손으로 루트 값 계산하기

계산기가 발명되기 전 옛날 학생들과 교수들은 루트를 손으로 계산했습니다. 이 부담스러운 일을 하기 위해 여러 가지 다른 방법들이 고안되었습니다. 어떤 방법은 대략적인 숫자를 가늠하였고, 어떤 방법들은 정확한 값을 내놓았습니다. 아주 간단한 방법만을 이용해서 숫자의 루트 값을 구하는 법을 배우고 싶다면 밑에 1단계를 보며 시작해보세요.

방법 1

방법 1 의 2:

소인수분해 이용하기

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숫자를 완벽한 루트인수들로 나누세요. 이 방법은 숫자의 인수들을 이용하여 루트 값을 찾습니다(숫자에 따라 정확한 수치 값이 나오거나 가까운 추정 값이 나옵니다.). 인수란 서로 곱하여 그 숫자를 만들 수 있는 모든 숫자들 입니다. ^{[1]X출처 검색하기} 예를 들어, 8의 인수는 2와 4입니다. 2 × 4 = 8 이기 때문입니다. 하지만 완전제곱수는 다른 정수들의 생성 값입니다. 예를 들어, 25,36, 그리고 49는 완전제곱수입니다. 각각 5², 6², 그리고 7² 이기 때문입니다. 완전제곱수 인수들은 여러분도 눈치챘다시피, 다른 완전제곱수들의 인수입니다. 소인수분해를 이용하여 루트 값을 찾으려면 먼저 그 숫자를 완전제곱수 인수들로 줄여야 합니다.
- 예를 들어봅시다. 손으로 400의 루트 값을 찾는다고 합시다. 일단, 이 숫자를 완전제곱수 인수들로 나눕시다. 400은 100의 배수이므로, 완전제곱수인 25로 나눠집니다. 나눗셈을 암산하여 400은 25곱하기 16이라는 것을 알아냅시다. 16은 우연히도 완전제곱수입니다. 그러므로 400의 완전제곱수 인수들은 25 와 16 입니다. 왜냐면 25 × 16 = 400 이기 때문입니다.
- 이렇게 적어보세요 : Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
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완전제곱수 인수들의 루트 값을 계산하세요. 루트 결과값들의 특성에는 임의의 숫자 a 와 b에 대해, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b) 입니다. 이 특성으로 인해 우리는 완전제곱수 인수들에 루트를 씌울 수 있고 이들을 곱해서 답을 얻을 수 있습니다.
- 위의 예에서 우리는 25와 16에 루트를 씌웁니다. 아래를 보세요:
  - Sqrt(25 × 16)
  - Sqrt(25) × Sqrt(16)
  - 5 × 4 = 20
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숫자의 인수가 정확히 떨어지지 않는 숫자라면 답을 깔끔하게 만드세요. 현실에서는 숫자 400과는 다르게 정확히 떨어지거나 완전제곱수를 인수로 갖는 깔끔한 숫자는 자주 찾기 힘듭니다. 대신 완전제곱수 인수를 찾는다면 답을 더 작고, 간단하고, 다루기 쉬운 루트 값을 찾을 수 있을 겁니다. 이를 위해서는, 숫자를 완전제곱수 인수와 완전제곱수가 아닌 인수의 조합으로 변환하고 이를 간소화하세요.
- 예를 들어 147의 루트 값을 찾아봅시다. 147은 완전제곱수의 곱이 아닙니다. 그러므로 위처럼 정확한 정수 값을 찾기 힘듭니다. 하지만 이 숫자는 완전제곱수와 다른 숫자의 조합입니다. 49와 3입니다. 이 정보를 이용하여 아래처럼 답을 간단하게 바꿔보세요.
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 × 3)
  - = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  - = 7 × Sqrt(3)
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가능하다면 값을 추측해보세요. 루트 값을 간단하게 만들면 비교적 쉽게 대략적인 수치 값을 얻을 수 있습니다. 남아있는 루트 안의 숫자를 추정하고 곱해보세요. 추정하는 방법에는 루트 안의 숫자와 앞뒤로 가까운 완전제곱수를 찾는 겁니다. 소수점을 포함한 루트 값은 이 두 숫자 사이에 있다는 것을 알게 됩니다. 그러므로 이 사이에서 결과를 가늠해보세요.
- 예제로 다시 가봅시다. 2² = 4 이고 1² = 1 이므로, Sqrt(3) 은 1 과 2 사이라는 것을 알 수 있습니다.- 2 보다는 1에 가깝겠죠. 1.7이라고 추정해봅시다. 7 × 1.7 = 11.9 계산기를 이용해 확인해보면 원래 답 12.13. 과 굉장히 가깝다는 것을 알게 됩니다.
  - 큰 숫자들도 적용 가능합니다. 예를 들어, Sqrt(35)은 5와 6사이에 있습니다(아마도 6에 더 가깝겠죠) 5² = 25 그리고 6² = 36. 35는 25와 36사이에 있습니다. 그러므로 루트 값은 5와 6사이에 있어야 합니다. 35는 36와 1 밖에 차이가 안 나므로 루트 값은 6보다 조금 작다고 자신 있게 말할 수 있습니다. 계산기로 계산해보면 5.92가 나옵니다. 답이 맞네요.
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먼저 숫자를 소인수로 만드세요. 서로소인 인수를 쉽게 찾을 수 있다면 굳이 완전제곱수 인수를 찾지 않아도 돼요. 가장 작은 소인수로 쪼개세요. 그리고 인수들 중 서로 짝이 맞는 서로소들이 있는지 찾으세요. 서로 짝 맞는 서로소를 찾았다면 이 숫자들을 없애고 이들 중 하나를 루트 바깥쪽에 위치시키세요.
- 예로, 45의 루트 값을 이 방법을 이용해 구해봅시다. 우리는 45 = 9 × 5 라는 것과 9 = 3 × 3 이라는 것을 압니다. 그러므로 숫자를 인수로 표현하면: Sqrt(3 × 3 × 5)입니다. 3들을 없애고 루트 바깥에 3을 써서 간단하게 만드세요: (3)Sqrt(5). 이제 값을 추정하기 쉬워졌습니다.
- 마지막 예제로, 88의 루트 값을 찾아봅시다:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 × 44)
  - = Sqrt(2 × 4 × 11)
  - = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). 루트 안에 2가 많습니다. 2는 서로소이므로 한 짝을 지우고 루트 바깥에 하나 위치시키세요.
  - = 가장 간단한 형태의 루트 값은 (2) Sqrt(2 × 11) 이거나 (2) Sqrt(2) Sqrt(11). 입니다. 여기서부터, 우리는 Sqrt(2) 와 Sqrt(11)의 대략적 값을 추정하여 답을 찾도록 해봅시다.
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방법 2

방법 2 의 2:

루트 값 손으로 구하기

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장제법 알고리즘 이용하기

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숫자의 자릿수들을 두 짝으로 각각 분리하세요. 이 방법은 장제법과 비슷한 과정을 이용하여 정확한 루트 값을 자릿수 하나하나 구합니다. 꼭 필요한 방법은 아니지만, 공간을 적당히 확보해두고 숫자들이 실행 가능한 덩어리도 잘 정돈되어 있다면 아마도 가장 쉬운 방법이라 생각될 겁니다. 먼저, 작업공간에 수직선을 그어서 두 구획으로 나누세요. 그리고 오른쪽 상단에 짧은 수평선을 그어서 오른쪽은 작은 위구간과 큰 아래구간이 생기게 하세요. 그 다음, 숫자의 자릿수를 소수점부터 시작해서 두 개씩 짝지어 나누세요. 예를 들어, 이 규칙을 사용하면, 79,520,789,182.47897은 7 95 20 78 91 82. 47 89 70 이 됩니다. 이 숫자를 왼쪽 상단에 쓰세요.
- 예를 들어, 780.14의 루트 값을 구해봅시다. 위처럼 두 개의 선을 그어 구획을 만들고 7 80. 14을 왼쪽 상단에 쓰세요. 가장 왼쪽에 있는 숫자 덩어리는 짝이 없어도 괜찮아요. 답(780.14의 루트 값)은 오른쪽 위에 쓸 겁니다.
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제곱 값이 가장 왼쪽에 있는 숫자(짝)보다 작거나 같은 가장 큰 정수 n을 찾으세요. 숫자 쌍이든 아니든, 가장 왼쪽에 있는 덩어리 숫자부터 시작하세요. 이 덩어리 숫자보다 작거나 같은 가장 큰 완전제곱수를 찾은 후, 이 완전제곱수에 루트를 씌우세요. 이 숫자가 n 입니다. 우측 상단 구간에 n을 쓰고 밑에 구간에 n의 제곱을 쓰세요.
- 위의 예제에서, 가장 왼쪽에 있는 덩어리는 숫자 7입니다. 우리는 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9이라는 것을 알기 때문에, n = 2 이란 것을 압니다. 제곱 값이 7보다 작거나 같은 가장 큰 정수는 2이기 때문입니다. 2를 오른쪽 상단 구간에 쓰세요. 이 숫자가 바로 최종 답의 첫 자릿수입니다. 오른쪽 아래 구간에 4(2의 제곱승)를 적으세요. 이 숫자는 다음 단계에서 중요합니다.
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방금 계산한 숫자를 가장 왼쪽 숫자쌍에서 빼세요. 장제법을 사용할 때처럼 다음 단계에서는 방금 찾아낸 제곱수를 방금 분석했던 숫자 덩어리쌍에서 빼세요. 이 숫자를 첫 덩어리쌍 밑에 두고 빼세요. 결과를 밑에 쓰세요.
- 예제에서는 4를 7밑에 쓰고 뺍니다. 결과는 3이 나옵니다.
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다음 숫자쌍을 가져 내려오세요. 문제를 풀고 있는 숫자의 일부 다음 “덩어리”를 뺄셈 결과 값 옆에 위치시키세요. 오른쪽 상단 구간에 있는 숫자를 2와 곱하고 결과 값을 오른쪽 하단 구간에 쓰세요. 방금 쓴 숫자 옆에 _×_= 를 쓸 공간을 남겨서 곱셈 문제를 쓸 수 있게 하세요.
- 우리의 예제에서는, 다음 숫자 쌍은 80 입니다. 왼쪽 구간의 숫자 3 옆에 80 을 쓰세요. 그 다음, 오른쪽 상단 구간에 있는 숫자에 2를 곱하세요. 이 숫자는 2입니다. 그러므로 2 × 2 = 4 입니다. 오른쪽 하단 구간에 "'4"' 를 쓰세요. 그리고 _×_= 를 쓰세요.
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오른쪽 구간의 빈칸을 채우세요. 방금 오른쪽 구간에 쓴 빈을 같은 정수로 채우세요. 이 정수는 오른쪽 구간에 쓰여진 곱셈 문제의 결과 값이 현재 왼쪽에 있는 숫자보다 작거나 같게 되도록 하는 가장 큰 정수이여야 합니다.
- 예제에서는, 빈칸에 8을 써봅시다. 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. 이는 380보다 큽니다. 그러므로 8 은 너무 큽니다. 7은 아마 알맞은 숫자 일 겁니다. 빈칸에 7 을 쓰고 문제를 푸세요: 4(7) × 7 = 329. 7 이 맞습니다. 329은 380보다 작습니다. 7을 오른쪽 상단 구간에 쓰세요. 이 숫자는 780.14 루트 값의 두 번째 자릿수입니다.
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방금 계산한 숫자를 현재 왼쪽에 있는 숫자에서 빼세요. 장제법처럼 같은 방식으로 계속 뺄셈을 하면 됩니다. 우측의 곱셈 문제 결과 값을 왼쪽에 있는 숫자에서 빼세요. 그리고 결과를 밑에 적으세요.
- 예제에서는, 380에서 329를 빼면 됩니다. 결과는 51 입니다.
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4단계를 반복하세요. 다음 숫자 쌍을 내리세요. 숫자의 소수점에 도달하면, 오른쪽 구간의 답에 소수점을 찍어주세요. 그리고 오른쪽 상단에 있는 숫자에 2를 곱하고 이를 곱셈 문제 빈칸.(_ × _) 옆에 쓰세요.
- 예제에서는, 780.14의 소수점에 도달했으니, 현재 답을 구한 뒤 오른쪽 상단에 소수점을 찍으세요. 그 다음, 다음 숫자 쌍(14)을 왼쪽 구간에 내려 적으세요. 오른쪽 상단의 숫자(27)에 2를 곱한 값은 54 입니다. 그러므로 54 _×_=을 오른쪽 하단 구간에 쓰세요.
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5단계와 6단계를 반복하세요. 현재 왼쪽의 숫자보다 작거나 같은 값을 답으로 가지게 하는 가장 큰 자릿수를 빈칸에 쓰세요. 그리고 문제를 푸세요.
- 예제에서는, 549 × 9 = 4941입니다. 이는 왼쪽의 숫자(5114)보다 작거나 같습니다. 549 × 10 = 5490 경우에는, 너무 높습니다. 그러므로 답은 9 입니다. 오른쪽 상단 구간에 9를 다음 자릿수로 적고 곱셈의 결과 값을 왼쪽 숫자에서 빼세요: 5114 빼기 4941 는 173 입니다.
한 쌍의 0을 왼쪽에 내려서 4,5 그리고 6단계를 반복하세요. 더 정확한 계산을 하려면 이 과정을 100번 1000번 해서 답을 적으세요. 원하는 소수점 자릿수를 구할 때 까지 이 과정을 반복하세요.
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과정 이해하기

정사각형의 영역은 L² 고 L은 한 변의 길이기 때문에, 루트 값을 찾으려면 정사각형의 한 변의 길이 L를 구해야 합니다.
A라는 변수를 L(우리가 루트 값을 구하려는 숫자)의 첫 번째 자릿수라고 하세요. B는 두 번째 자릿수, C는 세 번째, 이렇게 계속 하면 됩니다.
S_a는 S(시작 숫자)의 첫 덩어리쌍을 표현하는 변수 S_b은 두 번째 덩어리쌍을 표현하는 변수, 등등
이 방법은 시작 숫자를 루트로 나눠서 최종 루트 값을 구하는 방법으로서 장제법과 같습니다. 장제법을 이용해 문제를 풀 때, 한 번에 한 자릿수만 신경썼던 것처럼 여기서는 한 번에 두 자릿수들만 신경 씁니다. (한 번에 다음 자릿수 하나만 일치 시키도록 합니다.)
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루트 값이 S_a보다 작거나 같은 가장 큰 숫자를 찾으세요. 답의 첫 자릿수인 A는 그 제곱 값이 S_a를 넘지 않은 가장 큰 정수입니다. ( A² ≤ Sa < (A+1)² 이란 뜻입니다). 예제에서는, S_a = 7, 그리고 2² ≤ 7 < 3², 그러므로 A = 2 입니다.
- 알아 두세요. 예를 들어, 만약 장제법을 이용하여 88962를 7로 나누고 싶다면 첫 번째 할 일은 비슷합니다. 88962의 첫 번째 자릿수(8)를 찾고 7를 곱했을 때 8보다 작거나 같은 가장 큰 숫자를 찾아야 합니다. 결국, 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)을 만족시키는 d를 찾아야 합니다. 이 경우 d는 1입니다.
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구하는 면적 부위를 시각화 하세요. 시작 숫자의 루트 값 답은 L입니다. 이것은 면적 S(시작 숫자)인 정사각형의 길이를 나타냅니다. A,B,C는 L의 각 자릿수를 나타냅니다. 다른 말로, 두 자릿수 답은 10A + B = L 이고, 세 자릿수는 100A +10B + C = L. 이렇게 계속 됩니다.
- 예제에서는, (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² 이 됩니다. 10A+B는 L를 나타내고 B는 일의 자릿수 그리고 A는 십의 자릿수 입니다. 예를 들어, A=1 이고 B=2이라면, 10A+B 은 숫자 12입니다. (10A+B)² 은 정사각형의 전 면적입니다. 100A²은 가장 큰 정사각형의 면적이고 B²는 가장 작은 정사각형의 면적입니다. 그리고 10A×B는 다른 나머지 2개 직사각형의 면적입니다. 이와 같이 길고 복잡한 과정을 거치며 우리는 내부의 정사각형들과 직사각형들의 면적을 구하여 이를 모두 더하여 정사각형의 전 면적을 구할 수 있습니다.
(S_b) 자릿수를 S에서 빼세요. S_a S_b 은 정사각형의 거의 모든 면적을 차지합니다. 방금 내부에 있는 더 큰 정사각형의 면적에서 뺀 값입니다. 나머지 값은 N1입니다. 4단계에서 구했습니다. (예제에서는, N1 =380입니다). N1은 2×10A×B + B² 와 같습니다(두 직사각형의 면적과 작은 정사각형을 더한 값).
예제에서는, 이미 N1 (380)와 A (2) 값을 압니다. 그리고 B 값도 찾아야 합니다. B는 아마 정수가 아닐 겁니다. 그러므로 (2×10A + B) × B ≤ N1 식을 만족시키는 가장 큰 정수 B를 직접 찾아야 합니다. 식은 이렇게 됩니다: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
식을 풀려면 A에 2를 곱하고 십의 자리에 바꿔 넣으세요.(10을 곱하는 것과 같습니다). B를 일의 자리에 넣고 결과 값을 B와 곱하세요. 즉, (2×10A + B) × B 입니다. 이는 4단계에서 오른쪽 하단에 N_×_=( N=2×A 임을 알아 두세요)를 적는 것과 같은 과정입니다. 5단계에서는 가장 큰 정수 B를 밑줄 위에 적어 넣은 뒤 (2×10A + B) × B ≤ N1를 만족 시키면 됩니다.
이는 우리가 아직 잘 모르는 S-(10A+B)² 값이 나오게 합니다.(이는 다음 숫자를 비슷한 방식으로 구하는 데 사용될 겁니다)
S로부터 다음 숫자 쌍 (S_c)을 내려서 왼쪽의 N2를 구해야 합니다. 가장 큰 C를 구해야 합니다. 그러므로 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 입니다( 두 자릿수 A B의 두 배 값입니다. 그 옆에 _×_=를 쓰세요). 아까처럼, N2보다 작거나 같고 식을 만족하는 가장 큰 숫자를 구하세요.
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팁

이 방법은 10진법 이외에도 다른 진법에서도 사용 가능해요.
예를 들어, 1.73 은 나머지 값으로 여겨질 수 있습니다: 780.14 = 27.9² + 1.73.
연분수를 이용한 다른 방법도 있습니다: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). 예를 들어, 780.14의 루트 값을 계산하려면, 제곱 값이 780.14에 가장 가까운 정수는 28입니다. 그러므로 z=780.14, x=28, 그리고 y=-3.86 입니다. 먼저, x + y/(2x)항 을 만족하는 수를 추정하면 (가장 낮은 수) 78207/2800 , 27.931(1) 입니다. 그 다음 항을 포함하여 계산하면, 4374188/156607, 즉 27.930986(5) 이 나옵니다. 각 항을 계산할 때 마다 거의 소수점 3씩이 추가되어 더 정확한 숫자가 나옵니다.
편한 방식대로 계산을 진행하세요. 어떤 사람들은 결과 값을 시작 숫자 위에 쓰는 것을 선호합니다.
소수점을 두 자릿수(100씩) 올리는 것은 루트 안의 소수점을 한 자릿수(10씩) 올리는 것과 같습니다.