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Du musst also für eine Hausaufgabe die Fläche eines Vierecks berechnen … bist dir aber nicht einmal sicher, was ein Viereck genau ist. Keine Sorge – Hilfe ist hier! Ein Viereck ist jede Figur mit vier Seiten – Quadrate, Rechtecke und Rauten, um nur ein paar zu nennen. Um die Fläche eines Vierecks zu berechnen, musst du den Typ des Vierecks bestimmen, mit dem du es zu tun hast, und dich dann an eine einfache Formel halten. Das ist schon alles!
Vorgehensweise
Verstehe, wie du ein Parallelogramm erkennst. Ein Parallelogramm ist eine vierseitige Figur, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel verlaufen und dieselbe Länge haben. Zu den Parallelogrammen gehören:- Quadrate: Vier Seiten, alle dieselbe Länge. Vier Ecken, alle 90 Grad (rechte Winkel).
- Rechtecke: Vier Seiten; gegenüberliegende Seiten haben dieselbe Länge. Vier Ecken, alle 90 Grad.
- Rauten: Vier Seiten, gegenüberliege Seiten haben dieselbe Länge. Vier Ecken; keiner der Winkel muss 90 Grad sein, aber die gegenüberliegen Winkel müssen gleichgroß sein.
Multipliziere die Grundlinie mit der Höhe, um die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen. Für die Flächenberechnung eines Rechtecks benötigst du zwei Maße: die Breite, oder Grundlinie (die längere Seite des Rechtecks), und die Länge, oder Höhe (die kürzere Seite des Rechtecks). Wenn du diese beiden Werte multiplizierst, bekommst du die Fläche. In anderen Worten:- Fläche = Grundlinie × Höhe, oder kurz: A = b × h
- Beispiel: Wenn die Grundlinie eines Rechtecks eine Länge von 10 cm und die Höhe eine Länge von 5 cm hat, kannst du die Fläche des Rechtecks einfach bestimmen, indem du 10 × 5 (b × h) = 50 Quadratzentimeter rechnest.
- Vergiss nicht, wenn du eine Fläche berechnest, erhältst du für dein Ergebnis „Quadrateinheiten“ (Quadratzentimeter, Quadratmeter usw.).
Multipliziere eine Seite mit sich selbst, um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen. Quadrate sind nichts anderes als spezielle Rechtecke, also kannst du dieselbe Formel wie oben verwenden, um ihre Fläche zu berechnen. Da aber alle Seiten eines Quadrats dieselbe Länge haben, kannst du als Abkürzung einfach eine Länge mit sich selbst multiplizieren. Das ist nichts anderes, als die Grundlinie mit der Höhe zu multiplizieren, da die Grundlinie und die Höhe einfach immer gleich sind. Verwende die folgende Gleichung:[1]- Fläche = Seite × Seite, oder kurz: A = s2
- Beispiel: Wenn eine Seite eines Quadrats eine Länge von 4 cm hat (s = 4), berechnet sich die Fläche des Quadrats mit s2, oder 4 x 4 = 16 Quadratzentimeter.
Multipliziere die Diagonalen und dividiere durch zwei, um die Fläche einer Raute zu bestimmen. Hier musst du vorsichtig sein – wenn du die Fläche einer Raute bestimmen willst, kannst du nicht einfach zwei angrenzende Seiten multiplizieren. Stattdessen musst du die Diagonalen finden (die Strecke zwischen zwei gegenüberliegen Ecken), sie multiplizieren und durch zwei dividieren. In anderen Worten:[2]- Fläche = (Diag. 1 × Diag. 2)/2 oder A = (d1 × d2)/2
- Beispiel: Wenn eine Raute Diagonalen mit der Länge 6 Meter und 8 Meter hat, ist ihre Fläche einfach (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 Quadratmeter.
Alternativ kannst du auch Grundlinie × Höhe verwenden, um die Fläche einer Raute zu berechnen. Rein technisch gesehen kannst du auch die Grundlinie x Höhe Formel verwenden, um die Fläche einer Raute zu bestimmen. In diesem Fall sind Grundlinie und Höhe allerdings nicht einfach zwei angrenzende Seiten. Du musst zunächst eine Seite als Grundlinie auswählen. Dann, ziehe eine Linie von der Grundlinie bis zur gegenüberliegenden Seiten. Diese Linie muss senkrecht zu beiden Seiten sein. Die Länge dieser Seite ist deine Höhe.- Beispiel: Eine Raute hat die Seitenlängen 10 Meter und 5 Meter. Die senkrechte Linie zwischen den 10 Meter Seiten ist 3 Meter lang. Wenn du die Fläche der Raute bestimmen willst, musst du also 10 × 3 = 30 Quadratmeter rechnen.
Erkenne, dass die Formeln für Rauten und Rechtecke auch bei Quadraten funktionieren. Die Seite × Seite Formel ist sicher die praktischste Methode, um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen. Da aber Quadrate technisch gesehen sowohl Rechtecke als auch Rauten sind, kannst du genauso gut die Formeln dieser Formen verwenden und erhältst trotzdem die richtige Lösung. In anderen Worten, für Quadrate gilt:- Fläche = Grundlinie × Höhe oder A = b × h
- Fläche = (Diag. 1 × Diag. 2)/2 oder A = (d1 × d2)/2
- Beispiel: Eine vierseitige Form hat zwei angrenzende Seiten der Länge 4 m. Du kannst die Fläche dieses Quadrats bestimmen, indem du seine Grundlinie mit seiner Höhe multiplizierst: 4 × 4 = 16 Quadratmeter.
- Beispiel: Die Diagonalen eines Quadrats sind beide 10 Zentimeter lang. Du kannst du Fläche dieses Quadrats mit der Diagonalformel bestimmen: (10 × 10)/2 = 100/2 = 50 Quadratzentimeter.
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Verstehe, wie du ein Trapez erkennen kannst. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel zueinander verlaufen. Seine Ecken können beliebige Winkel haben. Jede der vier Seiten des Trapez kann eine andere Länge haben.- Du kannst die Fläche eines Trapezes mit zwei verschiedenen Methoden bestimmen, je nachdem, welche Informationen dir zur Verfügung stehen. Im Folgenden werden beide Vorgehensweisen erklärt.
Bestimme die Höhe des Trapez. Die Höhe eines Trapez ist eine senkrechte Linie, die die beiden parallelen Seiten verbindet. Diese hat normalerweise nicht dieselbe Länge, wie eine der Seiten, da diese meistens diagonal verlaufen. Die Höhe benötigst du für beide Vorgehensweisen. So bestimmst du die Höhe eines Trapez:[3]- Finde die kürzere der beiden Grundlinien (der parallelen Seiten). Setze deinen Bleistift an einer der Ecken zwischen dieser Grundlinie und einer nicht-parallelen Seiten an. Ziehe eine gerade Linie, die die beiden Grundlinie senkrecht trifft. Miss diese Linie, um deine Höhe zu erhalten.
- Du kannst die Höhe auch mit Trigonometrie bestimmen, da die Höhe, die Grundlinie und die andere Seite zusammen ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Mehr Informationen dazu findest du in Artikel über Trigonometrie.
Bestimme die Fläche eines Trapez mit Hilfe der Höhe und der Längen der beiden Grundlinie. Wenn du die Höhe des Trapez und die Längen der beiden Grundlinien kennst, kannst du folgende Formel verwenden:- Fläche = (Grundlinie 1 + Grundlinie 2)/2 × Höhe oder A = (a+b)/2 × h
- Beispiel: Wenn du ein Trapez mit einer Grundlinie mit der Länge 7 Kilometer, der anderen Grundlinie mit der Länge 11 Kilometer und einer Höhe von 2 Kilometer hast, kannst du die Fläche folgendermaßen bestimmen: (7 + 11)/2 × 2 = (18)/2 × 2 = 9 × 2 = 18 Quadratkilometer.
- Wenn die Höhe 10 beträgt und die Längen der beiden Grundlinien 7 und 9, kannst du die Fläche einfach so finden: (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80
Multipliziere die Mittellinie mit zwei, um die Fläche eines Trapez zu finden. Die Mittellinie ist eine imaginäre Linie, die parallel zur unteren und oberen Grundlinie des Trapez verläuft und genau denselben Abstand zu beiden hat. Da die Mittellinie immer die Länge (Grundlinie 1 + Grundlinie 2)/2 hat, kannst du folgende Formel als Abkürzung verwenden, wenn du die Mittellinie kennst:- Fläche = Grundlinie × Höhe oder A = m × h
- Grundsätzlich ist das die gleiche Formel wie oben, nur das du hier m anstatt (a + b)/2 verwendest.
- Beispiel: Die Mittellinie des Trapez aus dem vorherigen Beispiel ist genau 9 Kilometer lang. Damit kannst du die Fläche des Trapez berechnen, indem du einfach 9 × 2 = 18 Quadratkilometer rechnest, genauso wie oben.
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Verstehe, wie du ein Drachenviereck (auch Deltoid) erkennst. Ein Drachenviereck ist eine Figur mit zwei Paaren von gleichlangen Seiten, die angrenzend zu einander sind, nicht gegenüberliegen zu einander. Der Name bezieht sich dabei auf den klassischen Flugdrachen.- Du kannst die Fläche eines Drachenvierecks mit zwei verschiedenen Methoden bestimmen, je nachdem, welche Informationen dir zur Verfügung stehen. Im Folgenden werden beide Vorgehensweisen erklärt.
Verwende die Diagonalformel der Raute, um die Fläche eines Drachenvierecks zu bestimmen. Da eine Raute nur eine Spezialform des Drachenvierecks ist, in dem die Seiten dieselbe Länge haben, kannst du die Diagonalformel der Raute verwenden, um auch die Fläche des Drachenvierecks zu bestimmen. Zur Erinnerung, Diagonalen sind die geraden Linien von einer Ecke des Drachenvierecks zur gegenüberliegenden Ecke. Wie bei der Raute, lautet die Formel für das Drachenviereck:- Fläche = (Diag. 1 × Diag 2.)/2 oder A = (d1 × d2)/2
- Beispiel: Wenn die Diagonalen eines Drachenviereck die Längen 19 Meter und 5 Meter haben, kannst du seine Fläche folgendermaßen bestimmen: (19 × 5)/2 = 95/2 = 47,5 Quadratmeter.
- Wenn du die Längen der Diagonalen nicht kennst und sie nicht messen kannst, kannst du Trigonometrie verwenden, um sie zu berechnen. Lies dir dazu unseren Artikel über das Drachenviereck durch.
Verwende die Längen der Seiten und den Winkel zwischen ihnen, um die Fläche zu bestimmen. Wenn du die beiden Werte der Seitenlängen und den Winkel zwischen diesen Seiten kennst, kannst du die Fläche des Drachenvierecks mithilfe von trigonometrischen Formeln berechnen.[4] Diese Methode setzt voraus, dass du mit einer Sinusfunktion umgehen kannst (oder zumindest einen Taschenrechner mit Sinusfunktion hast). Für mehr Informationen, lies dir unseren Artikel über Trigonometrie durch oder folge den folgenden Formeln:- Fläche = (Seite 1 × Seite 2) × sin (Winkel) oder A = (s1 × s2) × sin(θ) (wobei θ der Winkel zwischen den beiden Seiten ist).
- Beispiel: Du hast ein Drachenviereck mit zwei Seiten der Länge 6 m und zwei Seiten der Länge 4 m. Der Winkel zwischen diesen Seiten beträgt 120 Grad. In diesem Fall kannst du die Fläche folgendermaßen berechnen: (6 × 4) × sin(120) = 24 × 0,866 = 20,78 Quadratmeter
- Achte darauf, dass du die beiden unterschiedlich langen Seiten und den Winkel zwischen ihnen verwenden musst – wenn du die beiden gleichlangen Seiten verwendest, wirst du nicht dasselbe Ergebnis bekommen.
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Bestimme die Längen aller vier Seiten. Sollte dein Viereck nicht in eine der einfachen Kategorien oben fallen (hat es z.B. vier verschieden langen Seiten, wovon keine parallel zueinander sind?), dann glaube es oder nicht, gibt es trotzdem Formeln, mit denen du die Fläche eines beliebigen Vierecks bestimmen kannst, ganz egal, wie es aussieht. In diesem Abschnitt findest du die am häufigsten verwendeten. Die Anwendung dieser Formeln erfordert eine Kenntnis grundlegender Trigonometrie (noch einmal, hier findest du eine Einführung in die Trigonometrie).- Zunächst musst du die Länge alle vier Seiten des Vierecks bestimmen. Im weiteren Verlauf dieses Artikels nennen wir die vier Seiten a, b, c und d. Die Seiten a und b sind gegenüberliegend, genauso wie b und c.
- Beispiel: Wenn du ein seltsam geformtes Viereck hast, das in keine der oben genannten Kategorien passt, miss zunächst seine vier Seiten. Nehmen wir an, sie haben die Längen 12, 9, 5 und 14 Zentimeter. In den folgenden Schritten wirst du diese Information nutzen, um die Fläche des Vierecks zu bestimmen.
Bestimme die Winkel zwischen a und b und b und c. Wenn du es mit einem irregulären Viereck zu tun hast, kannst du die Fläche nicht aus den Seitenlängen alleine bestimmen. Fahre fort, indem du die zwei gegenüberliegenden Winkel bestimmst. Für diesen Artikel bezeichnen wir den Winkel zwischen a und b als A und den Winkel zwischen b und c als C. Du kannst das gleiche aber auch mit den anderen beiden Winkeln machen.- Beispiel: Nehmen wir an, unser Viereck hat die Winkel A gleich 80 Grad und C gleich 110 Grad. Im nächsten Schritt wirst du diese Werte verwenden, um die Gesamtfläche zu bestimmen.
Verwende die Dreiecksformel, um die Fläche des Vierecks zu bestimmen. Stelle dir eine gerade Linie vom Winkel zwischen a und b und dem Winkel zwischen c und d vor. So eine Linie würde das Viereck in zwei Dreiecke aufteilen. Da die Formel für die Fläche eines Dreiecks absinC lautet, mit C als der Winkel zwischen den Seiten a und b, kannst du diese Formel einfach zweimal verwenden (einmal für jedes imaginäre Dreieck), um die Gesamtfläche des Vierecks zu berechnen. In anderen Worten, für jedes Viereck gilt:- Fläche = 0,5 Seite 1 × Seite 4 × sin(Seite 1&4 Winkel) + 0.5 × Seite 2 × Seite 3 × sin (Seite 2&3 Winkel) oder
- Fläche = 0,5 a × d × sin A + 0,5 × b × c × sin C
- Beispiel: Du hast bereits alle Seiten und Winkel, die du benötigst, also lösen wir auf:
- = 0,5 (12 × 14) × sin (80) + 0,5 × (9 × 5) × sin (110)
- = 84 × sin (80) + 22,5 × sin (110)
- = 84 × 0.984 + 22,5 × 0,939
- = 82,66 + 21,13 = 103,79 Quadratzentimeter
- Anmerkung: Wenn du die Fläche eines Parallelogramms bestimmen willst, dessen gegenüberliegenden Winkel gleich sind, reduziert die Gleichung sich zu Fläche = 0,5*(ad + bc) * sin A.
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Tipps
- Dieser Dreieck-Rechner ist nützlich, wenn du Berechnungen für ein „beliebiges Viereck“ machen willst.[5]
- Für mehr Informationen, lies dir unsere Artikel für die jeweilige Figur durch: Die Fläche eines Quadrats berechnen, Die Fläche eines Rechtecks berechnen, Die Fläche einer Raute berechnen, Die Fläche eines Trapez berechnen, Die Fläche eines Drachenvierecks berechnen.
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Referenzen
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/how-to-calculate-the-area-of-a-quadrilateral.html
- ↑ http://www.mathopenref.com/rhombusarea.html
- ↑ http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_trapezoid.html
- ↑ http://www.mathopenref.com/kitearea.html
- ↑ http://www.handymath.com/cgi-bin/irregangle12.cgi?submit=Entry
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