Die Quadratwurzel von Hand berechnen

In den Tagen vor den Taschenrechnern mussten Schüler und Lehrer Quadratwurzeln noch per Hand berechnen. Viele verschiedene Methoden entstanden, um diese beängstigende Aufgabe anzugehen, wovon einige eine grobe Abschätzung liefern, während andere den exakten Wert berechnen. Wenn du wissen willst, wie du Quadratwurzeln mit einfachen Rechenoperationen berechnen kannst, fange bei Schritt 1 an und finde es heraus.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Primzahlen-Faktorisierung verwenden

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Teile deine Zahl in kleinere Quadratzahlen-Faktoren auf. Diese Methode nutzt die Faktoren einer Zahl, um ihre Quadratwurzel zu bestimmen (je nach Ausgangszahl, kann das Ergebnis eine exakte numerische Lösung oder eine Annäherung sein). Die Faktoren einer Zahl sind die Zahlen, die zusammen multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.^{[1]XForschungsquelle} So kannst du z.B. sagen, dass die Zahl 8 die Faktoren 2 und 4 hat. Da 2*4 = 8 ergibt. Andererseits sind Quadratzahlen ganze Zahlen, die das Quadrat einer anderen ganzen Zahl sind. 25, 36 und 49 sind z.B. Quadratzahlen, da sie auch als 5², 6², and 7² geschrieben werden können. Quadratzahlen-Faktoren sind, wie du wahrscheinlich schon erraten hast, Faktoren, die zudem noch selbst Quadratzahlen sind. Um eine Quadratwurzel mit der Primzahlen-Faktorisierung zu finden, versuche deine Zahl zunächst in kleinere Quadratzahlen-Faktoren aufzuteilen.
- Verwenden wir folgendes Beispiel: Wir wollen die Quadratwurzel von 400 per Hand errechnen. Also versuchen wir die Zahl zunächst in kleinere Quadratzahlen aufzuteilen. Da 400 ein Vielfaches von 100 ist, muss es auch durch 25 teilbar sein – eine Quadratzahl. Wir teilen 400 im Kopf durch 25 und erhalten 16. 16 ist zufälligerweise ebenfalls eine Quadratzahl. Also können wir 400 in die Quadratzahlen 25 und 16 aufteilen, da 25 × 16 = 400.
- Wir schreibe das: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
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Ziehe die Wurzel aus deinen Faktoren. Die Produktregel für Quadratwurzeln besagt, das für alle gegebenen Zahlen a und b gilt, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b).^{[2]XForschungsquelle} Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die Quadratwurzel der beiden Faktoren ziehen und sie zusammen multiplizieren, um das Endergebnis zu erhalten.
- In unserem Beispiel würden wir die Wurzel aus 25 und 16 ziehen:
  - Sqrt(25 × 16)
  - Sqrt(25) × Sqrt(16)
  - 5 × 4 = 20
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Sollte deine Ausgangszahl sich nicht perfekt faktorisieren lassen, reduziere deine Antwort auf einen möglichst einfachen Term. In der Realität lässt sich die Zahl, von der du die Wurzel ziehen willst, nicht immer perfekt in Quadratzahlen-Faktoren aufteilen. In diesen Fällen kannst du die exakte Antwort nicht als eine ganze Zahl angeben. Indem du aber die Quadratzahlen-Faktoren verwendest, die du finden kannst, kannst du die Wurzel in ein kleineres, einfacheres, leichter zu handhabendes Problem verwandeln. Dazu reduzierst du deine Zahl zu einer Kombination von Faktoren aus Quadratzahlen und „Nicht-Quadratzahlen“ und vereinfachst dann.
- Nehmen wir die Quadratwurzel von 147 als Beispiel. 147 lässt sich nicht in ein Produkt aus zwei Quadratzahlen aufteilen, wir bekommen also keine ganze Zahl als Ergebnis, wie noch im ersten Beispiel. 147 ist allerdings das Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl : 49 und 3. Wir können diese Information nutzen, um einen möglichst einfachen Term als Lösung zu bekommen:
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 × 3)
  - = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  - = 7 × Sqrt(3)
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Falls notwendig, schätze das Ergebnis ab. Wenn du deine Wurzel so vereinfacht hast, ist es meist relativ einfach eine grobe Schätzung des numerischen Endergebnis abzugeben, indem du den Wert der verbleibenden Wurzel abschätzt und ausmultiplizierst. Eine Möglichkeit hierfür ist, die Quadratzahlen knapp darüber und darunter von deiner Zahl zu finden. Dadurch weißt du, dass dein Ergebnis irgendwo zwischen diesen Zahlen sein muss, du kannst es also abschätzen.
- Gehen wir wieder zurück zu unserem Beispiel: Da 2² = 4 und 1² = 1, wissen wir, dass Sqrt(3) zwischen 1 und 2 liegen muss – wahrscheinlich näher an der 2, als an der 1. Wir schätzen 1,7. 7 × 1.7 = 11,9. Wenn wir diese Antwort mit dem Taschenrechner überprüfen, stellen wir fest, dass wir ziemlich nahe an dem wirklichen Wert, 12,13, liegen.
  - Das funktioniert auch bei größeren Zahlen. Sqrt(35) muss irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wahrscheinlich nahe der 6. 5² = 25 und 6² = 36. 35 liegt zwischen 25 und 36, die Quadratwurzel muss also zwischen 5 und 6 liegen. Da 35 nur eins von 36 weg ist, können wir mit Sicherheit sagen, dass seine Quadratwurzel nur etwas niedriger ist als 6. Die Überprüfung mit dem Taschenrechner gibt uns den Wert 5,92 – wir hatten also recht.
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Alternativ, reduziere als ersten Schritt die Zahl auf ihre Primzahlen-Faktoren. Quadratzahlen-Faktoren zu finden ist nicht unbedingt notwendig, wenn du die Primzahlen-Faktoren bestimmen kannst (Faktoren, die gleichzeitig Primzahlen sind). Schreibe die Zahl in ihre kleinstmöglichen Faktoren aus. Dann, überprüfe die Faktoren auf gleiche Paare. Wenn du zwei gleiche Faktoren finden kannst, ziehe beide aus der Wurzel und schreibe eine der beiden vor die Wurzel.
- Versuchen wir z.B. die Quadratwurzel von 45 mit dieser Methode zu bestimmen. Wir wissen, dass 45 = 9 × 5 ist. Außerdem ist 9 = 3 × 3. Wir können unsere Quadratwurzel also mit folgenden Faktoren schreiben: Sqrt(3 × 3 × 5). Entferne jetzt einfach die 3'en und ziehe eine davon vor die Wurzel, so bekommst du die vereinfachte Quadratwurzel:' (3)Sqrt(5).' Jetzt ist sie leicht abzuschätzen.
- Als letztes Beispiel, versuchen wir die Quadratwurzel von 88 zu finden:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 × 44)
  - = Sqrt(2 × 4 × 11)
  - = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). Wir haben mehrere 2'en in unserer Wurzel. Da 2 eine Primzahl ist, können wir ein Paar entfernen und eine 2 vor die Wurzel schreiben.
  - = Unsere vereinfachte Quadratwurzel ist also (2) Sqrt(2 × 11) oder (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Jetzt können wir Sqrt(2) und Sqrt(11) abschätzen und eine geschätzte Antwort finden, wenn wir das wollen.
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Quadratwurzeln manuell berechnen

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Schriftliche Division verwenden

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Trenne die Ziffern deiner Zahl in Paare auf. Diese Methode funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division und liefert das exakte Ergebnis der Quadratwurzel Stelle-auf-Stelle. Wenn auch nicht zwingend erforderlich, ist der Prozess doch leichter zu überblicken, wenn du deinen Arbeitsbereich in praktikable Quadranten aufteilst. Ziehe zunächst eine vertikale Linie, die deinen Arbeitsbereich in zwei Quadranten aufteilt. Dann ziehe eine kürzere horizontale Linie, am oberen Ende deines rechten Quadrants, um den rechten Bereich in einen kleineren und einen größeren Quadranten aufzuteilen. Jetzt, teile die Ziffern deiner Zahl in Zweierpärchen auf, angefangen bei deinem Dezimalstrich. So wird z.B. aus 79.520.789.182,47897, "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Schreibe deine Zahl oben in deinen linken Bereich.
- Als Beispiel, lass uns versuchen die Quadratwurzel aus 780,14 zu berechnen. Ziehe die zwei Linien, um deinen Arbeitsbereich einzuteilen, und schreibe 7 80. 14 oben in den linken Quadranten.
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Finde die größte Ganzzahl n, dessen Quadrat kleiner oder gleich ist, als die Zahl (oder des Zahlenpaars) ganz links. Beginne bei deiner Ausgangszahl mit den Stellen ganz links. Egal ob es eine Ziffer oder ein Paar ist. Finde eine Quadratzahl, die kleiner oder gleich ist. Dann ziehe die Quadratwurzel von dieser Quadratzahl. Diese Zahl ist n. Schreibe n in den oberen Bereich rechts und schreibe das Quadrat von n in den unteren Bereich rechts.
- In unserem Beispiel, ist die Stelle ganz links die Zahl 7. Wir wissen: 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9. Also ist n = 2, da 2 die kleinste ganze Zahl ist, dessen Quadrat kleiner oder gleich 7 ist. Schreibe 2 in den oberen rechten Bereich. Das ist die erste Ziffer unserer Lösung. Schreibe 4 (das Quadrat von 2) in den unteren rechten Bereich. Diese Zahl ist für den nächsten Schritt relevant.
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Subtrahiere die gerade erhaltene Zahl von dem Zahlenpaar ganz links. Wie in der schriftlichen Division, müssen wir im nächsten Schritt die Quadratzahl, die wir gerade gefunden haben, von dem Bereich abziehen, den wir gerade bearbeitet haben. Schreibe die Zahl unter den Bereich und subtrahiere, schreibe das Ergebnis darunter.
- In unserem Beispiel, schreibe 4 unter 7, dann subtrahiere. Wir bekommen die Antwort 3.
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Ziehe auf der linken Seite das nächste Zahlenpaar nach unten. Ziehe den nächsten Bereich der Zahl, deren Quadratwurzel wir finden wollen, neben den subtrahierten Wert, den wir gerade berechnet haben. Multipliziere jetzt die Zahl, die im oberen rechten Quadranten steht, mit 2 und schreibe das Ergebnis in den unteren rechten Quadranten. Halte Platz für die Multiplikation im nächsten Schritt frei, indem du neben die Zahl '"_×_="' schreibst.
- In unserem Beispiel ist das nächste Paar "80": Schreibe "80" neben die 3. Das Doppelte der Zahl oben rechts ergibt 4: Schreibe also "4_×_=" in den unteren rechten Quadranten.
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Fülle die Platzhalter aus. Du musst alle Platzhalter auf der rechten Seite mit derselben ganzen Zahl ausfüllen. Dafür verwendest du die größte mögliche ganze Zahl, womit die Multiplikation auf der rechten Seiten noch kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.
- In unserem Beispiel, wenn wir die Leerstellen mit 8 auffüllen, bekommen wir dadurch 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Also eine Zahl größer 380. 8 ist also zu groß. Wir versuchen es also mit 7. Schreibe 7 in die freien Felder und löse: 4(7) × 7 = 329. Mit 7 bekommen wir also 329, was kleiner ist als 380. Schreibe 7 in den oberen rechten Bereich. Das ist die zweite Ziffer unserer Lösung.
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Subtrahiere die gerade berechnete Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Halte dich weiter an das schriftliche Divisions-Prinzip und subtrahiere entsprechend. Nimm das Ergebnis des Multiplikationsproblems im rechten Quadraten und subtrahiere es von der aktuellen Zahl auf der linken Seite, schreibe die Antwort darunter.
- In unserem Beispiel: Subtrahiere 329 von 380 und du erhältst 51.
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Wiederhole Schritt 4. Ziehe den nächsten Abschnitt der Zahl nach unten. Wenn du den Dezimalstrich erreichst, schreibe einen Dezimalstrich in deine Antwort auf der rechten Seite. Dann, multipliziere die Zahl auf der rechten Seite mit 2 und schreibe sie neben die offene Multiplikationsrechnung ("_ × _"), genau wie oben.
- In unserem Beispiel: Da wir jetzt zum Dezimalstrich kommen, schreiben wir einen Dezimalstrich in unsere momentane Lösung oben rechts. Dann ziehen wir das nächste Paar (14) nach unten. Zwei mal die Zahl auf der rechten Seite (27) ergibt 54, also schreibe "54 _×_=" in den rechten unteren Quadranten.
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Wiederhole Schritt 5 und 6. Suche die größte Ziffer, um die Platzhalter zu ersetzen und führe die Multiplikation durch.
- In unserem Beispiel: 549 mal 9 ergibt 4941 und dieses Ergebnis ist kleiner als die Zahl auf der linken Seite (5114). 549 × 10 = 5490, was zu viel ist. Schreibe also oben rechts eine 9 und subtrahiere das Ergebnis der Multiplikation von der Zahl auf der linken Seite: 5114 minus 4941 ergibt 173.
Für zusätzliche Genauigkeit, wiederhole den Prozess und finde die Hundertstel, Tausendstel, usw. deiner Lösung. Wiederhole den Prozess, bis du mit der Genauigkeit deiner Lösung zufrieden bist.
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Verstehe den Vorgang

Da die Fläche eines Quadrats L² ist, mit L als die Länge einer Seite, berechnest du mit der Quadratwurzel von S, die Länge L einer Seite des Quadrats.
Bezeichne die erste Stelle von L (die Quadratwurzel, die wir berechnen wollen) als A. B ist die zweite Stelle, C die dritte, usw.
Weise dem ersten Teil die Variable S_a, dem zweiten Teil S_b, usw.
Wie bei einer schriftlichen Division, in der du dich immer nur für die nächste Stelle interessierst, interessierst du dich hier immer nur für die nächsten zwei Stellen auf einmal (die letztendlich jeweils eine Ziffer der Quadratwurzel ergeben)
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Finde die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich S_a ist. Die erste Ziffer A dieser Quadratwurzel ist dann die größte ganze Zahl, die S_a nicht überschreitet (das bedeutet, dass A so gewählt wird, damit A² = Sa ≤ (A+1)²). In unserem Beispiel ist S_a = 7 und 2² ≤ 7 < 3², also ist A = 2.
- Wenn du zum Beispiel 88962 mit Hilfe von schriftlicher Division durch 7 teilen willst, dann ist der erste Schritt ähnlich. Du würdest die erste Ziffer von 88962 betrachten (8) und du würdest die größte Zahl ermitteln, die wenn mit 7 multipliziert, kleiner oder gleich 8 ist. Das heißt eine Zahl d, sodass 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). Die Zahl d wäre dann gleich 1.
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Stelle dir das Quadrat vor, dessen Fläche du berechnen willst. Deine Lösung, die Quadratwurzel deiner Anfangszahl, ist L, was die Länge einer Seite von S beschreibt (deiner Anfangszahl). Die Werte A, B, C, stehen für die einzelnen Stellen von L. Anders ausgedrückt, für eine zweistellige Lösung ist 10A + B = L, während für eine dreistellige Lösung 100A +10B + C = L ist, usw.
- In unserem Beispiel ist (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A +B steht hierbei für unsere Lösung L, mit B in der Einerstelle und A in der Zehnerstelle. Mit A= 1 und B = 2, wäre 10A+B einfach die Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Quadrats, während 100A² die Fläche des größten inneren Quadrats, B² die Fläche des kleinsten Quadrats und 10A×B die Fläche der beiden verbleibenden Rechtecke ist. Mit Hilfe dieses langen, verschachtelten Prozesses, finden wir also die Fläche des gesamten Quadrates, indem wir die darin enthaltenen Flächen der Quadrate und Rechtecke addieren.
Ziehe ein Paar (S_b) von Stellen von S nach unten. S_a S_b ist fast die gesamte Fläche des Quadrats, wovon du gerade das größere innere Quadrat abgezogen hast. Der Rest kann als die Zahl N1 angesehen werden, welche wir in Schritt 4 bekommen haben (N1 =380 in unserem Beispiel). N1 entspricht 2×10A×B + B² (Fläche der zwei Rechtecke, plus Fläche des kleinen Quadrats).
In unserem Beispiel kennen wir N1 (380) und A (2) bereits, du musst also nur noch B finden. B wird wahrscheinlich keine ganze Zahl sein, also musst du eigentlich die größte Ganze Zahl finden, damit (2×10A + B) × B ≤ N1 ist. Du hast also: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
Um diese Gleichung zu lösen, multipliziere A mit 2, verschiebe es an die Zehnerstelle (entspricht einer Multiplikation mit 10), platziere B an die Einerstelle und multipliziere die Zahl mit B. In anderen Worten, löse (2×10A + B) × B. Genau das tust du, wenn du "N_×_=" (mit N=2×A) im Schritt 4 in den unteren rechten Quadranten schreibst. Und in Schritt 5 suchst du die größte Ganze Zahl B, die an die Stelle der Unterstriche passt, damit gilt: (2×10A + B) × B ≤ N1.
Dadurch bekommst du die Fläche S-(10A+B)², die wir bisher noch nicht berücksichtigt haben (und die wir dazu benutzen, um die nächste Stelle in ähnlicher Form zu berechnen).
Streiche das nächste Ziffernpaar (S_c) von S, um N2 auf der linken Seite zu erhalten und suche nach der größten Ganzen Zahl C, sodass gilt:(2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (entspricht der Darstellung von "A B", gefolgt von "_×_=" und dem Ermitteln der größten Ganzen Zahl, die auf die Striche passt).
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Tipps

Den Dezimalstrich um zwei Ziffern nach vorne zu verschieben (Faktor von 100), bewegt den Dezimalstrich der Quadratwurzel um eine Stelle nach vorne (Faktor von 10).
In unserem Beispiel kannst du 1,73 als "Restwert" betrachten : 780,14 = 27,9² + 1,73.
Diese Methode funktioniert für jedes Zahlensystem, nicht nur für die Basis 10 (dezimal).
Du kannst die Darstellung deiner Berechnung deinen eigenen Wünschen anpassen. Einige Menschen bevorzugen es, das Ergebnis über die Ausgangszahl zu schreiben.
Eine alternative Methode, die fortgesetzte Brüche verwendet, kann folgender Formel folgen: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Um z.B. die Quadratwurzel von 780,14 zu berechnen, finde die ganze Zahl, deren Quadrat am nächsten zu 780,14 ist, also 28. Damit ist z=780,14, x=28, und y=-3,86. Setze ein und du bekommst alleine mit dem ersten Term x + y/(2x) = 78207/2800 oder etwa 27,931(1); mit dem nächsten Term, 4374188/156607 oder etwa 27.930986(5). Jeder Term bringt zusätzliche 3 Dezimalstellen Genauigkeit.

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Warnungen

Stelle sicher, dass du die Ziffern vom Dezimalstrich ausgehend in Paare aufteilst. 79.520.789.182,47897 so zu unterteilen: "79 52 07 89 18 2,4 78 97" führt zu einer nutzlosen Zahl.

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