Jak vypočítat odmocninu bez kalkulačky

V dobách před kalkulačkami museli odmocniny ručně počítat jak studenti, tak jejich učitelé. Vzniklo několik metod, které tento zapeklitý problém zjednodušily – některé z nich dávají za výsledek přibližnou, jiné pak přesnou hodnotu. Pokračujte na první krok tohoto návodu a naučte se odmocnit číslo s pomocí několika jednoduchých operací.

Metoda 1

Metoda 1 ze 2:

Rozklad na činitele

Stáhnout PDF

1
Rozdělte číslo na zcela odmocnitelné činitele. Tato metoda využívá k nalezení odmocniny z čísla rozkladu na činitele (v závislosti na daném čísle pak dostanete přesný, nebo přibližný výsledek). Činitele čísla jsou sada čísel, jejichž vzájemným vynásobením dostanete původní číslo. ^{[1]XZroj výzkumu} Lze například říci, že činiteli čísla 8 jsou čísla 2 a 4, protože 2 × 4 = 8. Zcela odmocnitelná čísla jsou pak celá čísla, která se skládají z jiných celých čísel. Patří mezi ně například 25, 36 a 49, protože je lze zapsat jako 5², 6² a 7². Zcela odmocnitelné činitele jsou, jak vás asi už napadlo, činitele, které lze navíc odmocnit na celá čísla. Pro zjištění odmocniny čísla přes rozklad na činitele tedy začněte tím, že číslo rozložíte na několik zcela odmocnitelných činitelů.
- Použijeme příklad. Chceme bez kalkulačky zjistit odmocninu ze 400. Pro začátek tedy číslo 400 rozděláme na zcela odmocnitelné činitele. Jelikož je číslo 400 násobkem 100, víme, že jej lze beze zbytku dělit číslem 25 – které lze navíc zcela odmocnit. Rychlým dělením z hlavy dojdeme k tomu, že je číslo 25 v čísle 400 obsaženo 16krát. Číslo 16 je pak náhodou taky beze zbytku odmocnitelné. Odmocnitelnými činiteli čísla 400 tudíž jsou 25 a 16, protože 25 × 16 = 400.
- Zapsali bychom to jako: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
2
Odmocněte činitele. Vlastností odmocniny je to, že pro jakákoliv dvě čísla a a b platí, že Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b).^{[2]XZroj výzkumu} Díky této vlastnosti můžeme nyní použít odmocniny z jednotlivých činitelů a vynásobit je mezi sebou, abychom dostali výsledek.
- V našem příkladu vezmeme odmocniny čísel 25 a 16. Pokračujte níže:
  - Sqrt(25 × 16)
  - Sqrt(25) × Sqrt(16)
  - 5 × 4 = 20
3
Pokud se vaše číslo nedá beze zbytku rozložit, zkraťte jej na jednodušší výrazy. V reálu se častěji potkáte s čísly, která se při odmocnění nerozpadnou na tak hezké celé činitele, jako je tomu v případě čísla 400. V takových případech se vám nejspíše nepodaří zjistit přesný výsledek v podobě celého čísla. Namísto toho můžete najít veškeré perfektně odmocnitelné činitele, čímž se dostanete k menší a lépe zvládnutelné odmocnině, která vám pak dá konečný výsledek. K tomu budete potřebovat rozložit číslo na sadu beze zbytku odmocnitelných činitelů, a činitelů, které zcela odmocnit nelze. Tuto sadu čísel pak zjednodušíte.
- Vezměme si například odmocninu ze 147. Číslo 147 není součinem dvou zcela odmocnitelných čísel, takže se nám nepodaří najít výsledek v podobě celého čísla, jako to šlo v předchozím příkladu. Jde však o součin bezezbytku odmocnitelného čísla 49 a čísla 3. Tuto informaci můžeme využít k zápisu ve zjednodušeném tvaru následovně:
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 × 3)
  - = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  - = 7 × Sqrt(3)
4
Je-li třeba, odhadněte výsledek. Při rozkladu odmocniny do nejjednoduššího tvaru je obvykle docela snadné zhruba odhadnout číselný výsledek. Stačí odhadnout hodnotu zbývajících odmocnin a vše mezi sebou vynásobit. Vodítkem vám může být nalezení perfektně odmocnitelných čísel, která se blíží z obou stran k číslu pod vaší zbývající odmocninou. Pak budete vědět, že desetinná hodnota čísla pod odmocninou leží někde mezi těmito dvěma čísly, což vám pomůže učinit odhad.
- Vraťme se k našemu příkladu. Jelikož 2² = 4 a 1² = 1, víme, že Sqrt(3) leží mezi 1 a 2 – pravděpodobně blíže k číslu 2. Řekněme například 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 Pokud výsledek zkontrolujete na kalkulačce, zjistíte, že jste se dostali slušně blízko přesnému výsledku, což je 12.13.
  - Tento postup funguje i pro větší čísla. Například Sqrt(35) můžeme odhadnout někde mezi čísly 5 a 6 (pravděpodobně velice blízko 6). 5² = 25 a 6² = 36. 35 leží mezi 25 a 36, tudíž odmocnina z 36 musí ležet mezi 5 a 6. Jelikož je 35 jen o 1 vzdáleno od 36, můžeme bezpečně říci, že odmocnina z něj bude jen o maličko menší než číslo 6. Kontrolou na kalkulačce dojdeme k výsledku 5.92 – tudíž jsme se trefili.
5
Další možností je rozložit číslo na nejmenší společné činitele jako v prvním kroku. Není však třeba hledat perfektně odmocnitelné činitele, pokud dokážete jednoduše najít činitele čísla, které jsou zároveň prvočísly. Zapište si číslo jako součin nejmenších činitelů. Poté v tomto součinu najděte odpovídající páry prvočísel. Když najdete dvě shodná prvočísla, obě je vyjměte zpod odmocniny a jedno z nich zapište před odmocninu.
- Nalezněme s pomocí této metody například odmocninu ze 45. Víme, že 45 = 9 × 5, a také, že 9 = 3 × 3. Naši odmocninu tudíž můžeme napsat ve formě součinu jako: Sqrt(3 × 3 × 5). Jednoduše odebereme obě čísla 3 a vložíme jednu 3 před odmocninu, čímž dostaneme odmocninu v nejjednodušším tvaru: (3)Sqrt(5). Nyní již snadno odhadneme výsledek.
- Jako poslední příklad si vypočítáme odmocninu z 88:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 × 44)
  - = Sqrt(2 × 4 × 11)
  - = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). V této odmocnině máme několik dvojek. Jelikož je dvojka prvočíslo, můžeme vyjmout jeden pár dvojek zpod odmocniny a zapsat jednu dvojku před odmocninu.
  - = Naše odmocnina v nejjednodušším tvaru vypadá takto: (2) Sqrt(2 × 11), neboli (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Nyní již snadno odhadneme hodnotu Sqrt(2) a Sqrt(11), takže můžeme zjistit přibližný výsledek.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 2:

Ruční výpočet odmocnin

Stáhnout PDF

S pomocí postupu pro písemné dělení

1
Rozdělte si číslice čísla do dvojic. Tato metoda se podobá postupu pro klasické písemné dělení a umožňuje zjistit přesnou hodnotu odmocniny číslo po číslu. Ačkoliv to není nezbytně nutné, může vám pomoci, pokud si poznámky a čísla na papíře rozdělíte na menší kousky. Nejprve nakreslete svislou čáru oddělující pracovní plochu na dvě části, poté kratší vodorovnou čáru u vršku pravé části papíru. Tou rozdělíte pravou polovinu papíru na menší horní a větší dolní část. V dalším kroku si rozdělte číslice svého čísla do dvojic, přičemž začínejte od desetinné čárky. Například z čísla 79,520,789,182.47897 se tak stane "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Toto číslo si zapište nahoru na levou stranu.
- Například zkusme vypočítat odmocninu z 780.14. Nakreslete si dvě čáry zmíněné výše a nahoru na levou stranu napište "7 80. 14". Vůbec nevadí, že levý kousek čísla tvoří jediná číslice. Výsledek (odmocninu z čísla 780.14.) zapíšete nahoru do pravé části.
2
Najděte největší celé číslo n, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna číslu (nebo dvěma číslům) nejvíce vlevo. Začněte s "kouskem" čísla úplně vlevo, ať už je to jedna číslice, nebo dvě. Najděte největší dokonale odmocnitelné číslo, které je menší nebo rovno tomuto kousku, a odmocněte jej. Odmocněné číslo je naším n. Zapište n nahoru do pravé sekce. Dolů do pravé sekce napište jeho druhou mocninu.
- V našem příkladu je nejvíce vlevo "kousek" tvořený číslem 7. Protože víme, že 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, můžeme říci, že n = 2, protože jde o největší celé číslo, jehož druhý mocnina je menší nebo rovna 7. Napište 2 do pravého horního kvadrantu, čímž získáte první číslici z výsledku. Napište 4 (druhou mocninu 2) do spodního pravého kvadrantu. Toto číslo budete potřebovat v dalším kroku.
3
Odečtěte číslo, které jste právě vypočítali, od kousku zcela vlevo. Stejně jako u písemného dělení, v dalším kroku musíte odečíst druhou mocninu, kterou jste právě vypočítali, od kousku čísla, který jste právě zkoumali. Toto číslo napište pod první kousek původního čísla, odečtěte je od sebe a výsledek zapište níže.
- V našem příkladě zapíšeme 4 pod 7 a tato čísla odečteme. Dostaneme výsledek 3.
4
Sepišme si další pár číslic. Další "kousek" čísla, jehož odmocninu hledáme, si napište níže hned vedle výsledku odečítání. Poté vynásobte číslo v pravém horním kvadrantu dvojkou a zapište jej do spodního pravého kvadrantu. Vedle tohoto čísla si nechte místo na násobení, které budete dělat v dalším kroku. Zapište si sem '"_×_="'.
- V našem příkladu je dalším párem číslo "80". Napište si "80" vedle 3 v levém kvadrantu. Poté vynásobte číslo v pravém horním kvadrantu dvojkou. Tímto číslem je 2, tudíž 2 × 2 = 4. Do pravého dolního kvadrantu napište "'4"', a za číslo _×_=.
5
Doplňte vynechaná místa v pravém kvadrantu. Nyní musíte doplnit každé z volných míst, které jste si právě vyznačili v pravém kvadrantu, jediným stejným celým číslem. Toto číslo musí být největším celým číslem, jehož doplněním dostanete po vyřešení násobení v pravém kvadrantu číslo menší nebo rovno číslu v levém kvadrantu.
- V našem příkladu dostaneme po doplnění prázdných míst číslem 8 výraz 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Toto číslo je větší než 380. To znamená, že 8 je moc velká, zatímco 7 bude nejspíše v pořádku. Napište do prázdných míst číslo 7 a vypočítejte 4(7) × 7 = 329. 7 sedí, protože 329 je menší než 380. Zapište tedy číslo 7 do pravého horního kvadrantu, čímž dostáváte druhou číslici odmocniny ze 780.14.
6
Číslo, které jste právě vypočetli, odečtěte od čísla nalevo. Pokračujte s řetězcem odečítání stejně jako při písemném dělení. Vezměte výsledek násobení v pravém kvadrantu a odečtěte jej od aktuálního čísla v levém kvadrantu. Výsledek zapište pod tato dvě čísla.
- V našem příkladu odečítáme 329 od 380, čímž dostáváme 51.
7
Opakujte krok 4. Sepište si další kousek čísla, jehož odmocninu hledáte, k výsledku odečítání. Když dojdete v číslu k desetinné čárce, napište ji i do výsledku v pravém horním kvadrantu. Poté vynásobte číslo vpravo nahoře dvěma a napište jej vedle vynechaných míst pro násobení ("_ × _"), stejně jako předtím.
- V našem příkladu jsme se právě dostali k desetinné čárce v 780.14, proto ji napíšeme i do stávajícího výsledku vpravo nahoře. Poté si sepíšeme další dvojici čísel (14) dolů do levého kvadrantu. Dvojnásobkem čísla vpravo nahoře (27) je 54, proto napíšeme "54 _×_=" dolů do pravého kvadrantu.
8
Opakujte kroky 5 a 6. Najděte největší číslici, kterou lze doplnit do prázdných míst napravo tak, aby byl výsledek násobení menší nebo roven aktuálnímu čísla nalevo. Pak je vynásobte.
- V našem příkladu dostaneme 549 × 9 = 4941, což je menší nebo rovno číslu vlevo (5114). 549 × 10 = 5490, což už je příliš mnoho, proto dostáváme výsledek 9. Napíšeme 9 jako další číslici do pravého horního kvadrantu a odečteme výsledek násobení od čísla vlevo: 5114 mínus 4941 je 173.
Pro zvýšení přesnosti výsledku pokračujte a nalezněte setiny, tisíciny atd. Jednoduše opakujte tento postup, dokud nedojdete k požadovanému desetinnému číslu.
Reklama

Proč to tak funguje

Protože je plocha čtverce rovna L², kde L je délka strany čtverce, snažíte se vlastně při hledání odmocniny čísla najít délku L strany čtverce.
Písmeno A přiřaďte první číslici L (odmocniny, kterou chcete vypočítat). B bude druhou číslicí, C třetí a tak dále.
Proměnnou S_a přiřaďte první dvojici číslic čísla S (výchozí hodnoty), S_b druhému páru atd.
Tato metoda výpočtu odmocniny v podstatě odpovídá písemnému dělení původního čísla jeho odmocninou, čehož výsledkem je právě opět odmocnina. Stejně jako při běžném písemném dělení, kde vás v jednu chvíli zajímá pouze jediná číslice, zde vás zajímá pouze jeden pár číslic zároveň (který odpovídá vždy jedné další číslici odmocniny).
5
Najděte největší číslo, jeho druhá mocnina je menší nebo rovna číslu S_a. První číslicí A ve vašem výsledku je největší celé číslo, jehož druhá mocnina nepřevyšuje hodnotu S_a (tedy A takové, že A² ≤ Sa < (A+1)²). V našem příkladu S_a = 7 a 2² ≤ 7 < 3², proto platí A = 2.
- Všimněte si, že pokud byste chtěli například 88962 písemně dělit 7, první krok by byl podobný: našli byste první číslici čísla 88962 (tedy 8), a poté byste hledali největší celé číslo, kterým lze vynásobit 7 tak, aby byl výsledek menší nebo roven 8. V zásadě hledáte jakési d takové, že 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). V tomto případě by d bylo rovno 1.
6
Načrtněte si čtverec, jehož plochu začínáte počítat. Váš výsledek, odmocnina původního čísla, je číslo L, které udává délku strany čtverce o ploše S (vaše výchozí číslo). Hodnoty A,B,C představují číslice v hodnotě L. Jinak řečeno, pro dvouciferný výsledek platí 10A + B = L, zatímco trojciferný výsledek odpovídá 100A +10B + C = L, a tak dále.
- V našem příkladu (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamatujte, že 10A+B představuje výsledek L s číslicí B na místě jednotek a číslicí A na místě stovek. Například pokud platí A=1 a B=2, 10A+B je pak číslo 12. (10A+B)² je plocha celého čtverce, přičemž 100A² je plocha největšího čtverce uvnitř něj, B² je plocha nejmenšího čtverce uvnitř, a konečně 10A×B je plocha každého ze dvou zbývajících obdélníků. Tímto dlouhým a komplikovaným postupem dojdeme k tomu, že obsah celého čtverce odpovídá součtu obsahů čtverců a obdélníků uvnitř něj.
Sepište si jeden pár (S_b) číslic z S. S_a S_b představuje takřka celou plochu čtverce, od kterého jste právě odečetli plochu většího vnitřního čtverce. Zbytek můžete považovat za číslo N1, které jsme získali v kroku 4 (N1 =380 v našem příkladu). N1 je rovno 2×10A×B + B² (obsah plochy dvou obdélníků plus obsah plochu menšího čtverce).
V našem příkladu již známe hodnotu N1 (380) i A (2), tudíž zbývá jen zjistit B. B takřka jistě nebude celé číslo, takže ve skutečnosti musíte najít největší celé číslo B takové, že (2×10A + B) × B ≤ N1. Dostáváte tudíž: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
K vyřešení této nerovnice vynásobte A dvojkou, posuňte jej na pozici desítek (což odpovídá vynásobení desítkou), B umístěte na pozici jednotek, a poté vynásobte výsledné číslo hodnotou B. Jinak řešeno, vyřešte (2×10A + B) × B. To je totiž přesně to samé, co děláte, když napíšete "N_×_=" (při N=2×A) do spodního pravého kvadrantu v kroku 4. V kroku 5 hledáte největší celé číslo B tak, aby sedělo do průběžného výsledku tak, že (2×10A + B) × B ≤ N1.
Tím dostanete obsah plochy S-(10A+B)², se kterou jste doposud nepočítali (a kterou použijete pro výpočet dalších číslic výsledku v podobném duchu).
Sepište si další pár číslic (S_c) čísla S, abyste dostali N2 na levé straně, a najděte největší C takové, že platí (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (což je to stejné, jako zapsat dvakrát dvouciferné číslo "A B" následované "_×_=" . Najděte největší číslici, kterou lze dosadit do prázdných míst tak, aby byl výsledek menší nebo roven N2, stejně jako v předchozím kroku.
Reklama

Tipy

Posunutím desetinné čárky rozšířením čísla o dvě číslice (činitelem 100) dojde v odmocnině k posunutí desetinné čárky o jednu číslici (činitelem 10).
V našem příkladu můžete 1.73 považovat za "zbytek" : 780.14 = 27.9² + 1.73.
Tato metoda funguje v jakékoliv číselné soustavě, ne pouze té desítkové.
Pište si výpočet tak, jak vám to nejlépe vyhovuje. Někdo si dokonce píše výsledky nad původní číslo.
Alternativní metoda, využívající řetězení zlomků, funguje podle vzorce: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Například pro výpočet odmocniny z 780.14 je celým číslem, jehož druhá mocnina je nejblíže 780.14, číslo 28, tudíž z=780.14, x=28 a y=-3.86. Dosazením a odhadem x + y/(2x) již dostáváte (v nejjednodušším tvaru) 78207/2800, neboli přibližně 27.931(1); další výraz, 4374188/156607, čili zhruba 27.930986(5). Každý další výraz přidá k předchozímu výsledku přesnost na 3 desetinná místa.

Reklama

Varování

Dbejte na to, abyste číslo dělili na dvojice od desetinné čárky. Například rozdělením 79,520,789,182.47897 na "79 52 07 89 18 2.4 78 97" dostanete nesmyslný výsledek.

Reklama