Die Fläche eines Dreieckes berechnen

PDF herunterladen

PDF herunterladen

In diesem Artikel:

Die Grundseite und Höhe verwenden

Die Seitenlängen verwenden

Eine Seite von einem gleichseitigem Dreieck verwenden

Trigonometrie verwenden

Mehr 1 zeigen...

Weniger zeigen...

Verwandte Artikel

Literaturhinweise

Zusammenfassung

Die geläufigste Art, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, ist, die Hälfte der Grundseite mit der Höhe zu multiplizieren. Es gibt aber auch zahlreiche andere Formeln, um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, je nachdem, welche Werte du kennst. Es ist möglich, die Fläche auch ohne die Höhe zu berechnen, wenn du die Werte der Seiten und Winkel des Dreiecks kennst.

Vorgehensweise

Methode 1

Methode 1 von 4:

Die Grundseite und Höhe verwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Finde die Grundseite und die Höhe des Dreiecks. Die Grundseite oder Basis ist eine Seite des Dreiecks. Die Höhe ist eine Messung des höchsten Punktes des Dreiecks. Du kannst sie finden, indem du eine senkrechte Linie von der Basis zum gegenüberliegenden Eckpunkt ziehst. Diese Werte sollten dir angegeben werden oder du solltest in der Lage sein, die Längen zu messen.

   • Zum Beispiel: Du hast ein Dreieck mit einer Grundseite, die 5 cm lang ist und einer Höhe von 3 cm.
2. 
   2
   Erstelle die Formel für die Fläche des Dreiecks. Die Formel lautet ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(bh)$, wobei $b$ die Länge der Grundseite ist und $h$ die Höhe des Dreiecks.
3. 
   3
   Setze die Basis und Höhe in die Formel ein. Multipliziere die zwei Werte miteinander und multipliziere ihr Produkt dann mit ${\frac {1}{2}}$. Dadurch bekommst du die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

   • Wenn die Grundseite deines Dreiecks zum Beispiel 5 cm misst und die Höhe 3 cm, dann würdest du rechnen:
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(15)$
     ${\text{Flaeche}}=7.5$
     Also beträgt die Fläche eines Dreiecks mit einer Grundseite von 5 cm und einer Höhe von 3 cm: 7,5 Quadratzentimeter.
4. 4
   Berechne die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Da die zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks rechtwinklig aufeinander stehen, ist eine der beiden rechtwinkligen Seiten die Höhe des Dreiecks. Die andere Seite ist die Grundseite. Deshalb weißt du die Höhe und/oder Grundseite, selbst wenn sie dir nicht angegeben werden – solange du die Seitenlängen weißt. Deshalb kannst du die Formel ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(bh)$ anwenden, um die Fläche zu berechnen.

   • Du kannst diese Formel auch anwenden, wenn du eine Seitenlänge kennst, plus die Länge der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Denke daran, dass du eine fehlende Seitenlänge finden kannst, indem du den Satz des Pythagoras ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$) anwendest.
   • Zum Beispiel: Wenn die Hypotenuse des Dreiecks Seite c ist, wären die Höhe und die Grundlinie die anderen zwei Seiten (a und b). Wenn du weißt, dass die Hypotenuse 5 cm beträgt und die Grundlinie 4 cm, dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die Höhe herauszufinden:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
     $a^{2}+16=25$
     $a^{2}+16-16=25-16$
     $a^{2}=9$
     $a=3$
     Jetzt kannst du die zwei rechtwinkligen Seiten in die Flächenformel einsetzen und diese statt der Grundseite und der Höhe verwenden:
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {1}{2}}(12)$
     ${\text{Flaeche}}=6$
   Werbeanzeige

Methode 2

Methode 2 von 4:

Die Seitenlängen verwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Berechne den halben Umfang des Dreiecks. Um diesen zu bekommen, berechnest du zuerst den Umfang des Dreiecks, indem du die Längen der drei Seiten addierst. Multipliziere das dann mit ${\frac {1}{2}}$.

   • Wenn das Dreieck zum Beispiel drei Seiten hat, die 5 cm, 4 cm und 3 cm lang sind, dann wird der halbe Umfang so berechnet:
     $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
     $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
2. 2
   Wende den Satz des Heron an. Die Formel lautet ${\text{Flaeche}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$, wobei $s$ der halbe Umfang des Dreiecks ist und $a$, $b$ und $c$ die Seitenlängen des Dreiecks sind.
3. 
   3
   Setze den halben Umfang und die Seitenlängen in die Formel ein. Stelle sicher, dass du für jedes $s$ in der Formel den halben Umfang einsetzt.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4. 
   4
   Berechne die Werte in Klammern. Subtrahiere die Länge jeder Seite vom halben Umfang. Multipliziere die Ergebnisse dann miteinander.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {6(6)}}$
5. 
   5
   Multipliziere die zwei Werte unter einem Wurzelzeichen. Finde dann ihre Quadratwurzel heraus. Dadurch bekommst du die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {6(6)}}$
     ${\text{Flaeche}}={\sqrt {36}}$
     ${\text{Flaeche}}=6$
     Also beträgt die Fläche des Dreiecks 6 Quadratzentimeter.
   Werbeanzeige

Methode 3

Methode 3 von 4:

Eine Seite von einem gleichseitigem Dreieck verwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Finde die Länge von einer Seite des Dreiecks heraus. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleichlange Seiten und drei gleiche Winkel. Wenn du also die Länge einer Seite kennst, kennst du die Länge aller drei Seiten.

   • Zum Beispiel hast du vielleicht ein Dreieck mit drei Seiten, die jeweils 6 cm lang sind.
2. 
   2
   Erstelle die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks. Die Formel lautet ${\text{Flaeche}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$, wobei $s$ die Länge einer Seite des gleichseitigen Dreiecks ist.
3. 3
   Setze die Seitenlängen in die Formel ein. Stelle sicher, dass du die Variable $s$ ersetzt und nimm den Wert dann zum Quadrat.

   • Wenn das gleichseitige Dreieck zum Beispiel 6 cm lange Seiten hat, dann würdest du berechnen:
     ${\text{Flaeche}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Flaeche}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Flaeche}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4. 
   4
   Multipliziere das Quadrat mit $$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} . Am besten verwendest du die Wurzelfunktion auf deinem Taschenrechner, um ein genaueres Ergebnis zu bekommen. Ansonsten kannst du 1,732 als den aufgerundeten Wert von ${\sqrt {3}}$ verwenden .

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {62,352}{4}}$
5. 
   5
   Dividiere das Produkt durch 4. Dadurch bekommst du die Fläche des Dreiecks.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}={\frac {62,352}{4}}$
     ${\text{Flaeche}}=15,588$
     Also beträgt die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit 6 cm langen Seiten zirka 15,59 Quadratzentimeter.
   Werbeanzeige

Methode 4

Methode 4 von 4:

Trigonometrie verwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Finde die Länge von zwei angrenzenden Seiten und den eingeschlossenen Winkel. Angrenzende Seiten sind zwei Seiten eines Dreiecks, die sich an einem Eckpunkt treffen. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel zwischen diesen beiden Seiten.

   • Zum Beispiel hast du vielleicht ein Dreieck mit zwei angrenzenden Seiten, die 150 cm und 231 Zentimeter Länge haben. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 123 Grad.
2. 
   2
   Erstelle die Trigonometrieformel für die Fläche eines Dreiecks. Die Formel lautet ${\text{Flaeche}}={\frac {bc}{2}}\sin A$, wobei $b$ und $c$ die angrenzenden Seiten des Dreiecks sind und $A$ der Winkel dazwischen.
3. 3
   Setze die Seitenlängen in die Formel ein. Stelle sicher, dass du die Variablen $b$ und $c$ ersetzt. Multipliziere ihre Werte und teile das dann durch zwei.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
     ${\text{Flaeche}}={\frac {(34.650)}{2}}\sin A$
     ${\text{Flaeche}}=17.325\sin A$
4. 4
   Setze den Sinus des Winkels in die Formel ein. Du kannst den Sinus mit einem mathematischen Taschenrechner finden, indem du das Winkelmaß eingibst und dann auf die “SIN”- Taste drückst.

   • Zum Beispiel: Der Sinus eines 123-Grad-Winkels beträgt 0,83867, weshalb die Formel so aussehen würde:
     ${\text{Flaeche}}=17.325\sin A$
     ${\text{Flaeche}}=17.325(0,83867)$
5. 5
   Multipliziere die zwei Werte miteinander. Dadurch bekommst die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

   • Zum Beispiel:
     ${\text{Flaeche}}=17.325(0,83867)$
     ${\text{Flaeche}}=14.529,96$.
     Die Fläche des Dreiecks beträgt also zirka 14.530 Quadratzentimeter.
   Werbeanzeige

Tipps

• Wenn du nicht ganz sicher bist, warum die Basis-Höhen-Formel so funktioniert, hier ist eine schnelle Erklärung: Wenn du ein zweites, identisches Dreieck zeichnest und die zwei Kopien aneinanderlegst, dann kommt entweder ein Rechteck (zwei rechtwinklige Dreiecke) oder ein Parallelogramm (zwei nicht-rechtwinklige Dreiecke). Um die Fläche eines Rechtecks oder Parallelogramms zu finden, multiplizierst du einfach Länge mal Höhe. Da ein Dreieck die Hälfte eines Rechtecks oder Parallelogramms ist, musst du deshalb die Hälfte der Grundseite mal der Höhe nehmen.

Werbeanzeige