Como Calcular uma Raiz Quadrada à Mão

Baixe em PDF

Baixe em PDF

Neste Artigo:

Usando a fatoração de primos

Calculando raízes quadradas de forma manual

Artigos Relacionados

Referências

Antes da chegada da calculadora, tanto estudantes quanto professores tinham que calcular raízes quadradas à mão. Diversos métodos evoluíram para melhor lidar com esse processo assustador, uns trazendo aproximações e outros um valor mais exato. Para saber como calcular uma raiz quadrada à mão usando operações simples, leia o Passo 1 para começar.

Passos

Método 1

Método 1 de 2:

Usando a fatoração de primos

Baixe em PDF

1. 
   1
   Divida o número por fatores quadrados perfeitos. Esse método usa os fatores de um número para calcular uma raiz quadrada (dependendo do valor, pode ser que se trate de uma resposta precisa ou estimada). Os fatores de um número são qualquer conjunto de outros que se multiplicam para alcançá-lo. Você poderia dizer, por exemplo, que os fatores de $8$ são $2$ e $4$ porque $2\times 4=8$. Quadrados perfeitos, por outro lado, são números inteiros resultantes da multiplicação entre outros números inteiros. Os valores $25$, $36$ e $49$, por exemplo, são quadrados perfeitos porque podem ser representados por $5^{2}$, $6^{2}$ e $7^{2}$, respectivamente. Os fatores de quadrados perfeitos, como você já deve imaginar, são também quadrados perfeitos. Para começar a encontrar a raiz quadrada através da fatoração de primos, reduza os valores a seus fatores quadrados perfeitos.

   • Em um exemplo, você terá que calcular a raiz quadrada de $400$ a mão. Para começar, basta dividir o valor em seus fatores quadrados perfeitos. Uma vez que $400$ é um múltiplo de $100$, sabe-se ainda que ele é divisível por $25$ — um quadrado perfeito. Uma divisão mental rápida o fará ver que $25$ cabe $16$ vezes no número $400$, valor esse que coincidentemente é também um quadrado perfeito. Assim sendo, os fatores quadrados perfeitos de $400$ serão $25$ e $16$ porque $25\times 16=400$.
   • A primeira etapa do exercício será escrita como: ${\sqrt {400}}={\sqrt {25\times 16}}$
2. 
   2
   Calcule as raízes quadradas dos fatores quadrados perfeitos. A propriedade do produto de raízes quadradas afirma que, para quaisquer valores $a$ e $b$ dados, ${\sqrt {a\times b}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$. Por conta disso, é possível agora extrair as raízes quadradas dos fatores e multiplicá-los a fim de chegar à resposta.

   • No exemplo em questão, serão extraídas as raízes quadradas de $25$ e $16$ como a seguir:
     • ${\begin{aligned}{\sqrt {25\times 16}}\\{\sqrt {25}}\times {\sqrt {16}}\\5\times 4&=20\end{aligned}}$
3. 
   3
   Reduza o valor resultante a seus termos mais simples, caso não seja possível fatorá-lo de forma perfeita. Na prática, os números dificilmente serão perfeitos e exatos com fatores que são também quadrados perfeitos (como $400$). Nesses casos, talvez não seja possível chegar a uma resposta inteira exata. Em vez disso, ao determinar os fatores que porventura sejam quadrados perfeitos, você poderá calcular a resposta em função de uma raiz quadrada menor e mais simples e fácil de trabalhar. Basta reduzir o número à combinação de fatores que sejam quadrados perfeitos com outros que não o sejam. A seguir, simplifique o resultado.

   • Suponha que a raiz quadrada de $147$ seja usada como exemplo. Esse número não é o produto de dois quadrados perfeitos, então não é possível chegar a um valor inteiro como no caso anterior. Entretanto, trata-se do produto entre um quadrado perfeito e outro número — $49$ e $3$. Esses dados serão usados para avançar em busca da resposta nos termos mais simples, como a seguir:
     • ${\begin{aligned}{\sqrt {147}}&={\sqrt {49\times 3}}\\&={\sqrt {49}}\times {\sqrt {3}}\\&=7\times {\sqrt {3}}\end{aligned}}$
4. 
   4
   Se necessário, faça estimativas. Com a raiz quadrada em seus termos mais simples, fica mais simples chegar à estimativa de uma resposta numérica estipulando o valor das raízes quadradas remanescentes e multiplicando os valores apropriados. Uma forma de se guiar por essas estimativas é encontrar os quadrados perfeitos ao lado do número presente na raiz quadrada. Você saberá que as casas decimais desse número estará entre esses dois valores e, por isso, será mais fácil estipular o que existe entre eles.

   • Retornando ao exemplo e sendo $2^{2}=4$ e $1^{1}=1$, pode-se ver que ${\sqrt {3}}$ está entre $1$ e $2$ — e provavelmente mais próximo do número maior. Ao estimar $1,7$ você descobrirá que $1,7\times 7=11,9$. Basta conferir a operação com o auxílio de uma calculadora e você perceberá que se aproximou bastante da resposta verdadeira ($12,13$).
     • Isso também funciona em números maiores. É possível, por exemplo, estimar que ${\sqrt {35}}$ está entre $5$ e $6$ (provavelmente mais próximo do número maior). Se $5^{2}=25$ e $6^{2}=36$ e $35$ se encontra entre ambos os valores, é provável que sua raiz quadrada esteja também entre $5$ e $6$. Levando em consideração que $35$ está a um pequeno passo de $36$, você pode afirmar com confiança que sua raiz quadrada está logo abaixo do valor $6$. Ao efetuar o cálculo em uma calculadora, chega-se a $5,92$ como resultado — a suposição estava correta.
5. 
   5
   Em primeiro lugar, reduza o número a seus mínimos múltiplos comuns. Não é necessário encontrar fatores que sejam quadrados perfeitos se você for capaz de determinar os fatores primos de um número (ou seja, que também sejam números primos). Escreva o valor em questão tomando por base os mínimos múltiplos comuns. A seguir, procure por pares de números primos que se combinem entre si. Ao encontrar duas opções que atendem a esses requisitos, tire-os da raiz quadrada e coloque um deles no lado de fora.

   • Como exemplo, tente encontrar a raiz quadrada de $45$ com esse método. Sabe-se que $45=9\times 5$ e que $9=3\times 3$. Por conta disso, é possível escrever a raiz quadrada em termos de seus fatores: ${\sqrt {3\times 3\times 5}}$. Basta tirar os dois $3$ presentes no interior da raiz e colocar um deles no lado de fora para chegar aos termos mais simples: $3{\sqrt {5}}$. A partir daqui, fica fácil estimar.
   • Como um último exemplo, tente calcular a raiz quadrada de $88$:
     • ${\begin{aligned}{\sqrt {88}}&={\sqrt {2\times 44}}\\&={\sqrt {2\times 4\times 11}}\\&={\sqrt {2\times 2\times 2\times 11}}\end{aligned}}$
       Aqui há diversos valores $2$ no interior da raiz quadrada — como se trata de um número primo, basta tirar um dos pares e colocar uma das unidades no lado externo.
     • Como resultado, a raiz quadrada em seus termos mais simples será $2{\sqrt {2\times 11}}$ ou $2{\sqrt {2}}{\sqrt {11}}$. A partir daqui, você poderia estimar os valores de ${\sqrt {2}}$ e ${\sqrt {11}}$ se desejar.
   Publicidade

Método 2

Método 2 de 2:

Calculando raízes quadradas de forma manual

Baixe em PDF

1. 
   1
   Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo, $79.529.789.182,47897$ se torna $7/95/20/78/91/82,/47/89/70$. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.

   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de $780,14$. Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva $7/80,/14$ na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (${\sqrt {780,14}}$) na região direita superior.
2. 
   2
   Descubra qual é o maior $$ n {\displaystyle n} inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por $n$. Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.

   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número $7$. Como se sabe que $2^{2}=4\leq 7<3^{2}=9$, é possível afirmar que $n=2$, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a $7$. Escreva $2$ no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva $4$ (quadrado de $2$) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
3. 
   3
   Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um $4$ será colocado abaixo do $7$ a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a $3$.
4. 
   4
   Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por $2$ e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo: $\_\_\_\times \_\_\_=$.

   • No exemplo, o próximo par à disposição é $80$. basta observá-lo próximo ao $3$ do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por $2$ e obtenha $2$, de modo que $2\times 2=4$. Escreva $4$ no canto direito inferior, seguido por $\_\_\_\times \_\_\_=\_\_\_$.
5. 
   5
   Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com $8$ dá como resultado: $4(8)\times 8=48\times 8=384$. Esse é um valor maior que $380$. Dessa forma, $8$ é grande demais, mas $7$ provavelmente servirá. Escreva $7$ nos espaços em branco e prossiga: $4(7)\times 7=329$. Confirma-se que ele atende à necessidade porque $329\leq 380$, então escreva o número $7$ no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de $780,14$.
6. 
   6
   Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo, $329$ será subtraído de $380$, resultando em $51$.
7. 
   7
   Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por $2$ e escreva a operação em branco ($\_\_\_\times \_\_\_$) como previamente.

   • No exemplo, como a vírgula de $780,14$ está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte ($14$) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por $2$ o valor no topo direito ($27$), obtém-se $54$ — escreva $54\_\_\_=$ no quadrante direito inferior.
8. 
   8
   Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo, $549\times 9=4.941$, que é menor ou igual ao número à esquerda ($5.114$). Observando-se que $549\times 10=5.490$, que é alto demais, você chega à conclusão de que $9$ é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda: $5.114-4.941=173$.
9. 
   9
   Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
   Publicidade

Entendendo o processo

1. 
   1
   Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área $$ S {\displaystyle S} de um quadrado. Como essa área tem por fórmula $L^{2}$, onde $L$ representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento $L$ do quadrado em questão.
2. 
   2
   Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável $A$ como sendo a primeira casa decimal de $L$ (raiz quadrada que está sendo calculada), $B$ como sendo a segunda, $C$ como sendo a terceira e assim por diante.
3. 
   3
   Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável $S_{a}$ ao primeiro par de casas decimais em $S$ (valor inicial), $S_{b}$ ao segundo par de casas decimais e assim por diante.
4. 
   4
   Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
5. 
   5
   Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a $$ S a {\displaystyle S_{a}} . A primeira casa decimal $A$ na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede $S_{a}$ (de modo que $A^{2}\leq S_{a}<(A+1)^{2}$). No exemplo, $S_{a}=7$ e $2^{2}\leq 7<3^{2}$, de modo que $A=2$.

   • Em um exemplo, se você quisesse dividir $88.962$ por $7$ através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito ($8$) e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por $7$, resultaria em algo menor ou igual a $8$. Basicamente, trata-se de encontrar $d$ de modo que $7\times d\leq 8<7\times (d+1)$. Nesse caso, $d$ seria igual a $1$.
6. 
   6
   Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por $L$, que descreve o comprimento de um quadrado de área $S$ (número inicial). Os valores para $A$, $B$ e $C$ representam as casas decimais presentes em $L$. Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais $10A+B=L$, no caso de uma resposta com três casas decimais $100A+10B+C=L$ e assim por diante.

   • No exemplo, $(10A+b)^{2}=L^{2}=S=100A^{2}+2\times 10A\times B+B^{2}$. Lembre-se de que $10A+B$ representa a resposta $L$ com $A$ na casa das unidades e $A$ na casa das dezenas. Tomando-se $A=1$ e $B=2$ como exemplo, $10A+B$ resultará no número $12$. Se $(10A+B)^{2}$ representa a área do quadrado, $100A^{2}$ representa a área do maior quadrado interno, $B^{2}$ representa a área do menor quadrado interno e $10A\times B$ representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
7. 
   7
   Subtraia $$ A 2 {\displaystyle A^{2}} de $$ S a {\displaystyle S_{a}} . Desça um par ($S_{b}$) de casas decimais de $S$. A expressão $S_{a}S_{b}$ representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo $N_{1}$ obtido no Passo 4 ($N_{1}=380$ no exemplo supracitado). Aqui, $N_{1}=2\times 10A\times B+B^{2}$ (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).
8. 
   8
   Procure por $$ N 1 = 2 × 10 A × B + B 2 {\displaystyle N_{1}=2\times 10A\times B+B^{2}} , também escrito como $$ N 1 = ( 2 × 10 A + B ) × B {\displaystyle N_{1}=(2\times 10A+B)\times B} . No exemplo, você já conhece $N_{1}$ ($380$) e $A$ ($2$), sendo agora necessário calcular o valor de $B$. Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição $(2\times 10A+B)\times B\leq N_{1}$. Por fim, você restará com $N_{1}<{[2\times 10A+(B+1)]\times (B+1)}$.
9. 
   9
   Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique $A$ por $2$, mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por $10$), coloque $B$ na posição das unidades e multiplique o resultado por $B$. Em outras palavras, basta realizar a operação $(2\times 10A+B)\times B$. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever $N\_\_\_\times \_\_\_=$ (sendo $N=2\times A$) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de $B$ que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição $(2\times 10A+B)\times B\leq N_{1}$.
10. 
    10
    Subtraia a área $$ ( 2 × 10 A + B ) × B {\displaystyle (2\times 10A+B)\times B} da área total. Isso dá como resultado a área $S-(10A+B)^{2}$ até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).
11. 
    11
    Para calcular a próxima casa decimal $$ C {\displaystyle C} , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par ($S_{c}$) de $S$ a fim de obter $N_{2}$ à esquerda e procure pelo maior valor de $C$ que satisfaça à condição $[2\times 10(10A+B)+C]\times C\leq N_{2}$ (equivalente a escrever duas vezes o valor $A\ B$ com duas casas decimais acompanhado por $\_\_\_\times \_\_\_=$. Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a $N_{2}$, assim como antes.
    Publicidade

Dicas

• Este método funciona com qualquer base — não somente com a base $10$ (decimal).
• No exemplo, $1,73$ pode ser considerado um "resto":
  $780,14=27,9^{2}+1,73$
• Um método alternativo que faz uso de frações continuadas segue esta fórmula:
  ${\sqrt {z}}={\sqrt {s^{2}+y}}=x+{\frac {y}{2x+{\frac {y}{2x+\cdots }}}}$
  Em um exemplo, para se calcular a raiz quadrada de $780,14$, o valor inteiro cujo quadrado mais se aproxima do número inicial é $28$, de modo que $z=780,14$, $x=28$ e $y=-3,86$. Ao se inserir os valores na fórmula e arredondar a estimativa até ${\frac {x+y}{2x}}$ traz já como resultado (valores mínimos) ${\frac {78.207}{2.800}}$, ou aproximadamente $27,931$ ($1$). O termo seguinte seria ${\frac {4.374.188}{156.607}}$, ou aproximadamente $27,9030986$ ($5$). Cada termo a mais acrescenta quase três casas decimais de precisão com respeito à tentativa anterior.

Publicidade

Avisos

• Lembre-se de separar as casas decimais em pares a partir da vírgula. Uma separação de $79.520.789.182,47897$ como $79\ 52\ 07\ 89\ 18\ 2,4\ 78\ 97$, por exemplo, trará um resultado inútil.

Publicidade