如何手算平方根

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在本文中：

手算平方根

以上步骤的原理解释

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有很多方法可以用手就算出平方根。有的别的方法只能得到估计值，这里的方法则可以用简单操作一位一位算出平方根的值。

步骤

方法 1

方法 1 的 2:

手算平方根

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   写出要计算平方根的数字。从小数点开始，将数位分成一对一对的：79,520,789,182.47897变成"7 95 20 78 91 82. 47 89 70"。 我们的例子中，要计算780.14的平方根，先如图画两条线，然后左边写"7 80. 14" ，右上方可以得到780.14的平方根。
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   看看最左边的一对数字，找出最大整数n，使得n的平方小等于这对数字。本例中这对数字就是7，2×2 ≤ 7 < 3×3，因此n = 2。 在右上角写出2，这就是平方根的第一位。下面写出2×2=4，下一步要用到。
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   用最左一对的数字减去刚才的积。这里用7减4，得到3。
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   第二左的一对数字写下来。让右上方的数字乘以2，然后写右下方各自里，加上"_×_="。 比如，下一对数字是 "80"： "80" 写在3旁边，让2乘以2，得到4： 把"4_×_=" 写在下面。
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   找出最大的数，使得其放在右下方横线上算出来的积，小等于左边的那个数。本例子中，如果用8，得到384，大于380，因此8太大了。不过7就可以了。7写上去得到329，右上写下7：7就是780.14平方根的第二位数字。
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   左边上下相减。本例中，380-329=51。
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   7
   重复步骤4。因为现在要处理小数部分，因此在右上写出小数点。“14”这对数写下来，27两倍是54 ，因此在下面写 "54_×_="。
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   重复第5、6步。找出最大的数，使得放进横线乘出来的积，小等于左边的数字（5114），这里得到9，在右上方写出9。然后将5114减去乘得的积：得到173。
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   想要继续计算，就在173右边放俩0，然后继续4、5、6步骤。
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方法 2

方法 2 的 2:

以上步骤的原理解释

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   要理解以上方法的原理，假设你要计算平方根的数S是个正方形的面积。因此你要计算正方形的边长L，L² = S.
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   假设A是L（平方根）的首位，B则是第二位，C是第三位，以此类推。
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   假设Sa是S的第一对位数，Sb是第二对，以此类推。
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   和除法一样，你一次只关注一个数位，这里计算平方根，我们也就考虑两位数（计算得到的是平方根数的每一个数）。同样和除法一样，小数点位置不重要，你可以随后再加上去。
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   看Sa这一对数（本例中Sa=7），要找出其平方根。第一位数A就是最大的、其平方不超过Sa的数字（即A² ≤ Sa < (A+1)²）。本例中， S1 = 7， 2² ≤ 7 < 3² ，因而 A = 2。
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   注意，如果要让88962 除以 7，步骤很类似：先看88962第一位 (8) ，需要一个7的倍数小等于 8。 这表示有个 d 使得 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)。 d 等于 1
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   计算下一位数B。

   • 考虑这里的 (10A+B)² = 100A² + 2×10A×B + B²。 (要记住，10A+B 就是个位数是B 、十位数是A 的数：A=1 ，B=2， 10A+B 就是（12）。 (10A+B)² 就是整个正方形的面积。 100A² 就是内部最大的正方形面积， B² 是小正方形的面积，10A×B 是每个长方形的面积。
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   步骤3中，你要从Sa中减掉A² 。因为前面的系数是100，所以要将S中的一对数(Sb)写下来： 这里总面积需要是"Sa Sb" ，而你这时把100A² (大正方形的面积)减掉了。现在步骤4得到的N1（本例中为380）就是剩下部分的面积。N1就等于2×10A×B + B² (两个矩形的面积加小正方形的面积).
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   现在看看N1 = 2×10A×B + B²的值。也可以写作 N1 = (2×10A + B) × B。 现在知道N1(=380) 和 A(=2)， 要找B。 B很大可能不是整数，因此要找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1条件的B ( B+1 就会超过范围了，因此也有： N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1))
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    在这里可以将A乘以2，改变为十位数（换句话说就是乘以10），B放在个位数位置，然后将以上的和乘以B。得到(2×10A + B) × B 这个和步骤4中的 "N_×_=" ( N=2×A) 是一样的。在步骤5中，你可以找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1的整数B。
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    用总面积再减去 (2×10A + B) × B （步骤6左边），得到一个面积：S-(10A+B)²，这个量我们还没计算（下面的步骤会类似地用它算出下一位的数字C）
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    要计算C，重复步骤：把Sc这对数字从S写下来，然后看看最大满足 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2的整数是多少 (就类似写出"A B" 两位数，然后后面跟着"_×_=" ，找出能写在横线上满足条件的最大数字)。
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小提示

• 把小数点右移两位（作为百位数），右移一位（作为十位数）。
• 例子中 1.73 可以看做“余数 ：780.14 = 27.9² + 1.73
• 这个方法可以适用于任何位数的，不仅仅是十位数。
• 可以任意写出计算过程。有的人喜欢把结果数字写在要计算平方根的数字上。
• 还有另一种方法是用连分式来解的，可以在这里找到：

√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))).

比如要计算780.14的平方根，平方最接近780.14 的数是 28， 因此z=780.14, x=28, y=-3.86。 代入，计只算x + y/(2x)的估计值 (最简项)是 78207/2800 ，大约27.931(1); 计算下一项，得 4374188/156607 大约27.930986(5)。每项都大概比前一项加3 小数位的精确值。

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警告

• 要确定从小数点开始分割数位，比如79,520,789,182.47897变为"79 52 07 89 18 2.4 78 97" 就没用了。

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