Einen gewichteten Mittelwert berechnen

Ein gewichteter Mittelwert ist etwas komplizierter zu ermitteln als ein gewöhnlicher arithmetischer Mittelwert. Wie die Bezeichnung nahelegt, ist ein gewichteter Mittelwert einer, bei dem die unterschiedlichen Zahlen, mit denen du arbeitest, im Vergleich zueinander einen anderen Wert – oder ein anderes Gewicht – haben. Einen gewichteten Mittelwert musst du zum Beispiel dann herausfinden, wenn du versuchst, deine Note in einem Kurs zu berechnen, bei dem verschiedene Aufgaben unterschiedliche Prozentanteile deiner Gesamtnote ausmachen. Die genaue Vorgehensweise unterscheidet sich ein wenig je nachdem, ob die Gesamtsumme der Gewichtungen ein Ganzes (oder 100 %) ergibt oder nicht.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Das gewichtete Mittel errechnen, wenn die Gewichtungen zusammen ein Ganzes ergeben

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Sammle die Zahlen, deren Mittelwert du berechnen möchtest. Du musst damit anfangen, eine Liste der Zahlen zu erstellen, für die du den gewichteten Mittelwert berechnen möchtest. Wenn du zum Beispiel versuchst, den gewichteten Mittelwert einer Reihe von Noten in einem Kurs zu berechnen, schreibe als erstes alle Noten auf.^{[1]XForschungsquelle}
- Nehmen wir zum Beispiel an, du hast 82 Punkte bei Tests, 90 bei der Prüfung und 76 auf die Hausarbeit bekommen.
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Stelle die Gewichtung jeder Zahl fest. Nachdem du alle Zahlen hast, musst du wissen, wie stark jede von ihnen gewichtet ist oder als Teil des endgültigen Mittelwertes wert ist. In deinem Kurs könnten zum Beispiel die Tests 20 % der Gesamtnote ausmachen, während die Prüfung 35 % wert ist und die Hausarbeit 45 %. In diesem Fall ergeben die Gewichtungen 1 (oder 100 %).^{[2]XForschungsquelle}
- Um diese Prozentangaben in deiner Rechnung anzuwenden, musst du sie in Dezimalzahlen umwandeln. Das Ergebnis ist ihr jeweiliger „Wichtungsfaktor“.
Tipp: Eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl umzuwandeln ist ganz einfach! Setze ein Dezimalkomma hinter die Prozentangabe und verschiebe es um zwei Stellen nach links. 75 % werden zum Beispiel zu 0,75.
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Multipliziere jede Zahl mit ihrem Wichtungsfaktor (w). Nachdem du alle Zahlen aufgeschrieben hast, stelle jede Zahl (x) dem entsprechenden Wichtungsfaktor (w) gegenüber. Du multiplizierst jede Zahl mit ihrem Faktor und addierst sie, um später den Mittelwert zu finden.^{[3]XForschungsquelle}
- Wenn deine Punktezahl bei den Tests zum Beispiel 82 war und sie 20 % deiner Note ausmachen, multipliziere 82 x 0,2. In diesem Fall ist x = 82 und w = 0,2.
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Addiere die Ergebnisse, um den gewichteten Mittelwert zu finden. Die Grundformel für den gewichteten Mittelwert, bei dem die Gewichtungen zusammen ein Ganzes ergeben, ist x1(w1) + x2(w2) + x3(w3) und so weiter, wobei x die Zahl in deiner Liste und w der entsprechende Wichtungsfaktor ist.^{[4]XForschungsquelle} Multipliziere, um das gewichtete Mittel zu finden, einfach jede Zahl mit ihrem Wichtungsfaktor und zähle die Ergebnisse dann zusammen, wie du es es auch machen würdest, um den Durchschnitt anderer Datensammlungen zu finden. Zum Beispiel:
- Der gewichtete Mittelwert für deine Testnoten, Prüfung und Hausarbeit wäre wie folgt: 82(0,2) + 90(0,35) + 76(0,45) = 16,4 + 31,5 + 34,2 = 82,1. Das bedeutet, dass du in diesem Kurs 82,1 % erreicht hast.
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Den Mittelwert errechnen, wenn die Gewichtung nicht ein Ganzes ergibt

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Schreibe die Zahlen auf, deren Mittelwert du herausfinden möchtest. Wenn du einen gewichteten Mittelwert berechnest, ergeben die verschiedenen Gewichtungen nicht immer 1 (oder 100 %). Beginne dennoch damit, deine Daten zusammenzustellen oder die einzelnen Zahlen, deren Mittelwert du finden möchtest.^{[5]XForschungsquelle}
- Vielleicht versuchst du zum Beispiel festzustellen, wie viele Stunden Schlaf du durchschnittlich jede Nacht im Laufe von 15 Wochen bekommst, es ist aber von Woche zu Woche unterschiedlich. Du könntest 5, 8, 4 oder 7 Stunden pro Nacht schlafen.
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Finde die Gewichtung jeder Zahl. Nachdem du die Zahlen weißt, finde die Gewichtung heraus, das jeder dieser Zahlen entspricht. Sagen wir zum Beispiel, dass du im Laufe von 15 Wochen im Durchschnitt in manchen Wochen mehr geschlafen hast als in anderen. Die Wochen, die kennzeichnender dafür sind, wie viel du im Durchschnitt schläfst, erhalten ein stärkeres „Gewicht“ als die anderen. Du würdest die Anzahl der Wochen, die mit jeder der Schlafdauern verbunden ist, als Wichtungsfaktor verwenden. Wenn man die Wochen zum Beispiel nach ihrer Gewichtung ordnet:^{[6]XForschungsquelle}
- 9 Wochen, in denen du durchschnittlich 7 Stunden pro Nacht geschlafen hast.
- 3 Wochen, in denen du durchschnittlich 5 Stunden pro Nacht geschlafen hast.
- 2 Wochen, in denen du durchschnittlich 8 Stunden pro Nacht geschlafen hast.
- 1 Woche, in der du durchschnittlich 4 Stunden pro Nacht geschlafen hast.
- Die Anzahl der Wochen, die mit den jeweiligen Schlafdauern zusammenhängt, ist der Wichtungsfaktor. In diesem Fall hast du in den meisten Wochen 7 Stunden pro Nacht geschlafen, während es relativ wenige Wochen gibt, in denen du mehr oder weniger Stunden geschlafen hast.
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Rechne die Summe aller Gewichtungen aus. Um den gewichteten Mittelwert zu berechnen, musst du herausfinden, wie viel alle Gewichtungen zusammen ergeben. Addiere dafür einfach alle Gewichtungen. Im Fall der Schlafstudie weißt du bereits, dass die Summe aller Gewichte 15 ist, weil du dein Schlafmuster über einen Zeitraum von 15 Wochen untersuchst.^{[7]XForschungsquelle}
- Die Gesamtanzahl der Wochen, die du betrachtest, sieht so aus: 3 Wochen + 2 Wochen + 1 Woche + 9 Wochen = 15 Wochen.
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Multipliziere die Zahlen mit ihren Gewichtungen und addiere die Ergebnisse. Multipliziere als nächstes jede Zahl in deinem Datensatz mit der entsprechenden Gewichtung, wie du es auch bei Gewichten machen würdest, die zusammen 1 (oder 100 %) ergeben. Addiere die Ergebnisse. Wenn du zum Beispiel die durchschnittliche Schlafdauer berechnest, die du jede Nacht bekommen hast im Laufe von 15 Wochen, multipliziere die durchschnittliche Stundenanzahl, die du pro Nacht geschlafen hast, mit der entsprechenden Anzahl der Wochen. Dann erhältst du:^{[8]XForschungsquelle}
- 5 Stunden pro Woche (3 Wochen) + 8 Stunden pro Woche (2 Wochen) + 4 Stunden pro Woche (1 Woche) + 7 Stunden pro Woche (9 Wochen) = 5(3) + 8(2) + 4(1) + 7(9) = 15 + 16 + 4 + 63 = 98
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Teile das Ergebnis durch die Summe der Gewichtungen, um den Mittelwert zu finden. Nachdem du jede Zahl mit ihrem Wichtungsfaktor multipliziert und die Ergebnisse zusammengezählt hast, teile dieses Ergebnis durch die Summe aller Gewichte. So erhältst du den gewichteten Mittelwert. Zum Beispiel:^{[9]XForschungsquelle}
- 98/15 = 6,53. Das heißt, dass du durchschnittlich 6,53 Stunden pro Nacht geschlafen hast im Verlauf dieser 15 Wochen.
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