كيفية حساب الجذر التربيعي يدويا

تنزيل المقال

تنزيل المقال

كان على الطلاب والأساتذة على حد سواء أن يحسبوا الجذور التربيعية باليد قبل اختراع الآلات الحاسبة، وقد تضمن الأمر العديد من الطرق المختلفة لمعالجة هذه العملية المرهقة ليعطي بعضها نتيجة تقريبة ويعطي الآخر قيمة دقيقة. انظر الخطوة 1 أدناه لتبدأ تعلم طريقة إيجاد الجذر التربيعي لرقم ما بعمليات حسابية بسيطة فقط.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

استخدام التحليل للعوامل الأولية

تنزيل المقال

1. 
   1
   اقسم الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة. تستخدم هذه الطريقة عوامل الرقم لإيجاد جذره التربيعي (قد تكون الإجابة دقيقة أو تقريبية حسب الرقم). عوامل الرقم هي مجموعة من الأرقام تضرب في بعضها البعض لتعطي الرقم. يمكنك مثلًا أن تقول أن عوامل 8 هي 2 و4 لأن 2*4=8، وبالمقابل فإن المربعات الكاملة هي الأرقام الصحيحة التي تنتج عن ضرب أرقام صحيحة أخرى، فمثلًا 25 و36 و49 مربعات كاملة لأنها 5² و6² و7² بالترتيب. عوامل المربعات الكاملة –كما خمنت- هي مربعات كاملة بحد ذاتها. حاول أولًا أن تختصر الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة لتبدأ بإيجاد الجذر التربيعي من خلال التحليل للعوامل الأولية.

   • لنستخدم مثالًا. إننا نريد إيجاد الجذر التربيعي للرقم 400 باليد. سنقسم الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة لنبدأ، 400 من مضاعفات 100 لذا نعلم أنها تقبل القسمة على 25 وهي مربعٌ كامل. ستعلمك القسمة الذهنية السريعة أن 25 تدخل في 400 16 مرة، ومن المصادفة أن 16 مربعٌ كاملٌ أيضًا لذا فإن العوامل المربعة الكاملة للرقم 400 هي 25 و16 لأن 15 مضروبة في 16 = 400.
   • سنكتب الجذر التربيعي(400) = الجذر التربيعي(25 × 16).
2. 
   2
   خذ الجذور التربيعية للعوامل المربعة الكاملة. تقول خاصية ضرب الجذور التربيعية أنه لأي رقمين "a" و"b" فإن الجذر التربيعي(a × b) = الجذر التربيعي(a) × الجذر التربيعي(b)، ونتيجة لهذه الخاصية يمكننا أخذ الجذور التربيعية للعوامل المربعة الكاملة وضربها ببعضها البعض للحصول على إجابتنا.

   • سنأخذ الجذور التربيعية ل25 و16 في مثالنا، انظر أدناه:
     • الجذر التربيعي(25 × 16)
     • الجذر التربيعي(25) × الجذر التربيعي(16)
     • 5 × 4 = 20
3. 
   3
   اختصر الإجابة لأبسط صورة إذا لم يسعك تحليل الرقم لعوامله الكاملة. الأغلب في الحياة الواقعية أن الأرقام التي ستحتاج لإيجاد جذورها التربيعية لن تكون أعدادًا صحيحة جميلة لها عوامل جذورها التربيعية واضحة مثل 400، ولن يكون من الممكن في هذه الحالات إيجاد الإجابة بدقة كعدد صحيح، وإنما يمكنك إيجادها بصورة جذر تربيعي أصغر وأبسط وأسهل معالجة بإيجاد أي عوامل مربعة كاملة قدر الإمكان، ولفعل هذا اختصر الرقم إلى مجموعة من العوامل المربعة الكاملة وعوامل أخرى ليست كذلك ثم بسطها. .

   • لنستخدم الجذر التربيعي للرقم 147 كمثال. 147 ليس حاصل ضرب مربعين كاملين لذا لا يسعنا الحصول على قيمة صحيحة دقيقة كما رأينا أعلاه، لكنه حاصل ضرب مربع كامل ورقم آخر، 49 و3. يمكننا استخدام هذه المعلومة لكتابة إجابتنا في أبسط صورة كما يلي:
     • الجذر التربيعي(147)
     • = الجذر التربيعي(49 × 3)
     • = الجذر التربيعي(49) × الجذر التربيعي(3)
     • = 7 × الجذر التربيعي(3)
4. 
   4
   الجأ للتقدير عند الضرورة. عادة ما يكون الحصول على تقدير تقريبي للإجابة سهلًا نسبيًا من خلال تخمين قيمة أي جذور تربيعية متبقية وضربها حين يكون الجذر التربيعي في أبسط صورة. تتمثل إحدى طرق الاستدلال في التقريب في إيجاد المربعات الكاملة على أي من جانبي الرقم في الجذر التربيعي. ستعرف أن القيمة العشرية للرقم في الجذر التربيعي تقع بين هذين الرقمين لذا ستتمكن من تخمينه بينهما.

   • لنعد لمثالنا. 2² = 4 و1² = 1 لذا نعلم أن الجذر التربيعي(3) بين 1 و2 والأرجح أنه أقرب للرقم 2 منه إلى 1، سنقدر أن 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 وإذا راجعنا هذا في الآلة الحاسبة فيسعنا أن نرى أننا اقتربنا نسبيًا من الإجابة المضبوطة وهي 12,13.
     • ينطبق هذا على الأقام الكبيرة أيضًا فمثلًا يمكن تقدير الجذر التربيعي(35) على أنه بين 5 و6 (شديد القرب من 6 غالبًا). 5² = 25 و6² = 36. يقع 35 بين 25 و36 لذا لابد أن يقع جذره التربيعي بين 5 و6، وحيث أن 35 أقل من 36 بمقدار 1 فقط لذا يسعنا القول بثقة أن الجذر التربيعي أقل من 6 بشيء يسير. لنتفقد الآلة الحاسبة ونحصل على الإجابة 5,92 وسنجد أننا كنا على صواب.
5. 
   5
   اختصر الرقم بالعامل المشترك الأصغر كخطوة أولى. ليس بالضروري إيجاد العوامل المربعة الكاملة إذا استطعت تحديد العوامل الأولية بسهولة (العوامل التي بحد ذاتها أرقام أولية أيضًا).اكتب الرقم بصورة عوامله الأولية ثم ابحث عن زوج متطابق من الأعداد الأولية بين العوامل. حين تجد عاملين أوليين متطابقين احذفهما من الجذر التربيعي وضع أحدهما خارج الجذر.

   • لنجد الجذر التربيعي للرقم 45 بهذه الطريقة كمثال. نعلم أن 45 = 9 مضروبة في 5 وأن 9 = 3 مضروبة في 3 لذا يمكننا كتابة الجذر التربيعي بعوامله مثل: الجذر التربيعي(3 × 3 × 5) . تخلص من الرقمين 3 وضع أحدهما خارج الجذر لتحصل على الجذر في أبسط صوره وهي (3)الجذر التربيعي(5). يسهل التقريب من هنا.
   • لنجرب إيجاد الجذر التربيعي للرقم 88 كمثال أخير:
     • الجذر التربيعي(88)
     • = الجذر التربيعي(2 × 44)
     • = الجذر التربيعي(2 × 4 × 11)
     • = الجذر التربيعي(2 × 2 × 2 × 11). لدينا عددٌ من الرقم 2 في جذرنا التربيعي وحيث أن 2 رقمٌ أوليٌ فيمكننا إزالة زوج منه ووضع أحدها خارج الجذر.
     • = جذرنا التربيعي في أبسط صورة(2) الجذر التربيعي(2 × 11) أو (2) الجذر التربيعي(2) الجذر التربيعي(11). ويمكننا من هنا تقريب الجذر التربيعي(2) والجذر التربيعي(11) وإيجاد إجابة تقريبية إذا أردنا.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

إيجاد الجذور التربيعية بشكل يدوي

تنزيل المقال

استخدام خوارزمية القسمة المطولة

1. 
   1
   اقسم أرقام العدد إلى أزواج. تستخدم هذه الطريقة عملية تشبه القسمة المطولة لإيجاد الجذر التربيعي بدقة رقمًا برقم، ورغم أن هذا ليس ضروريًا إلا أنك قد تجد من الأسهل إجراء هذه العملية إذا نظمت مساحة العمل بصريًا وقسمت العدد لأجزاء يسهل العمل عليها. ارسم أولًا خطًا رأسيًا يقسم مساحة العمل إلى جزئين ثم ارسم خطًا أفقيًا أقصر قرب قمة الجزء الأيمن لقسمته إلى جزء علوي صغير وآخر سفلي كبير. اقسم أرقام العدد بعد ذلك لأزواج بدءًا من العلامة العشرية، فمثلًا إذا اتبعنا هذه القاعدة مع الرقم 79520789182,47897 سنحصل على "7 95 20 78 91 82، 47 89 70".اكتب العدد في قمة المساحة اليسرى.

   • لنجرب حساب الجذر التربيعي للرقم 780,14 كمثال. ارسم خطين لتقسيم مساحة العمل كما شرحنا أعلاه واكتب "7 80,14" في قمة المساحة اليسرى. لا بأس بأن تكون الكتلة الموجودة في أقصى اليسار رقمًا طويلًا وليس زوج أرقام. ستكتب الإجابة (الجذر التربيعي للرقم 780,14) في المساحة اليمنى العلوية.
2. 
   2
   جد أكبر رقم "n" الذي مربعه أقل من أو يساوي الرقم الموجود في أقصى اليسار (أو زوج الأرقام). ابدأ بالجزء الأيسر من الرقم سواءً كان مفردًا أو زوجًا وجد أكبر مربع كامل يقل عنه أو يساويه ثم خذ الجذر التربيعي لهذا المربع الكامل. هذا الرقم هو n، اكتب n في المساحة العلوية اليمنى واكتب مربع n في الربع السفلي الأيمن.

   • "الجزء" الموجود في أقصى اليسار في مثالنا هو الرقم 7. نعلم أن 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9 لذا يمكننا القول أن n=2 لأنه أكبر عدد صحيح مربعه أصغر من أو يساوي 7. اكتب 2 في الربع الأيمن العلوي فهذا أول رقم من إجابتنا، واكتب 4 (مربع 2) في الربع الأيمن السفلي. سيكون هذا الرقم مهمًا في الخطوة التالية.
3. 
   3
   اطرح الرقم الذي حسبته للتو من الزوج الموجود في أقصى اليسار. الخطوة التالية كما في القسمة المطولة هو طرح المربع الذي وجدناه للتو من الجزء الذي حللناه. اكتب هذا الرقم تحت الجزء الأول واطرح واكتب الإجابة بالأسفل.

   • سنكتب 4 تحت 7 في مثالنا ثم نطرح وهذا سيعطينا الإجابة 3.
4. 
   4
   أنزل الزوج التالي. انقل الجزء التالي من الرقم الذي نحسب جذره التربيعي بجوار القيمة المطروحة التي وجدناها توًا، وبعد ذلك اضرب الرقم الموجود في الربع الأيمن العلوي في 2 واكتبه في الربع الأيمن السفلي. خصص مساحة لعملية الضرب التي ستجريها في الخطوة التالية بكتابة "ضرب" بجوار الرقم الذي كتبته توًا.

   • الزوج التالي من الرقم في هذا المثال هو 80. اكتب 80 بجوار 3 في الربع الأيسر ثم اضرب الرقم العلوي الأيمن في 2. هذا الرقم هو 2 لذا 2*2=4. اكتب 4 في الربع الأيمن السفلي متبوعًا بعلامة الضرب.
5. 
   5
   املأ الفراغات الموجود في الربع الأيمن. لابد أن تملأ كل الفراغات التي كتبتها في الربع الأيمن بالرقم نفسه. لابد أن يكون هذا الرقم أكبر رقم صحيح يجعل ناتج مسألة الضرب في الربع الأيمن أصغر من أو يساوي الرقم الحالي الموجود على اليسار.

   • يعطينا ملئ الفراغ بالرقم 8 في مثالنا 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384 وهذا أكبر من 380، لذا فإن 8 أكبر من اللازم لكن 7 ستكون مناسبة على الأرجح. اكتب 7 في الفراغ وحل المسأل كما يلي: 4(7) × 7 = 329. رقم 7 مناسبٌ لأن 329 أصغر من 380. اكتب 7 في الربع الأيمن العلوي، هذا هو الرقم الثاني في الجذر التربيعي للرقم 780,14.
6. 
   6
   اطرح الرقم الذي حسبته للتو من الرقم الحالي الموجود على اليسار. استمر في سلسلة الطرح الشبيهة بأسلوب القسمة المطولة. خذ ناتج مسألة الضرب في الربع الأيمن واطرحه من الرقم الحالي الموجود على اليسار واكتب الإجابة تحته.

   • سنطرح 329 من 380 في مثالنا ما يعطينا 51.
7. 
   7
   كرر الخطوة 4. أنزل الجزء التالي من الرقم الذي تحسب جذره التربيعي. اكتب العلامة العشرية حين تصل إليها في إجابتك في الربع الأيمن العلوي ثم اضرب الرقم الموجود بالجزء الأيمن العلوي في 2 واكتبه بجوار عملية الضرب الفارغة (علامة الضرب) كما وضحنا أعلاه.

   • نواجه الآن في مثالنا العلامة العشرية للرقم 780,14، اكتب العلامة العشرية بعد الإجابة الحالية في أعلى اليمين، ثم أنزل الزوج التالي (14) في الربع الأيسر. مضاعفة الرقم الموجود في أعلى اليمين (27) تعطينا 54 لذا اكتب "54 _×_=" في الربع الأيمن السفلي.
8. 
   8
   كرر الخطوة 5 و6. جد أكبر رقم يملأ الفراغات في اليمين ويعطيك إجابة أصغر من الرقم الحالي على اليسار أو يساويه ثم حل المسألة.

   • في مثالنا 549 × 9 = 4941 وهو أصغر من الرقم الموجود على اليسار (5114) أو يساويه. 549 × 10 = 5490 وهو أكبر بكثير لذا فالإجابة 9. اكتب 9 ليكون الرقم التالي في الربع الأيمن العلوي واطرح ناتج الضرب من الرقم الموجود على اليسار، 5114 ناقص 4941 يساوي 173.
9. 
   9
   استمر بحساب الأرقام. أنزل زوج الأصفار على اليسار وكرر الخطوات 4 و5 و6. استمر بتكرار هذه العملية لإيجاد الخانات من مئة ومن ألف إلخ لمزيد من الدقة في إجابتك. استمر في هذه الدورة حتى تجد الإجابة للرقم العشري المرغوب.

فهم العملية

1. 
   1
   اعتبر الرقم الذي تحسبه الجذر التربيعي لمساحة مربع s. مساحة المربع هي L² حيث L طول أحد أضلاعه لذا فإنك حين تحاول إيجاد الجذر التربيعي لرقمك فأنت تحاول حساب الطول L لضلع المربع ذاك.
2. 
   2
   خصص متغيرات حرفية لكل رقم من الإجابة. خصص المتغير A لأول رقم من أرقام L (الجذر التربيعي الذي تحاول حسابه). سيكون الرقم الثاني B والثالث c وهكذا.
3. 
   3
   خصص متغيرات حرفية لكل "جزء" من الرقم الذي بدأت به. خصص المتغير S_a للزوج الأول من الأرقام في s (القيمة المبدئية) وS_b للزوج الثاني إلخ.
4. 
   4
   افهم الرابط بين هذه الطريقة والقسمة المطولة. تعتبر هذه الطريقة الخاصة بإيجاد الجذر التربيعي في الأصل قسمة مطولة تقسم الرقم المبدئي على جذره التربيعي ما يعطيك جذره التربيعي كإجابة، وكما في القسمة المطولة حيث نهتم فقط بالرقم التالي في كل مرة فهنا نهتم بالرقمين التاليين في كل مرة (يناظران الرقم التالي في الجذر التربيعي).
5. 
   5
   جد أكبر رقم مربعه أصغر من أو يساوي S_a. أول رقم A في إجابتنا هو أكبر رقم لا يتجاوز مربعه S_a (ما يعني A A² ≤ Sa < (A+1)²)، وفي مثالنا S_a = 7 و2² ≤ 7 < 3² لذا A=2.

   • لاحظ مثلًا أنك إذا أردت قسمة 88962 على 7 بالقسمة المطولة فستكون أول خطوة مشابهة لهذا: ستبحث عن أول رقم من 88962 وهو 8 وتريد أكبر رقم يكون حاصل ضربه في 7 أصغر من أو يساوي 8. ستجد d بشكل أساسي بحيث 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). وd يساوي 1 في هذه الحالة.
6. 
   6
   تخيل المربع الذي بدأت الحل بمساحته. إجابتك –الجذر التربيعي للرقم المبدئي- هي L وتصف طول المربع الذي مساحته S (الرقم المبدئي). تمثل قيم A وB وc أرقام القيمة L، ونعبر عن ذلك بطريقة أخرى حيث الإجابة المكونة من رقمين 10A + B = L بينما المكونة من ثلاثة أرقام 100A +10B + C = L وهكذا.

   • وفي مثالنا (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². تذكر أن 10A+B تمثل إجابتنا L حيث B في خانة الآحاد وA في خانات العشرات، فمثلًا حين تكون A=1 وB=2 فإن 10A+B هي الرقم 12.(10A+B)² هي مساحة المربع كله حيث100A² هي مساحة أكبر مربع من الداخل وB² هي مساحة أصغر مربع و10A×B هي مساحة كل من المستطيلين المتبقيين. سنجد مساحة المربع كله بجمع مساحات المربعات والمستطيلات الموجودة داخله بإجراء هذه العملية الطويلة المعقدة.
7. 
   7
   اطرح A² من S_a. أنزل زوجًا من الأرقام (S_b) من S. S_a S_b هي مساحة المربع الكلية تقريبًا والتي طرحت منها للتو مساحة المربع الداخلي الكبير. يمكن أن نرمز للباقي بالرمز N1 والذي حصلنا عليه في الخطوة 4 (في مثالنا N1 =380) تساوي N1 2×10A×B + B² (مساحة المستطيلين بالإضافة لمساحة المربع الصغير).
8. 
   8
   ابحث عن N1 = 2×10A×B + B² والتي تكتب أيضًا N1 = (2×10A + B) × B. نعلم بالفعل في مثالنا أن N1 (380) وA (2)، لذا عليك إيجاد B والتي لن تكون رقمًا صحيحًا على الأغلب لذا لابد من إيجاد أكبر رقم صحيح B بحيث (2×10A + B) × B ≤ N1. إذن لدينا N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).).
9. 
   9
   حل المعادلة. اضرب A في 2 لحل هذه المعادلة وانقلها لخانة العشرات (والتي تكافئ الضرب في 10) وضع B في خانة الآحاد واضرب الرقم الناتج في B. بعبارة أخرى أوجد قيمة (2×10A + B) × B وهذا بالضبط ما يتوجب عليك فعله عند كتابة "N_×_=" (حيث N=2×A) في الربع الأيمن السفلي في الخطوة 4. ستجد في الخطوة 5 أكبر رقم صحيح B يناسب الفراغ بحيث (2×10A + B) × B ≤ N1.
10. 
    10
    اطرح المساحة (2×10A + B) × B من المساحة الكلية. سيعطيك هذا المساحة S-(10A+B)² التي لم تؤخذ في الحسبان بعد (والتي ستستخدم لحساب الأرقام التالية بطريقة مشابهة).
11. 
    11
    كرر العملية لحساب الرقم التالي C. أنزل الزوج التالي (S_c) من S للحصول على N2 في اليسار وابحث عن أكبر قيمة للمتغير C بحيث يصبح لديك (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (التي تكافئ كتابة 2 في الرقم "AB" المكون من خانتين متبوعة ب"_×_=") ابحث عن أكبر رقم يملأ الفراغ ويعطي إجابة أصغر من أو تساوي N2 كما سبق.

أفكار مفيدة

• تنطبق هذه الطريقة على أي أساس وليس الأساس 10 فقط (العشري).
• يمكن اعتبار 1,73 في المثال "الباقي": 780.14 = 27.9² + 1.73.
• يمكن أن تتببع الطريقة البديلة باستخدام الكسور المستمرة هذه الصيغة: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...)))، فمثلًا لحساب الجذر التربيعي للرقم 780,14 نجد أن الرقم الذي مربعه أقرب ما يكون للرقم 780,14 هو 28 لذا فإن z=780.14 وx=28و y=-3.86. يعطينا التعويض والتقدير التقريبي x + y/(2x) (بأبسط صورة) 78207/2800 أو 27.931(1) تقريبًا، الحد الثاني 4374188/156607 أو 27.930986(5) تقريبًا. يضيف كل حد 3 خانات عشرية تقريبًا لسابقه.
• لك حرية تمثيل هذه الحسابات بأي طريقة تريحك. يكتب البعض الناتج فوق الرقم المبدئي.
• يؤدي نقل العلامة العشرية بمقدار رقمين في العدد (معامل 100) إلى نقل العلامة رقمًا واحدًا في الجذر التربيعي (معامل 10).

تحذيرات

• احرص على فصل الأرقام بشكل أزواج من العلامة العشرية. سيعطينا فصل 79520789182,47897 بصورة "79 52 07 89 18""2,4"" 78 97" رقمًا بلا جدوى.