De wortel van een getal uitrekenen zonder rekenmachine

Voor de komst van rekenmachines moesten zowel studenten als professoren vierkantswortels met pen en papier berekenen. Er zijn indertijd diverse technieken ontstaan om dit soms zware karwei aan te pakken, waarbij sommige een ruwe schatting geven en andere de waarde exact berekenen. Lees verder om te leren hoe je de vierkantswortel van een getal kunt vinden in een paar eenvoudige stappen.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Worteltrekken met priemfactoren

Pdf downloaden

1
Deel je getal op in tweedemachtsfactoren. Deze methode maakt gebruik van de factoren van een getal om de vierkantswortel van een getal te vinden (afhankelijk van het getal kan dit een exact antwoord zijn of een schatting). De factoren van een bepaald getal zijn een willekeurige reeks getallen die met elkaar vermenigvuldigd dat bepaalde getal vormen.^[1]XBron Je kunt bijvoorbeeld stellen dat de factoren van 8 gelijk zijn aan 2 en 4 omdat 2 × 4 = 8. Perfecte vierkanten, aan de andere kant, zijn gehele getallen die het product zijn van andere gehele getallen. Bijvoorbeeld: 25, 36 en 49 zijn perfecte vierkanten omdat ze gelijk zijn aan respectievelijk 5², 6² en 7². Tweedemachtsfactoren zijn zoals je wel zal hebben begrepen, factoren die ook perfecte vierkanten zijn. Om een vierkantswortel te vinden middels priemfactoren, probeer je eerst het getal op te delen in z'n tweedemachtsfactoren.
- Neem het volgende voorbeeld. We gaan de vierkantswortel van 400 bepalen. Om te beginnen delen we het getal op in tweedemachtsfactoren. Omdat 400 een meervoud is van 100, weten we dat het gelijk deelbaar is door 25 – een perfect vierkant. Snel uit het hoofd rekenen vertelt ons dat 400 / 25 = 16. 16 is toevallig ook een perfect vierkant. Dus de tweedemachtsfactoren van 400 zijn 25 en 16 omdat 25 × 16 = 400.
- We schrijven dit als: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
2
Neem de vierkantswortels van je tweedemachtsfactoren. De productregel van vierkantswortels stelt dat voor elk gegeven getal a en b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b).^[2]XBron Vanwege deze eigenschap kunnen we nu de vierkantswortels nemen van de tweedemachtsfactoren en deze met elkaar vermenigvuldigen voor het antwoord.
- In ons voorbeeld nemen we de vierkantswortels van 25 en 16. Zie hieronder:
  - Sqrt(25 × 16)
  - Sqrt(25) × Sqrt(16)
  - 5 × 4 = 20
3
Als je getal niet helemaal perfect kan worden ontbonden, vereenvoudig deze dan. In de werkelijkheid zullen de getallen waar je de vierkantswortels van wilt bepalen geen mooie afgeronde getallen zijn met mooie tweedemachtsfactoren zoals 400. In deze gevallen kan het weleens niet mogelijk zijn om een geheel getal als antwoord te krijgen. In plaats daarvan kun je door alle tweedemachtsfactoren die je maar kunt vinden, het antwoord als kleinere, gemakkelijker te gebruiken vierkantswortel bepalen. Dit doe je door het getal te reduceren tot een combinatie van tweedemachtsfactoren en andere factoren, om deze daarna te vereenvoudigen.
- We nemen de vierkantswortel van 147 als voorbeeld. 147 is niet het product van twee perfecte vierkanten, dus kunnen we geen mooi geheel getal als waarde krijgen. Maar het is wel het product van een perfect vierkant en een ander getal - 49 en 3. We kunnen deze informatie gebruiken om ons antwoord in de eenvoudigste termen te noteren:
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 × 3)
  - = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  - = 7 × Sqrt(3)
4
Vereenvoudig, als dit nodig is. Met de vierkantswortel in de eenvoudigste termen is het meestal redelijk eenvoudig om een ruwe schatting te krijgen van het antwoord, door een schatting te geven van de overgebleven vierkantswortels en door deze te vermenigvuldigen. Een manier om je schattingen te verbeteren is door de perfecte vierkanten aan beide kanten van het getal in je vierkantswortel te vinden. Je weet dat de decimale waarde van het getal in je vierkantswortel ergens tussen deze twee getallen in ligt, dus zal je schatting ook tussen deze getallen moeten liggen.
- Laten we terugkeren naar ons voorbeeld. Omdat 2² = 4 en 1² = 1, weten we dat Sqrt(3) tussen 1 en 2 ligt – waarschijnlijk dichter bij 2 dan 1. We schatten dat 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Als we dit controleren met de rekenmachine, zien we dat we redelijk dicht in de buurt van het antwoord zijn uitgekomen: 12,13.
  - Dit werkt ook voor de grotere getallen. Sqrt(35) ligt bijvoorbeeld ongeveer tussen 5 en 6 (waarschijnlijk dichter bij 6). 5² = 25 en 6² = 36. 35 ligt tussen 25 en 36, dus zal de vierkantswortel tussen de 5 en 6 liggen. Omdat 35 net onder 36 ligt kunnen we met enig vertrouwen zeggen dat de vierkantswortel ervan net lager is dan 6. Controleren met een rekenmachine geeft ons een antwoord van ongeveer 5,92 - we hadden gelijk.
5
Als alternatief kun je als eerste stap het getal vereenvoudigen tot het kleinste gemene veelvoud. Het zoeken naar tweedemachtsfactoren is niet noodzakelijk als je gemakkelijk de priemfactoren van een getal kunt vinden (factoren die tegelijkertijd ook priemgetallen zijn). Schrijf het getal in termen van kleinste gemene veelvouden. Zoek vervolgens tussen je factoren naar overeenkomstige paren van priemgetallen. Als je twee priemfactoren vindt die overeenkomen verwijder je deze uit de vierkantswortel en plaats je één van deze getallen buiten het wortelteken.
- Een voorbeeld: we bepalen de vierkantswortel van 45 met behulp van deze methode. We weten dat 45 = 9 × 5 en dat 9 = 3 × 3. Dus kunnen we de vierkantswortel als volgt schrijven: Sqrt(3 × 3 × 5). Verwijder gewoon de 3'en en plaats een 3 buiten het wortelteken om een vereenvoudigde vierkantswortel te krijgen: (3)Sqrt(5). Nu kun je gemakkelijk een schatting maken.
- Een laatste voorbeeld; we bepalen de vierkantswortel van 88:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 × 44)
  - = Sqrt(2 × 4 × 11)
  - = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). We hebben diverse 2'en in onze vierkantswortel. Omdat 2 een priemgetal is kunnen we een paar verwijderen en een 2 buiten de wortel plaatsen.
  - = Onze vierkantswortel in eenvoudigste termen is (2) Sqrt(2 × 11) of (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Nu kunnen we Sqrt(2) en Sqrt(11) benaderen en een geschat antwoord vinden, als we dat zouden willen.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Vierkantswortels vinden zonder rekenmachine

Pdf downloaden

Met een staartdeling

1
Deel de cijfers van je getal op in paren. Deze methode lijkt op een staartdeling, waarmee je de exacte vierkantswortel van een getal cijfer voor cijfer kunt vinden. Hoewel het niet essentieel is, kan het oplossen makkelijker worden door een getal op te delen in werkbare stukken, zeker als het lang is. Trek eerst een verticale lijn waarmee je het werkgebied opdeelt in 2 gebieden, en daarna een kortere lijn vlakbij de bovenkant van het rechtergebied, waarmee je deze opdeelt in een kleiner bovendeel en een groter deel eronder. Deel vervolgens het getal op in getallenparen, te beginnen vanaf de komma. Volgens deze regel wordt 79520789182,47897 gelijk aan "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Schrijf dit getal boven in het linkergebied.
- Laten we als voorbeeld de vierkantswortel van 780,14 berekenen. Deel je werkvlak op zoals hierboven aangegeven en noteer "7 80, 14" in de linkerbovenhoek. Het is prima als er helemaal links maar één cijfer staat, in plaats van twee. Het antwoord (de vierkantswortel van 780,14) schrijf je vervolgens boven in het rechtergebied.
2
Bepaal het grootste gehele getal n waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk aan het meest linkse cijfer of getal. Vind het grootste kwadraat dat kleiner is dan of gelijk aan dit getal, en bepaal vervolgens de vierkantswortel van dit kwadraat. Dit getal is n. Noteer dat boven in het rechtergebied en schrijf het kwadraat van n in het onderste kwadrant van dat gebied.
- In ons voorbeeld is het meest linkse cijfer het getal 7. Omdat we weten dat 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, kunnen we stellen dat n = 2 omdat dit het grootste gehele getal is waarvan het kwadraat kleiner dan of gelijk aan 7 is. Schrijf 2 in het kwadrant rechtsboven. Dit is het eerste cijfer van het antwoord. Schrijf 4 (het kwadraat van 2) in het kwadrant rechtsonder. Dit getal is belangrijk voor de volgende stap.
3
Trek het getal dat je hebt berekend af van het meest linkse cijfer of getal. Evenals bij een staartdeling is de volgende stap om het kwadraat af te trekken van het getal dat we net hebben gebruikt voor de berekening. Schijf dit getal onder het meest linkse getal en trek ze van elkaar af. Noteer het antwoord eronder.
- In ons voorbeeld schrijven we een 4 onder de 7 en trekken we dit af. Dit geeft 3 als antwoord.
4
Verplaats het volgende getal naar beneden. Plaats deze naast de waarde die je in de vorige bewerking hebt gevonden. Vermenigvuldig het getal rechtsboven met twee en noteer dit rechtsonder. Houd naast het getal dat je net hebt genoteerd plaats vrij voor de keersom die je in de volgende stap gaat doen. Schrijf hier '"_×_="'.
- In ons voorbeeld is het volgende getal "80". Noteer "80" naast de 3 in het linkerkwadrant. Vervolgens vermenigvuldig je het getal rechtsboven met 2. Dit getal is 2, dus 2 × 2 = 4. Noteer "'4"' rechtsonder, gevolgd door _×_=.
5
Vul de getallen rechts in. Vul in de lege ruimte van de som (rechts) het grootste gehele getal in waarmee het resultaat van de keersom rechts lager dan of gelijk aan het huidige getal links wordt.
- In ons voorbeeld vullen we 8 in, en dit geeft 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dit is groter dan 380. Dus is 8 te groot, maar 7 waarschijnlijk niet. Vul 7 in en los op: 4(7) × 7 = 329. 7 is goed omdat 329 kleiner is dan 380. Noteer 7 rechtsboven. Dit is het tweede cijfer in de vierkantswortel van 780,14.
6
Trek het getal dat je net hebt berekend af van het huidige getal links. Dus het resultaat van de vermenigvuldiging rechts trek je af van het huidige antwoord links. Schrijf je antwoord er direct onder.
- In ons voorbeeld trekken we 329 af van 380, en dit geeft 51 als resultaat.
7
Herhaal stap 4. Verplaats het volgende getallenpaar van 780,14 naar beneden. Kom je aan bij een komma, noteer die komma dan ook in het antwoord rechts. Vermenigvuldig vervolgens het getal rechtsboven met 2 en noteer het antwoord naast ("_ × _") zoals hierboven.
- In ons antwoord noteren we nu een komma omdat we dit ook in 780,14 tegenkomen. Verplaats het volgende paar (14) naar beneden in het linkerkwadrant. 27 x 2 = 54, dus noteren we "54 _×_=" in het kwadrant rechtsonder.
8
Herhaal stap 5 en 6. Bepaal het grootste getal dat een antwoord geeft dat kleiner is dan of gelijk aan het huidige getal links. Los op.
- In ons voorbeeld is 549 × 9 = 4941, wat kleiner is dan of gelijk aan het getal links (5114). 549 × 10 = 5490, wat te hoog is, dus 9 is ons antwoord. Noteer 9 als het volgende cijfer rechtsboven en trek het resultaat van de vermenigvuldiging af van het linkergetal: 5114 -4941 = 173.
Om het resultaat nauwkeurig te maken herhaal je de voorgaande procedure tot je het antwoord vindt met het aantal decimalen (honderdsten, duizendsten) dat je nodig hebt.
Advertentie

De procedure begrijpen

Omdat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan L², waarbij L de lengte is van één van de zijden, probeer je dus door de vierkantswortel te bepalen van je getal, de lengte L te berekenen van de zijde van dat vierkant.
Geef de variabele A als het eerste cijfer van L (de vierkantswortel die we proberen te berekenen). B is het tweede cijfer, C het derde, enzovoort.
Geef de variabele S_a aan het eerste paar cijfers in S (de beginwaarde), S_b aan het tweede paar cijfers, etc.
Deze methode om een vierkantswortel te vinden is in wezen een staartdeling, waarbij je de beginwaarde deelt door z'n vierkantswortel en waarbij de vierkantswortel als antwoord wordt "gegeven". Evenals bij een staartdeling, waarbij je per keer alleen maar geïnteresseerd bent in het volgende cijfer, ben je hierbij per keer alleen geïnteresseerd in de volgende twee cijfers (die overeenkomen met het volgende cijfer van de vierkantswortel).
5
Bepaal het grootste getal waarvan het kwadraat kleiner dan of gelijk aan S_a is. Het eerste cijfer A in ons antwoord is dan het grootste gehele getal waarvan het kwadraat niet groter is dan S_a (A zodat A² ≤ Sa < (A+1)²). In ons voorbeeld is S_a = 7, en 2² ≤ 7 < 3², dus A = 2.
- Merk op dat als je 88962 deelt door 7 via een staartdeling, de eerste stap gelijk is: je behandelt eerst het eerste cijfer van 88962 (8) en je wilt het grootste cijfer dat vermenigvuldigd met 7 kleiner is dan of gelijk aan 8. In essentie bepaal je d zo, dat 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). In dit geval is d gelijk aan 1.
6
Visualiseer het vierkant waar je de oppervlakte van wilt vinden. Jouw antwoord, de vierkantswortel van de beginwaarde, is L, waarmee je de lengte beschrijft van een vierkant met oppervlakte S (de beginwaarde). De waarden voor A, B en C representeren de cijfers in de waarde L. Een andere manier om dit te zeggen is dat voor een antwoord met 2 cijfers, 10A + B = L, en voor een antwoord met 3 cijfers geldt dat 100A +10B + C = L, enzovoort.
- In ons voorbeeld is (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Onthoud dat 10A+B ons antwoord L samen met B voorstelt in de eenhedenpositie, en A in de tientallenpositie. Bijvoorbeeld: als A=1 en B=2, dan is 10A+B het getal 12. (10A+B)² is de oppervlakte van het hele vierkant, terwijl 100A² de oppervlakte is van het grootste binnenste vierkant, B² is de oppervlakte van het kleinste vierkant en 10A×B is de oppervlakte van elk van de overgebleven rechthoeken. Middels deze lange, ingewikkelde procedure kunnen we de oppervlakte vinden van het hele vierkant, door het optellen van de oppervlakten van de vierkanten en rechthoeken die er onderdeel van zijn.
Breng een cijferpaar (S_b) naar beneden van het getal S. S_a S_b is bijna de totale oppervlakte van het vierkant, waarvan je net de oppervlakte van het grootste binnenste vierkant hebt afgetrokken. De rest is zeg maar het getal N1, dat we in stap 4 (N1 =380 in ons voorbeeld) hebben verkregen. N1 is gelijk aan 2×10A×B + B² (de oppervlakte van de 2 rechthoeken plus de oppervlakte van het kleine vierkant).
In ons voorbeeld weet je al N1 (380) en A (2), dus moet je nu B vinden. B is waarschijnlijk geen geheel getal, dus moet je feitelijk het grootste gehele getal B vinden, zodat (2×10A + B) × B ≤ N1. Dus nu heb je: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
Om deze vergelijking op te lossen vermenigvuldig je A met 2, verschuif je deze naar het tiental (vermenigvuldigen met 10), plaats je B in de eenheden en vermenigvuldig je het resultaat met B. Met andere woorden, (2×10A + B) × B. Dit is exact wat je doet als je schrijft "N_×_=" (met N=2×A) in het onderste kwadrant rechts in stap 4. In stap 5 bepaal je het grootste gehele getal B dat past onder de lijn, zodat (2×10A + B) × B ≤ N1.
Dit levert de oppervlakte S-(10A+B)² op waar je nog geen rekening mee hebt gehouden (en die je gebruikt om de volgende cijfers op dezelfde manier te berekenen).
Verplaats het volgende cijferpaar van S naar beneden (S_c) om N2 aan de linkerkant te krijgen, en zoek naar de grootste C zodat je nu het volgende hebt: (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (gelijk aan tweemaal het tweecijferige getal "A B" gevolgd door "_×_=" . Bepaal nu het grootste cijfer dat je hier in kunt vullen, waarmee je een antwoord krijgt dat kleiner is dan of gelijk aan N2.
Advertentie

Tips

Het verplaatsen van de komma met twee plaatsen (een factor 100), verplaatst de komma in de bijhorende vierkantswortel met één plaats (een factor 10).
In het voorbeeld kan 1,73 worden beschouwd als "rest": 780,14 = 27,9² + 1,73.
Deze methode werkt voor elk talstelsel, niet alleen voor het decimale (tientallige) stelsel.
Voel je vrij om de berekeningen te plaatsen waar je wilt. Sommige mensen noteren het boven het getal waar ze de wortel van willen berekenen.
Een alternatieve methode is de volgende: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Om bijvoorbeeld de vierkantswortel van 780,14 te berekenen, neem je het gehele getal waarvan het kwadraat het dichtst bij 780,14 ligt (28), dus =780,14, x=28, en y=-3,86. Invullen en schatten levert ons x + y/(2x) op en dit geeft (vereenvoudigde termen) 78207/2800 of ongeveer 27,931(1); de volgende term, 4374188/156607 of ongeveer 27,930986(5). Elke term voegt ongeveer 3 decimalen aan precisie toe aan de voorgaande.

Advertentie

Waarschuwingen

Zorg dat je het getal in paren verdeelt vanaf de komma. Het opdelen van 79520789182,47897 als "79 52 07 89 18 2,4 78 97" geeft een resultaat wat niet klopt.

Advertentie