कैसे हाथों से वर्गमूल की गणना करें

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इस आर्टिकल में:

प्राइम फैक्टराइज़ेशन का उपयोग करना

वर्गमूल मैनुअली ज्ञात करना

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स्रोत और उद्धरण

कैलकुलेटर्स के आने से पूर्व के दिनों में, छात्रों और प्रोफेसर्स को, एक समान ही, वर्गमूल की गणना हाथों से ही करनी पड़ती थी। इस कठिन प्रक्रिया को करने के लिए बहुत सारी विधियाँ विकसित हो चुकी हैं जिनमें से कुछ तो रफ अनुमान लगाते हैं और कुछ एकदम सटीक उत्तर निकालते हैं। साधारण तरीका अपनाकर वर्गमूल निकालना सीखने के लिए, नीचे दिए गए स्टेप1 देखें और शुरू करें।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 2:

प्राइम फैक्टराइज़ेशन का उपयोग करना

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1. 
   1
   अपनी संख्या को पूर्ण वर्ग फ़ैक्टर्स में विभाजित करें: यह विधि, किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए (संख्या पर निर्भर करते हुए, यह एक सटीक उत्तर हो सकता है या एक नजदीकी अनुमान), उस संख्या के फ़ैक्टर्स का उपयोग करती है। किसी संख्या के फ़ैक्टर्स factors, किन्हीं अन्य संख्याओं के सेट होते हैं, जिनका आपस में गुणा करने से, वही संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि, 8 के फ़ैक्टर्स 2 और 4 हैं क्योंकि, 2 x 4 = 8 होता है। दूसरी तरफ, परफेक्ट वर्ग (Perfect squares) वे संख्याएँ होती हैं, जो अन्य पूर्णांकों का गुणनफल होती हैं। उदाहरण के लिए, 25, 36, और 49 पूर्ण वर्ग हैं क्योंकि वे क्रमशः 5², 6² और 7² हैं। परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स, जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, वे फ़ैक्टर्स हैं जो स्वयं भी परफेक्ट वर्ग हैं। प्राइम फैक्टराइज़ेशन के द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना शुरू करने के लिए, सबसे पहले अपनी संख्या को उसके छोटे परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स में बदलने का प्रयास करें।

   • आइए हम एक उदाहरण का प्रयोग करें। हम हाथों से 400 का वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं। शुरू करने के लिए, हम संख्या को परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स में विभाजित करेंगे। चूंकि 400, 100 का एक गुणक है इसलिए, हम जानते हैं कि यह 25, जो स्वयं भी एक परफेक्ट वर्ग है, से सम-विभाज्य (evenly divisible) है। क्विक मेंटल डिवीज़न (Quick mental division) से हमें पता चलता है कि, 400 में 25, 16 बार जाता है। संयोग से, 16 भी एक परफेक्ट वर्ग है। इस प्रकार, 400 के परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स 25 और 16 हैं क्योंकि, 25 x 16 = 400.
   • हम इसे ऐसे लिखेंगे: √400 = √(25 x 16)
2. 
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   अपने परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स का वर्गमूल लें: वर्गमूल के गुणनफल की विशेषता यह बताती है कि, किसी भी दी गई संख्याओं a और b के लिए, √(a x b) = √a x√b। इस विशेषता के कारण, अब हम उत्तर प्राप्त करने के लिए, अपने परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स का वर्गमूल लेकर, उनका आपस में गुणा कर सकते हैं।

   • हमारे उदाहरण में, हम 25 और 16का वर्गमूल लेंगे। नीचे देखें:
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20
3. 
   3
   यदि आपकी संख्या के परफेक्ट फ़ैक्टर्स नहीं बन सकते हैं, तो अपने उत्तर को सरलतम टर्म्स तक छोटा करें: वास्तविक जीवन में, अक्सर ही जिस संख्या का वर्गमूल आपको निकालना होता है वह, 400 की तरह कोई अच्छी संख्या नहीं होगी जिसके परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स स्पष्ट हों। इन मामलों में, पूर्णांक में सटीक उत्तर पाना संभव नहीं भी हो सकता है इसके बजाय, कोई भी परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स ज्ञात करके, जिन्हें आप ज्ञात कर सकते हैं, आप एक अपेक्षाकृत छोटा, सरल, आसानी से-मैनेज-हो सकने वाला वर्गमूल के रूप में उत्तर ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या को परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स और नॉन-परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स के कांबिनेशन में छोटा करें और उसके बाद उसे सरलीकृत करें।

   • आइए हम उदाहरण के लिए, 147 के वर्गमूल का प्रयोग करें। 147, दो परफेक्ट वर्गों का गुणनफल नहीं है इसलिए, ऊपर दिए गए अनुसार, हम मान को एक सटीक पूर्णांक नहीं पा सकते हैं। तथापि, यह एक परफेक्ट वर्ग और एक अन्य संख्या 49 और 3 का गुणनफल है। इस जानकारी का उपयोग करके हम अपना उत्तर सरलतम टर्म्स में निम्नानुसार लिख सकते हैं:
     • √147
     • =√(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7 x √3
4. 
   4
   यदि आवश्यक हो तो अनुमान लगाएँ: सरलतम टर्म्स में आपके वर्गमूल से, किसी भी बचे हुए वर्गमूल को गेस (guess) करके और गुणा करके, समान्यतया किसी न्यूमेरिकल उत्तर का एक रफ अनुमान लगाना काफी आसान होता है। आपके अनुमान को गाइड करने का एक तरीका है किसी भी तरफ के आपके वर्गमूल में निहित संख्या का परफेक्ट वर्ग ज्ञात करना। इससे आपको पता चल जाएगा कि वर्गमूल में निहित संख्या का दशमलव में मान इन्हीं दो संख्याओं के बीच में कहीं है, इस तरह आप उन दोनों के बीच में गेस कर पाएंगे।

   • आइए हम अपने उदाहरण पर वापस चलें। चूंकि 2² = 4 and 1² = 1, हम जानते हैं कि √3 का मान 1 और 2 के बीच में है – संभवतः 1 की अपेक्षा 2 के ज्यादा निकट। हम 1.7 का अनुमान लगाएंगे। 7 x 1.7 = 11.9 यदि हम अपनी गणना को कैलकुलेटर से जांच करें तो हम देख सकते हैं कि हमारा उत्तर, वास्तविक उत्तर 12.13 के काफी करीब है।
     • यही बड़ी संख्याओं के लिए भी काम आता है। उदाहरण के लिए, (35) का वर्गमूल का अनुमान 5 और 6 के बीच लगाया जा सकता है (शायद 6 के काफी निकट)।5² = 25 and 6 ² = 36. 35 25 और 36 के बीच है, तो इसका वर्गमूल अवश्य ही 5 और 6 के बीच होगा। चूंकि, 35 से 36 एक ही अंक ज्यादा है इसलिए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि इसका वर्गमूल 6 से बस थोड़ा ही कम होगा। कैलकुलेटर से चेक करने पर हमें 5.92 के लगभग का उत्तर मिलता है – अर्थात हम सही थे।
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   पहले स्टेप के रूप में, अपनी संख्या को छोटा करके लोवेस्ट कामन फैक्टर में बदल लें: यदि आप आसानी से किसी संख्या के प्राइम फैक्टर्स (ऐसे फैक्टर्स जो प्राइम नंबर भी हों) निर्धारित कर सकते हैं, तो परफेक्ट वर्ग फैक्टर ज्ञात करना जरूरी नहीं है। अपनी संख्या को उसके लोवेस्ट कामन फैक्टर के टर्म्स में लिखें। उसके बाद, अपने फ़ैक्टर्स में,उससे मैचिंग प्राइम नंबर्स काजोड़ा देखें। जब आपको मैच करते हुए दो प्राइम फ़ैक्टर्स मिल जाएँ, तो वर्गमूल में से इन दोनों संख्याओं को हटा दें और उनमें से एक को वर्गमूल के बाहर लिख दें।

   • एक उदाहरण के तौर पर, आइए हम इस विधि का प्रयोग करके 45 का वर्गमूल ज्ञात करें। हम जानते हैं कि, 45 = 9 x 5 होता है और हम यह भी जानते हैं कि 9 = 3 x 3 होता है। इस प्रकार, हम अपने वर्गमूल को इस तरह के फ़ैक्टर्स के टर्म्स में लिख सकते हैं: √(3 x 3 x 5)। अब अंदर के दोनों 3 को हटाकर, एक 3 को वर्गमूल के बाहर लिखें और अपने वर्गमूल को सरलतम टर्म्स में प्राप्त करें: 3 x √5। यहाँ से, अनुमान लगाना आसान है।
   • उदाहरण स्वरूप एक अंतिम सवाल के लिए, आइए हम 88 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करें:
     • √88
     • = √(2 x 44)
     • = √(2 x 4 x 11)
     • = √(2 x 2 x 2 x 11). हमारे वर्गमूल में कई 2 मौजूद हैं। चूंकि, 2 एक प्राइम नंबर है, इसलिए हम 2 के एक जोड़े को अंदर से हटाकर, एक 2 को वर्गमूल के बाहर लिख सकते हैं।
     • = सरलतम टर्म्स में हमारा वर्गमूल, 2 x √(2 x 11) या 2 x √2 x √11 होगा। यहाँ से, हम √2 और √11 के मान का अनुमान लगा सकते हैं और यदि चाहें तो एक लगभग सही उत्तर ज्ञात कर सकते हैं।

विधि 2

विधि 2 का 2:

वर्गमूल मैनुअली ज्ञात करना

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एक लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिदम (Long Division Algorithm) का प्रयोग करना

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   अपनी संख्या के अंकों (digits) को जोड़ों में अलग करें: यह विधि, अंक-दर-अंक (digit-by-digit) एक सटीक exact) वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, एक लॉन्ग डिवीजन जैसी प्रक्रिया का प्रयोग करती है। यद्यपि, यह आवश्यक नहीं है तथापि, यदि आप अपने वर्क-स्पेस और संख्या को वर्केबल चंक्स (workable chunks) में विजुअली आर्गेनाइज़ करते हैं तो आपको लग सकता है कि, इस प्रक्रिया को करना सबसे आसान है। सबसे पहले, एक वर्टिकल लाइन खींच कर अपने वर्क एरिया को दो सेक्शंस में अलग करें, उसके बाद एक उससे छोटी लाइन दाहिने सेक्शन के टॉप के निकट खींचें ताकि एक छोटा ऊपरी सेक्शन और एक बड़ा निचला सेक्शन बन जाए। उसके बाद, दशमलव बिन्दु से शुरू करते हुए, अपनी संख्या को, अंकों के जोड़ों में, अलग करें। उदाहरणार्थ, नियम का पालन करते हुए, 79,520,789,182.47897 बदलकर "7 95 20 78 91 82. 47 89 70"बन जाता है। अपनी संख्या को लेफ्ट स्पेस के टॉप पर लिखें।

   • एक उदाहरण के लिए, आइए हम 780.14 के वर्गमूल की गणना करने का प्रयास करें। ऊपर किए गए के अनुसार, दो लाइंस खींच कर वर्कस्पेस को विभाजित करें और लेफ्ट स्पेस के टॉप पर "7 80. 14" लिखें। यह ठीक है कि, सबसे बाएँ ओर का हिस्सा, संख्याओं का एक जोड़ा न होकर एक एकल संख्या है। आप टॉप राइट स्पेस में अपना उत्तर (780.14 का वर्गमूल) लिखेंगे।
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   उस सबसे बड़े पूर्णांक n को ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग, सबसे बाएँ ओर वाली संख्या (या जोड़ा) के बराबर या उससे कम हो: अपनी संख्या के सबसे बाएँ ओर वाले "हिस्से", चाहे वह एक जोड़ा हो या एकल संख्या, से शुरू करें। उस सबसे बड़े परफेक्ट वर्ग को ज्ञात करें जो इस हिस्से से छोटा या उसके बराबर हो, उसके बाद उस परफेक्ट वर्ग का वर्गमूल लें। यह संख्या n है। n को राइट स्पेस के टॉप पर और n के वर्ग को बाटम-राइट क्वाड्रेंट (quadrant) में लिखें।

   • हमारे उदाहरण में, सबसे बाएँ वाला "हिस्सा", संख्या 7 है। चूंकि, हम जानते हैं कि, 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9 इसलिए, हम कह सकते हैं कि, n = 2 क्योंकि, यही वो सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग, 7 से कम या उसके बराबर है। टॉप-राइट क्वाड्रेंट में 2 लिखें। यह हमारे उत्तर का पहला अंक है। बाटम-राइट क्वाड्रेंट में 4 (2 का वर्ग) लिखें। यह संख्या अगले स्टेप में महत्वपूर्ण होगी।
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   घटाएँ उस संख्या को, जिसकी गणना आपने अभी-अभी सबसे बाईं ओर के जोड़े से किया है: जैसा लॉन्ग डिवीजन्स के साथ होता है, अगला स्टेप, हमारे द्वारा अभी-अभी विश्लेषित हिस्से से तुरंत प्राप्त किए गए वर्ग को घटाना है। संख्या को पहले हिस्से के नीचे लिखकर घटाएँ और उसके नीचे अपना उत्तर लिखें।

   • हमारे उदाहरण में, हम 4 को 7 के नीचे लिखेंगे और उसके बाद घटाएंगे। यह हमें एक उत्तर के रूप में 3 देता है।
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   संख्या के अगले जोड़े को नीचे लाएँ: उस संख्या, जिसका वर्गमूल आप ज्ञात कर रहे हैं, के अगले "चंक" को, आप द्वारा घटाने के बाद प्राप्त मान के बगल में लिखें। उसके बाद, टॉप-राइट क्वाड्रेंट में स्थित संख्या को 2 से गुणा करें और बाटम-राइट क्वाड्रेंट में लिखें। उसके बाद, आपने अभी-अभी जो संख्या लिखी है, उसके बगल में, अगले स्टेप में किए जाने वाले '"_x_="' लिखकर एक मल्टिप्लिकेशन प्रोब्लेम को हल करने के लिए जगह छोड़ें।

   • हमारे उदाहरण में, हमारी संख्या में अगला जोड़ा "80" है। बाएँ क्वाड्रेंट में 3 के बगल में "80" लिखें।उसके बाद, टॉप-राइट में स्थित संख्या को 2 से गुणा करें। यह संख्या 2 है, तो 2 x 2 = 4। बाटम-राइट क्वाड्रेंट में "'4"' लिखकर उसके बाद _x _= लिखें।
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   राइट क्वाड्रेंट में खाली जगहों को भरें: आपको प्रत्येक खाली जगह को, जिसे अभी-अभी आपने राइट क्वाड्रेंट में लिखा है, उसी पूर्णांक से भरना होगा । यह पूर्णांक वह सबसे बड़ा पूर्णांक होना चाहिए जो राइट क्वाड्रेंट में लिखे मल्टिप्लिकेशन प्रोब्लेम के उत्तर को बाएँ तरफ के वर्तमान संख्या से छोटा या उसके बराबर होने की अनुमति देता है।

   • हमारे उदाहरण में, खाली जगहों में 8 भरने से, हमें 4 (8) x 8 = 48 x 8 = 384 मिलता है। यह 380 से बड़ा है। इसलिए, 8 कुछ ज्यादा ही बड़ा है परंतु 7 शायद काम करेगा। खाली जगहों में 7 लिखें और हल करें: 4 (7) x 7 = 329। चूंकि, 380 से 329 छोटा है इसलिए, 7 बाहर निकल जाता है। टॉप-राइट क्वाड्रेंट में 7 लिखें। 780.14 के वर्गमूल में यह दूसरा अंक है।
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   अभी-अभी कैलकुलेट किए गए नंबर को बाएँ ओर के वर्तमान नंबर में से घटाएँ और अपना उत्तर नीचे लिखें: घटाने की, लॉन्ग-डिवीजन-स्टाइल-चेन को जारी रखें। मल्टिप्लिकेशन प्रोब्लेम के उत्तर को राइट क्वाड्रेंट में ले जाएँ और उसे बाएँ ओर स्थित वर्तमान संख्या में से घटाएँ और उत्तर को नीचे लिखें।

   • हमारे उदाहरण में, हम 380 में से 329 को घटाएंगे जिससे हमें उत्तर के रूप में 51 मिलता है।
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   7
   स्टेप 4 को दोहराएँ: जिस संख्या का वर्गमूल आप ज्ञात करना चाहते हैं उसके अगले चंक को नीचे लाएँ। जब आप अपने संख्या के दशमलव बिन्दु पर पहुँचते हैं, तब टॉप-राइट-क्वाड्रेंट में, अपने उत्तर में एक दशमलव बिन्दु लगाएँ। उसके बाद, टॉप-राइट में अपनी संख्या में 2 से गुणा करें और उसे ऊपर की ही तरह, ब्लैंक मल्टिप्लिकेशन प्रोब्लेम के बगल में लिखें ("_ x _")।

   • हमारे उदाहरण में, चूंकि अब हमारा सामना 780.14 में दशमलव बिन्दु से हो रहा है, इसलिए हमारे टॉप-राइट में उत्तर के बाद एक दशमलव बिन्दु लगाएँ। उसके बाद अगले जोड़े (14) को लेफ्ट-क्वाड्रेंट में नीचे लाएँ। टॉप-राइट में संख्या (27) का दोगुना 54 है, तो बाटम-राइट-क्वाड्रेंट में "54 _x _=" लिखें।
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   स्टेप 5 और 6 को दोहराएँ: दाहिने ओर के खाली जगहों में भरने के लिए सबसे बड़े अंक को ज्ञात करें जिससे प्राप्त उत्तर, बाएँ ओर वाली वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो। उसके बाद सवाल को हल करें।

   • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाएँ ओर की संख्या (5114) से कम या उसके बराबर है। 549 x 10 = 5490, जो काफी जायदा बड़ा है इसलिए, 9 ही हमारा उत्तर होगा। टॉप-राइट-क्वाड्रेंट में अगला अंक 9 लिखें और गुणा के उत्तर को बाएं ओर वाली संख्या में से घटाएँ: 5114 -4941 = 173 है।
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   9
   अंको को कैलकुलेट करना जारी रखें: शून्य के एक जोड़े को बाएँ ओर नीचे लाएँ और स्टेप्स 4, 5 और 6 को दोहराएँ। अतिरिक्त शुद्धता के लिए इस प्रक्रिया को, अपने उत्तर में सौवें और हज़ारवें अंकों आदि तक ज्ञात करने के लिए दोहराते रहें। इस चक्र को तब तक चलाते रहें जब तक आपका उत्तर वांछित दशमलव अंकों तक न पहुँच जाए।

प्रक्रिया को समझना

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   मान लीजिए कि, जिस संख्या का आप वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं, वह एक वर्ग का क्षेत्रफल S है: चूंकि एक वर्ग का क्षेत्रफल L² होता है जहां, L उसके किसी एक भुजा की लंबाई है इसलिए, अपनी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करते हुए, वास्तव में आप उस वर्ग के एक भुजा की लंबाई L की गणना करने का प्रयास कर रहे हैं।
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   अपने उत्तर के प्रत्येक अंक के लिए, अलग-अलग अक्षरों को निर्धारित करें: L (जिसके वर्गमूल की गणना करने का हम प्रयास कर रहे हैं) उसके पहले अंक के लिए A को निर्धारित करें। दूसरे अंक के लिए B, तीसरे अंक के लिए C और ऐसे ही आगे भी करें।
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   अपने शुरुआती संख्या के प्रत्येक "चंक" के लिए लेटर वैरिएबल्स (letter variables) निर्धारित करें: S (आपके शुरुआती वैल्यू) में अंकों के प्रथम जोड़े को S_a वैरिएबल निर्धारित करें, अंकों के दूसरे जोड़े को S_b वैरिएबल निर्धारित करें, आदि।
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   लॉन्ग डिवीजन से इस विधि के संबंध को समझें: वर्गमूल ज्ञात करने की यह विधि आवश्यक रूप से एक लॉन्ग डिवीजन प्रॉबलम है जो आपके शुरुआती संख्या को उसके वर्गमूल से विभाजित करती है, इस प्रकार उसके वर्गमूल को एक उत्तर के रूप में देती है। लॉन्ग डिवीजन वाले सवाल की तरह ही, जिसमें एक बार में आप अगले एक ही अंक में रुचि रखते हैं, यहाँ एक बार में, आप अगले दो अंकों रुचि रखते हैं (जो वर्गमूल के लिए एक बार में अगले एक अंक से संबन्धित होता है)।
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   वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग S_a से कम या इसके बराबर हो: तब, हमारे उत्तर का पहला अंक A, वह सबसे बड़ा पूर्णांक होगा जहां वर्गमूल S_a (अर्थात A ताकि A² ≤ Sa < (A+1)²) से अधिक नहीं होगा। हमारे उदाहरण में, S_a = 7, और 2² ≤ 7 < 3², तो A = 2 है।

   • नोट करें कि, उदाहरण के लिए, यदि आप 88962 को 7 से, लॉन्ग डिवीजन के द्वारा, विभाजित करना चाहते हैं, तो पहला स्टेप समान ही होगा: आप 88962 के प्रथम अंक (8) को देखेंगे और आप सबसे बड़ा अंक जानना चाहेंगे जिसमें 7 से गुणा करने पर ऐसा अंक प्राप्त हो जो 8 से छोटा या उसे बराबर हो। वास्तव में, आप d ज्ञात कर रहे हैं ताकि 7×d ≤ 8 < 7×(d+1) हो। इस सवाल में d का मान 1 के बराबर होगा।
6. 
   6
   उस वर्ग की कल्पना करें जिसके क्षेत्रफल की गणना आप शुरू करने वाले हैं: आपका उत्तर, आपके शुरुआती संख्या का वर्गमूल L है, जो S (आपकी शुरुआती संख्या) क्षेत्रफल वाले किसी वर्ग की लंबाई है। A,B,C, के लिए आपके मान, L के मान में अंकों को दर्शाते हैं। इसे हल करने का एक दूसरा तरीका यह है कि, एक दो-अंकों वाले उत्तर के लिए, 10A + B = L, जबकि एक तीन-अंकों वाला उत्तर, 100A +10B + C = L, और आगे भी ऐसा ही होगा।

   • हमारे उदाहरण में, (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2x 10Ax B + B²। याद रखें कि, 10A+B हमारे उत्तर L को दर्शाता हैं जहां B इकाई (Units) की जगह पर और A दहाई (Tens) की जगह पर है। उदाहरण के लिए, यदि A=1 और B=2, तो 10A+B का मान 12 ही होगा। (10A+B)² परफेक्ट वर्ग का क्षेत्रफल है, जबकि 100A² अंदर वाले सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है, B² सबसे छोटे वाले वर्ग का क्षेत्रफल है, और 10Ax B शेष दोनों आयतों का क्षेत्रफल है। इस लंबे, जटिल प्रक्रिया को करने से हम सम्पूर्ण वर्ग का क्षेत्रफल, उसके अंदर के वर्गों और आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़ कर प्राप्त करते हैं।
7. 
   7
   A² को S_a में से घटाएँ: S में से अंकों का एक जोड़ा (S_b) नीचे लाएँ। S_a S_b वर्ग का लगभग कुल क्षेत्रफल है, जिसे आपने अभी-अभी अपेक्षाकृत बड़े आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल में से घटाया है। ऐसा सोचा जा सकता है कि, शेष संख्या N1 है, जिसे हमने स्टेप 4 (हमारे उदाहरण में N1 =380) में प्राप्त किया था। N1=2x 10Ax B + B² (दोनों आयतों का क्षेत्रफल + छोटे वर्ग का क्षेत्रफल)।
8. 
   8
   N1 = 2×10A×B + B² को ढूंढें, जो N1 = (2×10A + B) × B के जैसा भी लिखा जाता है: हमारे उदाहरण में, आपको पहले से पता है कि, N1 (380) और A (2) है, इसलिए आपको B को ज्ञात करने की आवश्यकता है। ज्यादा संभावना इस बात की है कि B एक पूर्णांक नहीं होगा इसलिए, आपको सबसे बड़े पूर्णांक B को वास्तव में ज्ञात करना होगा ताकि (2×10A + B) × B ≤ N1 हो। इस प्रकार, आपके पास: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1) है।)
9. 
   9
   हल करें: इस समीकरण को हल करने के लिए, A को 2 से गुणा करें, इसे दहाई (जो 10 से गुणा करने के समतुल्य है) की जगह पर ले जाएँ, B को इकाई की जगह पर ले जाएँ, और इसके पश्चात प्राप्त संख्या को B से गुणा करें। अन्य शब्दों में, (2×10A + B) × B को हल करें। यह एकदम वही है जो आप तब करते हैं जब आप स्टेप 4 में बाटम-राइट-क्वाड्रेंट में "N_×_=" (जहां N=2×A) लिखते हैं। स्टेप 5 में, आप उस सबसे बड़े पूर्णांक B को ज्ञात करते हैं, जो अंडरस्कोर (underscore) में इस तरह फिट हो जाता है कि, (2×10A + B) × B ≤ N1 हो।
10. 
    10
    (2×10A + B) × B क्षेत्रफल को कुल क्षेत्रफल में से घटाएँ: यह आपको S-(10A+B)² क्षेत्रफल देगा जो अभी शामिल नहीं है (और जिसका उपयोग, समान विधि से, अगले अंकों की गणना करने के लिए किया जाएगा)।
11. 
    11
    अगले अंक C की गणना के लिए, प्रक्रिया को दोहराएँ: S से, बाइं ओर N2 को प्राप्त करने के लिए, अगली जोड़ी (S_c) को नीचे लाएँ और सबसे बड़े C को ढूंढें ताकि आपके पास (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 रहे (दो-अंको वाली संख्या "A B" को दो बार लिखकर उसके बाद "_ × _=" लिखा होने के समतुल्य है। उस सबसे बड़े अंक को ढूंढें जो खाली जगहों पर भरने से वह उत्तर देगा जो पहले की भांति या तो N2 से कम होगा या उसके बराबर होगा।

सलाह

• यह विधि केवल 10 (दशमलव) के बेस (Base) के लिए ही नहीं बल्कि किसी भी बेस पर काम करती है।
• उदाहरण में, 1.73 को एक "शेष Remainder" समझा जा सकता है: 780.14 = 27.9² + 1.73।
• एक वैकल्पिक विधि, कन्टीन्यूड फ्रैक्शंस (continued fractions) का उपयोग करते हुए, इस फार्मूले का अनुसरण कर सकती है: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...)))। उदाहरण के लिए, 780.14 के वर्गमूल की गणना के लिए पूर्णांक, जिसका वर्ग 780.14 के निकटतम है वह, 28 है इसलिए, z=780.14, x=28,और y=-3.86 होगा। अंकों को भरते हुए अपने अनुमान को x + y/(2x) तक पहुंचाने से, हमे पहले ही (न्यूनतम टर्म्स में) 78207/2800 या लगभग 27.931(1); अगला टर्म, 4374188/156607 या लगभग 27.930986(5) मिलता है। प्रत्येक टर्म, पहले संख्या में दशमलव के लगभग 3 अंकों की शुद्धता जोड़ता है।
• उस कैलकुलस को बेहिचक प्रस्तुत करें जिसके साथ आप किसी भी तरह से सहज महसूस करते हैं। कुछ लोग उत्तर को शुरुआती अंक के ऊपर लिखते हैं।
• किसी संख्या (100 का फैक्टर) में दशमलव बिन्दु को दो अंकों में आगे सरकाना, उसके वर्गमूल (10 का फैक्टर) में दशमलव बिन्दु को एक अंक में आगे सरकाता है।

चेतावनी

• दशमलव बिन्दु के बाद अंकों को, जोड़ियों में, सेपरेट करना सुनिश्चित करें। 79,520,789,182.47897 को अलग करके "79 52 07 89 18 2.4 78 97" की तरह लिखने से एक अर्थहीन संख्या प्राप्त होगी।