Come Calcolare la Radice Quadrata a Mano

Prima dell'avvento dei calcolatori, studenti e professori dovevano calcolare le radici quadrate a mano. Sono stati sviluppati diversi metodi per affrontare questo pesante processo: alcuni danno dei risultati approssimativi, altri danno un valore esatto. Per imparare come trovare la radice quadrata di un numero usando solo semplici operazioni, continua a leggere.

Metodo 1

Metodo 1 di 2:

Usare la Fattorizzazione in Numeri Primi

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Dividi il tuo numero in fattori che siano quadrati perfetti. Questo metodo usa i fattori di un numero per trovarne la radice quadrata (secondo il tipo di numero, si può trovare una risposta numerica esatta o una semplice approssimazione). I fattori di un numero sono un qualunque insieme di altri numeri che moltiplicati tra loro danno come risultato il numero stesso.^{[1]XFonte di ricerca} Per esempio, potresti dire che i fattori di 8 sono 2 e 4, perché 2 x 4 = 8. I quadrati perfetti, d'altra parte, sono numeri interi, prodotto di altri numeri interi. Ad esempio, 25, 36 e 49 sono quadrati perfetti, perché sono rispettivamente 5², 6² e 7². I fattori dei quadrati perfetti sono, come puoi indovinare, dei fattori che a loro volta sono quadrati perfetti. Per iniziare a trovare la radice quadrata attraverso la fattorizzazione in numeri primi, puoi provare inizialmente a ridurre il tuo numero nei suoi fattori primi che siano dei quadrati.
- Poniamo un esempio. Vogliamo trovare a mano la radice quadrata di 400. Per iniziare, proviamo a dividere il numero sotto forma di fattori che siano quadrati perfetti. Siccome 400 è multiplo di 100, sappiamo che è divisibile per 25 - un quadrato perfetto. Una veloce divisione a mente ci permette di sapere che il 25 sta nel 400 16 volte. Per coincidenza, anche 16 è un quadrato perfetto. Così, i fattori quadrati perfetti di 400 sono 25 e 16, perché 25 x 16 = 400.
- Potremmo scriverlo come: Sqrt(400) = Sqrt(25 x 16)
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Fai la radice quadrata dei tuoi fattori che sono quadrati perfetti. La proprietà del prodotto delle radici quadrate afferma che per qualunque numero a e b, Sqrt(a x b) = Sqrt(a) x Sqrt(b).^{[2]XFonte di ricerca} In base a questa proprietà, possiamo ricavare le radici quadrate dei nostri fattori che sono dei quadrati perfetti e moltiplicarle insieme per ottenere la nostra risposta.
- Nel nostro esempio, dovremo fare le radici quadrate di 25 e di 16. Leggi sotto:
  - Sqrt(25 x 16)
  - Sqrt(25) x Sqrt(16)
  - 5 x 4 = 20
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Se il tuo numero non è un fattore perfetto, riducilo ai minimi termini. Nella vita reale, per la maggior parte dei casi, i numeri di cui dovrai trovare le radici quadrate non saranno dei bei numeri "tondi" con fattori perfettamente quadratici, come il 400. In questi casi, può risultare impossibile trovare la risposta esatta come intero. Invece, trovando tutti i fattori possibili che siano dei perfetti quadrati, puoi trovare la risposta in termini di una radice quadrata più piccola, più semplice e più facile da gestire. Per fare questo, devi ridurre il tuo numero a una combinazione di fattori di quadrati perfetti e non, per poi semplificare.
- Prendiamo la radice quadrata di 147 come esempio. 147 non è il prodotto di due quadrati perfetti, così non possiamo trovare un intero esatto, come abbiamo provato prima. Comunque, si tratta del prodotto tra un quadrato perfetto e un altro numero - 49 e 3. Possiamo usare questa informazione per scrivere la vostra risposta come segue in termini più semplici:
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 x 3)
  - = Sqrt(49) x Sqrt(3)
  - = 7 x Sqrt(3)
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Se serve, fai una stima approssimativa. Con la tua radice quadrata sotto forma di fattori più piccoli, è solitamente semplice trovare una stima approssimata di un valore numerico indovinando i valori delle radici quadrate rimanenti e moltiplicandoli. Un modo per aiutarti a fare questa stima è trovare dei quadrati perfetti in entrambe le parti del numero della tua radice quadrata. Saprai che il valore decimale della tua radice quadrata sarà tra questi due numeri: in tal modo riuscirai ad approssimare un valore tra di essi.
- Torniamo al nostro esempio. Siccome 2² = 4 e 1² = 1, sappiamo che Sqrt(3) sta tra 1 e 2 - probabilmente più vicino a 2 piuttosto che a 1. Supponiamo di avere 1,7. 7 x 1,7 = 11,9. Se facciamo la prova con la nostra calcolatrice, possiamo vedere che siamo abbastanza vicini alla risposta esatta 12,13.
  - Questo funziona anche con numeri più grandi. Per esempio, Sqrt(35) può essere stimata tra 5 e 6 (probabilmente molto vicina a 6). 5² = 25 e 6² = 36. 35 sta tra 25 e 36, di conseguenza la sua radice quadrata deve essere compresa tra 5 e 6. Siccome 35 è inferiore di una sola cifra a 36, possiamo dire con certezza che la sua radice quadrata è appena inferiore a 6. Facendo la prova con la calcolatrice, troviamo circa 5,92 - avevamo ragione.
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In alternativa, come primo passo riduci il tuo numero ai suoi minimi termini. Non è necessario trovare dei fattori perfettamente quadratici se puoi determinare i fattori primi di un numero (quei fattori che sono anche numeri primi). Scrivi il tuo numero sotto forma dei suoi fattori primi. Poi cerca le possibili combinazioni di numeri primi tra i tuoi fattori. Quando trovi due fattori primi identici, rimuovi entrambi questi numeri dall'interno della radice quadrata e metti solo uno di questi numeri fuori dalla radice quadrata.
- Per esempio, troviamo la radice quadrata di 45 usando questo metodo. Sappiamo che 45 = 9 x 5 e che 9 = 3 x 3. Possiamo quindi scrivere la nostra radice quadrata sotto forma di fattori: Sqrt(3 x 3 x 5). Rimuovi semplicemente i 3 e mettine solo uno fuori dalla radice quadrata: (3)Sqrt(5). A questo punto è semplice fare una stima.
- Come problema finale di esempio, proviamo a trovare la radice quadrata di 88:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 x 44)
  - = Sqrt(2 x 4 x 11)
  - = Sqrt(2 x 2 x 2 x 11). Abbiamo diversi 2 nella nostra radice quadrata. Siccome 2 è un numero primo, possiamo rimuoverne un paio e metterne uno fuori dalla radice quadrata.
  - = la nostra radice quadrata ai minimi termini è (2) Sqrt(2 x 11) o (2) Sqrt(2) Sqrt(11). A questo punto, possiamo fare una stima di Sqrt(2) e di Sqrt(11) per trovare una risposta approssimativa.
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Metodo 2

Metodo 2 di 2:

Trovare la Radice Quadrata Manualmente

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Usare il Metodo di Divisione in Colonna

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Separa le cifre del tuo numero a coppie. Questo metodo usa un procedimento simile alla divisione in colonna per trovare una radice quadrata esatta, cifra per cifra. Anche se non è fondamentale, puoi facilitare questo procedimento se organizzi il tuo spazio di lavoro in modo visivo e lavori sul tuo numero a pezzi. Prima di tutto, disegna una linea verticale che separa la tua area di lavoro in due sezioni, poi disegna una linea orizzontale più corta in alto, in cima alla sezione di destra, per dividerla in una parte piccola superiore in una parte più grande inferiore. Poi, a partire dalla virgola decimale, dividi le cifre a coppie: ad esempio, 79.520.789.182,47897 diventa "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Scrivilo in alto a sinistra.
- Per esempio, proviamo a calcolare la radice quadrata di 780,14. Disegna due segmenti per dividere il tuo spazio di lavoro come sopra e scrivi "7 80,14" in cima, nello spazio di sinistra. Può accadere che all'estrema sinistra si trovi un solo numero così come che se ne trovino due. Scriverai la tua risposta (la radice quadrata di 780,14) nello spazio in alto a destra.
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Trova l'intero n più grande il cui quadrato e minore o uguale al numero o alla coppia di numeri posti all'estrema sinistra. Inizia dal pezzo più a sinistra, che sarà un numero singolo oppure una coppia di cifre. Trova il quadrato perfetto più grande che sia minore uguale a quel gruppo, poi fai la radice quadrata di questo quadrato perfetto. Questo numero è n. Scrivi n nello spazio a sinistra in alto e scrivi il quadrato di n nel quadrante in basso a destra.
- Nel nostro esempio, il gruppo più a sinistra è costituito dal singolo numero 7. Siccome sappiamo che 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, possiamo dire che n = 2, perché è il più grande intero il cui quadrato è minore o uguale a 7. Scrivi 2 nel quadrato a destra in alto. Questa è la prima cifra della nostra risposta. Scrivi 4 (il quadrato di 2) nel quadrante in basso a destra. Questo numero sarà importante nel prossimo passaggio.
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Sottrai il numero appena calcolato dalla coppia più a sinistra. Come per la divisione in colonna, il passaggio seguente consiste nel sottrarre il quadrato appena trovato dal gruppo che abbiamo appena analizzato. Scrivi questo numero sotto il primo gruppo e sottrai, scrivendo sotto la tua risposta.
- Nel nostro esempio, scriveremo 4 sotto al 7, poi faremo la sottrazione. Questo ci darà come risultato 3.
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Trascrivi il gruppo seguente di due cifre. Sposta il gruppo seguente di due cifre in fondo, vicino al risultato della sottrazione appena trovato. Poi moltiplica per due il numero nel quadrante superiore destro e riportalo in basso a destra. Vicino al numero che hai appena trascritto, aggiungi '"_x_="'.
- Nell'esempio, la coppia successiva è "80": scrivi "80" vicino al 3. Il prodotto del numero in alto a destra per 2 è 4: scrivi "4_×_=" nel quadrante in basso a destra.
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Riempi gli spazi vuoti nel quadrante destro. Devi inserire lo stesso intero. Tale numero deve essere l'intero più grande che permette al risultato della moltiplicazione nel quadrante destro di essere minore o uguale al numero presente sulla sinistra.
- Nell'esempio, inserendo 8, otterrai 48 moltiplicato per 8 uguale a 384, che è maggiore di 380. Per cui 8 è troppo grande. 7 invece va bene. Inserisci 7 nella moltiplicazione e calcola: 47 per 7 è uguale a 329. Scrivi 7 in alto a destra: questo è la seconda cifra della radice quadrata di 780,14.
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Sottrai il numero appena calcolato dal numero che hai a sinistra. Continua con la divisione in colonna. Metti il risultato della moltiplicazione nel quadrante destro e sottrailo dal numero presente a sinistra, scrivendo sotto quanto fa.
- Nel nostro caso, sottrai 329 da 380, che dà 51.
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Ripeti il passaggio 4. Abbassa il seguente gruppo di due cifre. Quando incontri la virgola, riportala anche nel tuo risultato nel quadrante in alto a destra. Poi moltiplica il numero presente in alto a destra per due e scrivilo vicino al gruppo ("_ x _"), come fatto precedentemente.
- Nel nostro esempio, poiché c'è una virgola in 780,14, scrivi la virgola nella radice quadrata in alto a destra. Abbassa a sinistra la coppia di cifre successiva, che è 14. Il prodotto del numero in alto a destra (27) per 2 è 54: scrivi "54_×_=" nel quadrante in basso a destra.
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Ripeti i passaggi 5 e 6. Trova la cifra più grande da inserire negli spazi vuoti a destra che dia un risultato minore uguale al numero presente sulla sinistra. Poi risolvi il problema.
- Nell'esempio, 549 per 9 dà 4941, che è minore o uguale al numero di sinistra (5114). Scrivi 9 in alto a destra e sottrai il risultato della moltiplicazione dal numero sulla sinistra: 5114 meno 4941 dà 173.
Puoi andare avanti con questo procedimento per trovare i centesimi, i millesimi, eccetera. Continua fino ad arrivare ai decimali richiesti.
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Capire il Procedimento

Per comprendere come funziona questo metodo, considera il numero di cui vuoi calcolare la radice quadrata come la superficie S di un quadrato. Ne deriva che quello che stai calcolando è la lunghezza L del lato di quel quadrato. Vuoi trovare il numero L il cui quadrato L² = S. Trovando la radice quadrata di S, trovi il lato L del quadrato.
Assegna la variabile A come prima cifra di L (la radice quadrata che stiamo provando a calcolare). B sarà la seconda cifra, C la terza e così via.
Assegna la variabile S_A al primo paio di cifre presenti in S (il tuo valore di partenza), S_B al secondo paio di cifre, eccetera.
Come nel calcolo delle divisioni si considera una cifra alla volta, così nel calcolo della radice quadrata si considera una coppia di cifre alla volta (che è una cifra alla volta della radice quadrata).
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Considera il numero più grande il cui quadrato è minore uguale a S_A. La prima cifra A nella nostra risposta è il più grande intero il cui quadrato non supera S_A (cioè tale che A² ≤ S_A< (A+1)²). Nel nostro esempio, S_A = 7 e 2² ≤ 7 < 3², così A = 2.
- Nota che, volendo dividere 88962 per 7, il primo passaggio sarebbe simile: considereresti la prima cifra di 88962 (8) e cercheresti la cifra più grande che, moltiplicata per 7, sia uguale o minore di 8. Il che significa d tale che 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). d sarebbe quindi 1.
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Visualizza il quadrato di cui stai calcolando l'area. La tua risposta, la radice quadrata del tuo numero di partenza, è L, che descrive la lunghezza del lato di un quadrato di area S (il tuo numero iniziale chiusa parentesi. I valori A, B e C rappresentano le cifre del numero L. Un altro modo per dirlo è che, per un risultato a due cifre, 10A + B = L, mentre, per un risultato a tre cifre, 100A+ 10B + C = L e così via.
- Nel nostro esempio, (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2x10AxB + B². Ricorda che 10A+B rappresenta la nostra risposta L con B nella posizione delle unità e A delle decine. Per esempio, con A=1 e B=2, 10A+B è semplicemente il numero 12. (10A+B)² è l'area di tutto il quadrato, mentre 100A² è l'area del quadrato maggiore, B² è l'area del quadrato più piccolo e 10AxB è l'area di ciascuno dei due rettangoli rimanenti. Continuando con questo lungo e complesso procedimento, troviamo l'area di tutto il quadrato sommando le aree dei quadrati e dei rettangoli che lo compongono.
Per considerare il fattore 100, da S si abbassa una coppia di cifre (S_B): "S_AS_B" deve essere la superficie totale del quadrato e da questa si è sottratto 100A² (l'area del quadrato più grande). Quello che resta è il numero N1 ottenuto a sinistra nel passaggio 4 (380 nell'esempio). Quel numero è uguale a 2×10A×B + B² (l'area dei due rettangoli sommata all'area del quadrato più piccolo).
Conosci N1 (=380) e A (=2), e vuoi trovare B. Nell'equazione sopra, probabilmente B non sarà un numero intero, per cui dovrai trovare il numero intero maggiore B in modo che (2×10A + B) × B ≤ N1 — poiché B+1 è troppo grande, allora avrai: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
Per risolvere, moltiplica A per 2, spostalo nei decimali (che sarebbe uguale a moltiplicare per 10), metti B nella posizione delle unità e moltiplica quel numero per B. Quel numero è (2×10A + B) × B, che è esattamente lo stesso che scrivere "N_×_=" (con N=2×A) nel quadrante in basso a destra nel passaggio 4. Nel passaggio 5, si cerca il numero intero più grande che, sostituito nella moltiplicazione, dia (2×10A + B) × B ≤ N1.
Sottrai l'area (2×10A + B) × B dall'area totale (sulla sinistra, nel passaggio 6), che corrisponde all'area S-(10A+B)², non ancora presa in considerazione (e che servirà per calcolare la cifra successiva nello stesso modo).
abbassa da S la coppia di cifre successiva (S_C) per ottenere N2 a sinistra e cerca il numero C più grande in modo che (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (che è come scrivere il prodotto per 2 del numero a due cifre "A B" seguito da "_×_=" e trovare il numero maggiore che può essere inserito nella moltiplicazione).
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Consigli

Spostare la virgola di due in un numero decimale (fattore 100) equivale a spostare la virgola di uno nella radice quadrata (fattore 10).
Nell'esempio, 1,73 può essere considerato come un "resto": 780,14 = 27,9² + 1,73.
Questo metodo funziona con ogni tipo di base, non solo quella decimale.
Puoi rappresentare i tuoi calcoli nel modo più conveniente per te. Alcuni scrivono il risultato sopra al numero di partenza.
Per un metodo alternativo usa la formula: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...)))^{[3]XFonte di ricerca}. Per esempio, per calcolare la radice quadrata di 780,14, il numero intero il cui quadrato è più vicino a 780,14 è 28, da cui z=780,14, x=28, e y=-3,86. Inserendo i valori e calcolando per x + y/(2x) si ottiene (nei termini minimi) 78207/2800 oppure, approssimando, 27,931(1); il termine successivo, 4374188/156607 o, approssimando, 27,930986(5). Ciascun termine aggiunge al precedente circa 3 decimali di precisione.

Avvertenze

Ricorda di dividere le cifre che compongono il numero in gruppi di due cifre, partendo dalla virgola. Se suddividi 79.520.789.182,47897 in "79 52 07 89 18 2,4 78 97" non ti sarà di alcuna utilità.