato preciso. In alternativa, puoi sostituire la ${\sqrt {3}}$ $How.com.vn Italiano: {\sqrt {3}}$ con il valore arrotondato 1,732.
- Nel nostro esempio otterremo:
  ${\text{Area}}=(36)\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}={\frac {62,352}{4}}$
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Procedi a dividere il prodotto ottenuto per 4. In questo modo otterrai il valore dell'area del triangolo equilatero in esame espressa in unità di misura quadrate.
- Nel nostro esempio otterremo:
  ${\text{Area}}={\frac {62,352}{4}}$
  ${\text{Area}}=15,588$
  L'area di un triangolo equilatero avente i lati che misurano 6 cm di lunghezza è quindi pari a circa 15,59 $cm^{2}$ .
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Metodo 4

Metodo 4 di 4:

Usare la Trigonometria

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Individua la misura di due lati adiacenti del triangolo e dell'angolo tra essi compreso. Per lati adiacenti di un triangolo si intendono i due lati che convergono in un vertice.^{[6]XFonte di ricerca} Per "angolo compreso" si intende l'angolo che si crea dall'incontro dei due lati presi in esame.
- Ad esempio, ipotizziamo di avere un triangolo con due lati adiacenti lunghi rispettivamente 150 e 231 cm, che formano un angolo di 123°.
La formula è la seguente: ${\text{Area}}={\frac {b\times c}{2}}\times \sin A$ , dove $b$ e $c$ sono i due lati adiacenti del triangolo e $A$ è l'angolo compreso.^{[7]XFonte di ricerca}
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Sostituisci le misure dei due lati all'interno della formula. Assicurati di sostituire le variabili $b$ $How.com.vn Italiano: b$ e $c$ $How.com.vn Italiano: c$ . Moltiplica i rispettivi valori fra loro, quindi dividi il risultato ottenuto per 2.
- Nel nostro esempio, otterremo:
  ${\text{Area}}={\frac {b\times c}{2}}\times \sin A$
  ${\text{Area}}={\frac {150\times 231}{2}}\times \sin A$
  ${\text{Area}}={\frac {(34,650)}{2}}\times \sin A$
  ${\text{Area}}=17.325\times \sin A$
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A questo punto, sostituisci il valore del seno dell'angolo all'interno della formula. Puoi calcolarlo utilizzando la funzione "SIN" di una qualunque calcolatrice scientifica. Per farlo, digita l'ampiezza dell'angolo in esame, espressa in gradi, quindi premi il pulsante "SIN".
- Nel nostro esempio, il seno di un angolo di 123° è pari a 0,83867, quindi la formula finale sarà la seguente:
  ${\text{Area}}=17.325\times \sin A$
  ${\text{Area}}=17.325\times 0,83867$
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Esegui il calcolo finale moltiplicando i due valori ottenuti. In questo modo ricaverai l'area del triangolo in esame espressa in unità di misura quadrate.
- Nel nostro esempio avremo:
  ${\text{Area}}=17.325\times 0,83867$
  ${\text{Area}}=14.529,96$
  Quindi l'area del triangolo in esame è pari a circa 14.530 $cm^{2}$ .
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Consigli

Se non sei sicuro di aver capito perché la formula per il calcolo dell'area di un triangolo, tramite l'utilizzo della relativa base e altezza, è corretta, di seguito trovi una dimostrazione rapida. Se disegni un secondo triangolo, uguale al primo, e li unisci lungo l'ipotenusa, otterrai un rettangolo (nel caso di triangoli rettangoli) o un parallelogramma (nel caso di triangoli non rettangoli). Per calcolare l'area di un rettangolo o di un parallelogramma, occorre semplicemente moltiplicare la base per l'altezza. Da questo si deduce che per calcolare l'area di un triangolo, che corrisponde esattamente alla metà di quella di un rettangolo o di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza, occorre semplicemente dividere a metà il prodotto della base per l'altezza.