Bir Üçgenin Alanı Nasıl Hesaplanır?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Taban ve Yüksekliği Kullanmak

Kenar Uzunluklarını Kullanmak

Bir Eşkenar Üçgenin Bir Kenarını Kullanmak

Trigonometriyi Kullanmak

1 tane daha göster...

Daha az göster...

İlgili Makaleler

Referanslar

Bir üçgenin alanını bulmanın en genel yolu tabanın yarısı çarpı yüksekliktir. Başka formüller mevcut olsa da bir üçgenin alanını bulmak, elinde hangi bilgilerin olduğuna bağlıdır. Bir üçgenin kenar ve açı bilgilerini kullanarak yükseklik olmadan da alan hesabı yapmak mümkündür.

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 4:

Taban ve Yüksekliği Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üçgenin tabanını ve yüksekliğini bul. Taban, üçgenin bir kenarıdır. Yükseklik, üçgenin en yüksek noktasının uzunluğudur. Üçgenin yüksekliğini bulmak için tabandan tepe noktasına bir dik çizilir. Bu bilgi sana verilmeli veya uzunlukları ölçebilmelisin.

   • Örneğin; taban uzunluğu 5 cm ve yüksekliği 3 cm olan bir üçgen var.
2. 
   2
   Üçgenin alan formülünü yaz. Formül ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(bh)$ şeklindedir ve formüldeki $b$ üçgenin taban uzunluğu ve $h$ üçgenin yüksekliğidir.
3. 
   3
   Taban uzunluğu ve yüksekliği formülde yerine koy. İki değeri çarp, sonra çıkan sonucu ${\frac {1}{2}}$ ile çarp. Bu sana birim karesi cinsinden üçgen alanını verecektir.

   • Örneğin; eğer taban uzunluğu 5 cm ve yükseklik 3 cm ise, hesap şöyle olur:
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(15)$
     ${\text{Alan}}=7.5$
     Yani, taban uzunluğu 5 cm ve yüksekliği 3 cm olan bir üçgenin alanı 7.5 santimetre karedir.
4. 
   4
   Dik üçgenin alanını bul. Dik üçgenin iki kenarı dik olduğu için, dik kenarlardan biri üçgenin yüksekliği olurken diğer kenar da taban olur. Yani, yükseklik ve/veya taban belirtilmiş olmasa bile, eğer kenar uzunlukları verilmiş ise onları biliyorsun demektir. Bu sebeple, alanı bulmak için ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(bh)$ formülünü kullanabilirsin.

   • Bu formülü ayrıca bir kenarı ve hipotenüs uzunluğunu biliyorsan da kullanabilirsin. Hipotenüs dik üçgenin en uzun ve dik açının karşısındaki kenardır. Eksik olan kenar uzunluğunu Pisagor Teoremini ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$) kullanarak bulabileceğini unutma.
   • Örneğin; eğer bir üçgenin hipotenüsü c kenarı ise yükseklik ve taban diğer iki kenardır (a ve b). Eğer hipotenüsün 5 cm ve tabanın 4 cm olduğunu biliyorsan, yüksekliği bulmak için Pisagor teoremini kullan:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
     $a^{2}+16=25$
     $a^{2}+16-16=25-16$
     $a^{2}=9$
     $a=3$
     Şimdi, iki dik kenar olan taban ve yüksekliği (a ve b) alan formülünde yerine koyabilirsin:
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(bh)$
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
     ${\text{Alan}}={\frac {1}{2}}(12)$
     ${\text{Alan}}=6$
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 4:

Kenar Uzunluklarını Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üçgenin yarı çevresini hesapla. Yarı çevre, bir şeklin çevresel uzunluğunun yarısına eşittir. Yarı çevreyi bulmak için önce üç kenarın uzunluklarını toplayarak üçgenin çevresini hesapla. Sonra, ${\frac {1}{2}}$ ile çarp.

   • Örneğin; eğer üçgenin kenarları 5 cm, 4 cm ve 3 cm uzunluğunda ise yarı çevre şöyle gösterilir:
     $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
     $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
2. 
   2
   Heron formulünü yaz. Formül şöyledir: ${\text{Alan}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ve buradaki $s$ üçgenin yarı çevresi, $a$, $b$ ve $c$ üçgenin kenar uzunluklarıdır.
3. 
   3
   Yarı çevre ve kenar uzunluklarını formülde yerine koy. Formüldeki her $s$ ibaresi yerine yarı çevre uzunluğunu yazdığından emin ol.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
     ${\text{Area}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4. 
   4
   Parantezli ifade içindeki değerleri hesapla. Her kenar uzunluğunu yarı çevreden çıkar. Sonra, bu üç değeri birbiriyle çarp.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
     ${\text{Alan}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
     ${\text{Alan}}={\sqrt {6(6)}}$
5. 
   5
   Kök işareti altındaki iki değeri çarp. Sonra, sonucun karekökünü bul. Bunun sonucunda üçgen alanını birim kare cinsinden elde edeceksin.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}={\sqrt {6(6)}}$
     ${\text{Alan}}={\sqrt {36}}$
     ${\text{Alan}}=6$
     Yani, üçgenin alanı 6 santimetre karedir.
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 4:

Bir Eşkenar Üçgenin Bir Kenarını Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Üçgenin bir kenarının uzunluğunu bul. Eşkenar üçgenin üç kenarı ve üç açısı da eşittir, yani bir kenarın uzunluğunu biliyorsan tüm kenar uzunluklarını biliyorsun demektir.

   • Örneğin; elinde üç kenarı da 6 cm uzunluğunda olan bir üçgen olabilir.
2. 
   2
   Eşkenar üçgenin alanı için formülü yaz. Formül şöyledir: ${\text{Alan}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ ve buradaki $s$ eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğuna eşittir.
3. 
   3
   Kenar uzunluğunu formülde yerine koy. Formülde $s$ değerini yerine koyduğundan emin ol ve bu değerin karesini al.

   • Örneğin; eğer eşkaner üçgenin kenarları 6 cm uzunluğundaysa, hesabın şöyle olur:
     ${\text{Alan}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Alan}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Alan}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4. 
   4
   Karesini alarak bulduğun sonucu $$ 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ile çarp. Daha doğru bir cevap için hesap makinendeki karekök işlevini kullanman en iyisidir. Bunun dışında, ${\sqrt {3}}$’ün yaklaşık değeri için 1.732 yuvarlatılmış değeri kullanabilirsin.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
     ${\text{Alan}}={\frac {62.352}{4}}$
5. 
   5
   Sonucu 4’e böl. Böylece üçgenin alanını birim kare cinsinden bulacaksın.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}={\frac {62.352}{4}}$
     ${\text{Alan}}=15.588$
     Yani, kenar uzunluğu 6 cm olan bir eşkenar üçgenin alanı yaklaşık olarak 15.59 santimetre karedir.
   Reklam

Yöntem 4

Yöntem 4 / 4:

Trigonometriyi Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   İki komşu kenarın uzunluklarını ve aralarındaki iç açıyı bul. Komşu kenarlar, bir üçgenin köşesinde birleşen kenarlardır. İç açı, bu iki kenar arasındaki açıdır.

   • Örneğin; bir üçgendeki iki komşu kenar uzunlukları 150 cm ve 231 cm, aralarındaki açı ise 123 derecedir.
2. 
   2
   Üçgenin alan formülünü yaz. Formül: ${\text{Alan}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ şeklindedir ve formüldeki $b$ ve $c$ değerleri üçgenin komşu kenarlarıdır ve $A$ aralarındaki açıdır.
3. 
   3
   Kenar uzunluklarını formülde yerine koy. Formülde $b$ ve $c$ değerlerini yerine koyduğundan emin ol. Bu değerleri çarp, sonra 2’ye böl.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
     ${\text{Alan}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
     ${\text{Alan}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
     ${\text{Alan}}=17,325\sin A$
4. 
   4
   Açının sinüsünü formülde yerine koy. Sinüsü bilimsel bir hesap makinesinde açı değerini yazdıktan sonra “SIN” düğmesine basarak bulabilirsin.

   • Örneğin; 123 derecelik bir açının sinüsü 0.83867 olduğundan formül şu hale gelecek:
     ${\text{Alan}}=17,325\sin A$
     ${\text{Alan}}=17,325(0.83867)$
5. 
   5
   İki değeri çarp. Bu sana üçgenin alanını birim kare cinsinden verecektir.

   • Örneğin;
     ${\text{Alan}}=17,325(.83867)$
     ${\text{Alan}}=14,529.96$.
     Yani, üçgenin alanı yaklaşık 14.530 santimetre karedir.
   Reklam

İpuçları

• Eğer taban-yükseklik formülünün neden bu şekilde çalıştığından tam olarak emin değilsen, işte sana hızlı bir açıklama. Eğer birbirinin aynısı ikinci bir üçgen olacak olursa ve bu üçgenleri dörtgen oluşturacak şekilde birleştirirsen bir dikdörtgen (iki dik üçgenden) veya paralelkenar (iki dik olmayan üçgenden) oluşur. Dikdörtgenin veya paralelkenarın alanını bulmak için sadece taban ile yüksekliği çarp. Bir üçgen bir dikdörtgenin veya paralelkenarın yarısı olduğundan, üçgenin alanını taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı ile bulabilirsin.

Reklam