삼각형의 넓이 구하는 법

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밑변과 높이 이용하기

삼각형의 변의 길이 이용하기

정삼각형의 한 변의 길이 사용하기

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흔히 삼각형의 넓이는 밑변에 높이를 곱해 2로 나눠서 구한다. 물론 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있으나 이는 결국 문제에서 주어지는 정보에 따라 달라진다. 삼각형의 변의 길이와 각도만 주어졌거나, 심지어 높이를 모른다 하더라도 충분히 넓이를 구할 수 있다.

단계

방법 1

방법 1 의 4:

밑변과 높이 이용하기

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   삼각형의 밑변과 높이 찾기. 밑변은 삼각형의 한 변의 길이와 같다. 높이는 밑변에서 마주보는 꼭짓점까지 수직인 선을 그었을 때 그 선분의 길이를 뜻한다. 정보는 주어졌을테니 그 길이를 자로 측정하면 될 것이다.

   • 예를 들어 밑변의 길이가 5cm이고 높이가 3cm인 삼각형이 있다고 가정해보자.
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   삼각형 넓이 공식 쓰기. 공식은 ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(bh)$이다. $b$는 삼각형 밑변의 길이이며 $h$는 삼각형의 높이이다.
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   밑변과 높이를 공식에 대입하기. 두 값을 곱한 뒤에 ${\frac {1}{2}}$를 다시 곱하자. 그러면 삼각형의 넓이가 제곱 단위로 나올 것이다.

   • 예를 들어 삼각형의 밑변이 5cm이고 높이가 3cm이면 다음과 같이 계산이 가능할 것이다:
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(15)$
     ${\text{넓 이}}=7.5$
     즉, 밑변이 5cm, 높이가 3cm인 삼각형의 넓이는 7.5제곱 센티미터가 된다.
4. 
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   직각 삼각형의 넓이 구하기. 직각 삼각형의 두 변은 직각을 이루고 있기 때문에 한 변이 높이가 된다. 당연히 다른 한 변은 밑변이 될 것이다. 따라서 높이가 주어지지 않아도 밑변과 직각을 이룬 변을 높이로 계산하면 될 것이다. 그러면 다음 공식을 이용할 수 있다. ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(bh)$ 남은 일은 값을 대입해 넓이를 구하는 것이다.

   • 한 변의 길이와 빗변의 길이를 알 때도 이 공식을 이용할 수 있다. 빗변은 직각 삼각형에서 직각을 마주보고 있는 가장 긴 변을 의미한다. 이제 한 변과 빗변을 이용해 높이(또는 밑변)를 피타고라스의 정리를 사용해 구할 수 있다. ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$).
   • 예를 들어 삼각형의 빗변을 c라고 한 뒤 밑변과 높이를 각각 a와 b로 놓도록 하자. 빗변이 5cm, 밑변이 4cm로 주어졌다면 다음과 같이 피타고라스 정리를 사용해 높이를 구해볼 수 있다:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
     $a^{2}+16=25$
     $a^{2}+16-16=25-16$
     $a^{2}=9$
     $a=3$
     이제 직각을 이루는 a와 b를 넓이 공식의 밑변과 높이에 넣어 계산하면 된다:
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
     ${\text{넓 이}}={\frac {1}{2}}(12)$
     ${\text{넓 이}}=6$
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방법 2

방법 2 의 4:

삼각형의 변의 길이 이용하기

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   삼각형의 반둘레 이용하기. 삼각형의 반둘레란 둘레 길이를 절반으로 나눈 것을 의미한다. 반둘레를 찾기 위해서는 삼각형의 세 변의 길이를 모두 더한 뒤 ${\frac {1}{2}}$를 곱하면 된다.

   • 예를 들어 삼각형의 세 변이 각각 5 cm, 4 cm, 3 cm로 주어졌다고 가정해보자. 그러면 반둘레는 다음처럼 계산할 수 있을 것이다:
     $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
     $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
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   헤론의 공식 쓰기. 다음을 헤론의 공식으로 부른다. ${\text{넓 이}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$. 여기서 $s$는 삼각형의 반둘레이며 $a$, $b$, $c$는 삼각형의 세 변의 길이가 된다.
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   반둘레와 세 변의 길이를 공식에 대입하기. 반둘레를 공식의 $s$에 대입하면 된다.

   • 예시를 따라가면서 계산해보자:
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
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   괄호 안의 값 계산하기. 반둘레에서 각 변의 길이를 뺀 뒤에 모두 곱하도록 하자.

   • 다음을 보자:
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {6(6)}}$
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   루트 안의 값 계산하기. 그리고 제곱근(루트) 값을 계산하면 삼각형의 넓이가 나온다.

   • 다음을 보자:
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {6(6)}}$
     ${\text{넓 이}}={\sqrt {36}}$
     ${\text{넓 이}}=6$
     즉, 삼각형의 넓이는 6제곱 센티미터이다.
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방법 3

방법 3 의 4:

정삼각형의 한 변의 길이 사용하기

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   삼각형의 한 변의 길이 찾기. 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으며 각도 역시 똑같다. 따라서 한 변의 길이를 알면 모든 변의 길이를 아는 것과 같다.

   • 예를 들어 세 변의 길이가 6cm로 동일한 정삼각형이 있다고 가정해보자.
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   정삼각형의 넓이 공식 쓰기. 공식은 다음과 같다. ${\text{넓 이}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$. 여기서 $s$는 정삼각형의 한 변의 길이가 된다.
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   한 변의 길이를 공식에 대입하기. $s$에 한 변의 길이를 대입하고 제곱하도록 하자.

   • 정삼각형 한 변의 길이가 6 cm라면 다음처럼 계산이 진행될 것이다:
     ${\text{넓 이}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{넓 이}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{넓 이}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
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   제곱값에 $$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 곱하기. 제곱근의 값은 계산기로 구해야 더 정확하다. 아니면 ${\sqrt {3}}$의 근삿값인 1.732를 대신 써도 된다.

   • 나머지 계산을 하자:
     ${\text{넓 이}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{넓 이}}={\frac {62.352}{4}}$
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   계산값을 4로 나누기. 그러면 삼각형의 넓이가 제곱 단위로 나온다.

   • 
     ${\text{넓 이}}={\frac {62.352}{4}}$
     ${\text{넓 이}}=15.588$
     따라서 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형의 넓이는 15.58 제곱 센티미터이다.
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방법 4

방법 4 의 4:

삼각법 이용하기

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   두 변과 사이각 구하기. 두 변과 그 사이각을 구하도록 하자. 두 변의 사이각은 두 변이 만나 이루는 각을 의미한다.

   • 예를 들어 인접한 두 변이 각각 150cm, 231cm이고 사이각이 123도인 삼각형이 있다고 가정해보자.
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   삼각형 넓이를 구하는 삼각함수 공식 쓰기. 이 공식은 ${\text{넓 이}}={\frac {bc}{2}}\sin A$로 쓸 수 있으며, $b$와 $c$는 인접한 두 변이고 $A$는 두 변의 사이각이다.
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   공식에 두 변의 길이 대입하기. $b$와 $c$에 값을 대입한 뒤에 서로 곱하고 2로 나누면 된다.

   • 다음을 보자:
     ${\text{넓 이}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
     ${\text{넓 이}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
     ${\text{넓 이}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
     ${\text{넓 이}}=17,325\sin A$
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   사이각의 사인값을 공식에 대입하기. 계산기의 "사인" 버튼을 누르면 정확한 값을 계산할 수 있다.

   • 예를 들어 123도의 사인값은 .83867이다. 따라서 이를 공식에 대입하면 다음처럼 된다:
     ${\text{넓 이}}=17,325\sin A$
     ${\text{넓 이}}=17,325(.83867)$
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   두 값 곱하기. 그러면 삼각형의 넓이가 제곱 단위로 나온다.

   • 다음을 보자:
     ${\text{넓 이}}=17,325(.83867)$
     ${\text{넓 이}}=14,529.96$.
     따라서 삼각형의 넓이는 대략 14,530 제곱 센티미터가 된다.
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팁

• 만약 삼각형의 밑변-높이 공식의 원이가 정확히 이해가 가지 않는다면 이렇게 생각해보도록 하자. 주어진 삼각형과 상동인 삼각형을 하나 더 만들어 그렸다고 생각해보자. 그리고 두 삼각형을 합쳐서 직사각형(두 직각 삼각형을 합친 경우) 또는 사다리꼴(직각이 아닌 두 삼각형을 합친 경우)을 만들어보자. 이 도형은 밑변에 높이를 곱하면 넓이를 구할 수 있다. 그런데 우리는 삼각형 두 개를 합쳐서 직사각형과 사다리꼴을 만들어 넓이를 구했으므로 그 넓이의 절반을 구해야 삼각형의 넓이가 나오게 된다.

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