如何解三次方程

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在本文中：

解不含常数项的三次方程

使用因数表求整数解

使用判别式方法

相关文章

参考

三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

解不含常数项的三次方程

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   检查三次方程，看是否包含常数项$$ d {\displaystyle d} 。三次方程的形式为$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$。但是，唯一必要的关键项是$x^{3}$，这意味着三次方程中未必会出现其他项。

   • 如果方程中包含常数项$d$，那么你就必须使用其它解法。
   • 如果$a=0$，那么这个方程就不是三次方程。
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   提取方程的公因式$$ x {\displaystyle x} 。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量$x$。也就是说，可以提取方程的公因式$x$来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为$x(ax^{2}+bx+c)$。

   • 例如，假设我们一开始要解的方程是$3x^{3}-2x^{2}+14x=0$。
   • 提取方程的公因式$x$，得到$x(3x^{2}-2x+14)=0$。
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   如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式$x$后得到的二次方程$ax^{2}+bx+c$都能被因式分解。例如，如果要解$x^{3}+5x^{2}-14x=0$，你可以：

   • 提取公因式$x$：$x(x^{2}+5x-14)=0$
   • 将括号内的二次方程因式分解：$x(x+7)(x-2)=0$
   • 设各因式等于$0$。得到方程的解$x=0,x=-7,x=2$。
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   如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将$a$、$b$、$c$的值代入二次公式(${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$)中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。

   • 示例中，将$a$、$b$和$c$的值$3$、$-2$和$14$分别代入到以下二次公式：

     ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

     ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$

     ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$

   • 解1:

     ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$

     ${\frac {2+12.8i}{6}}$

   • 解2:

     ${\frac {2-12.8i}{6}}$
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   零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为$0$。

   • 将方程分解为包含两个因式的形式$x(ax^{2}+bx+c)=0$，左边的因式是变量$x$，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于$0$，则整个方程等于$0$。
   • 因此，使括号内的二次因式等于$0$的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于$0$的$0$本身，也是三次方程的解。
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方法 2

方法 2 的 3:

使用因数表求整数解

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   确保三次方程有一个$$ d {\displaystyle d} 值不等于零的常数项。如果形式为$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$的方程拥有一个不等于零的$d$值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。

   • 以方程$2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$为例。这个方程中，要让等号的右边等于$0$，你需要两边都加$6$。
   • 得到新的方程$2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$。由于$d=6$，你无法使用二次方程方法。
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   找出$$ a {\displaystyle a} 和$$ d {\displaystyle d} 的因数。要解三次方程，我们需要先关注$x^{3}$项的系数$a$以及方程最后的常数项$d$，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。

   • 例如，由于你可以用$6\times 1$和$2\times 3$得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
   • 例题中，$a=2$，而$d=6$。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
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   用$$ a {\displaystyle a} 的因数除以$$ d {\displaystyle d} 的因数。将$a$的各因数除以$d$的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。

   • 例题中，用$a$的因数1和2除以$d$的因数1、2、3、6，得到：$1$，${\frac {1}{2}}$，${\frac {1}{3}}$，${\frac {1}{6}}$，$2$和${\frac {2}{3}}$。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整：$1$，$-1$，${\frac {1}{2}}$，$-{\frac {1}{2}}$，${\frac {1}{3}}$，$-{\frac {1}{3}}$，${\frac {1}{6}}$，$-{\frac {1}{6}}$，$2$，$-2$，${\frac {2}{3}}$和$-{\frac {2}{3}}$。三次方程的整数解就在其中。
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   手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于$0$，进而求出方程的解。例如，如果将$1$代入方程，可以得到：

   • $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$，即$2+9+13+6$，结果不等于$0$。因此，使用得到的下一个值。
   • 如果将$-1$代入方程，得到$(-2)+9+(-13)+6$，结果等于$0$。这意味着$-1$是方程的一个整数解。
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   使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以$a$、$b$、$c$和$d$。如果得到余数$0$，那么这个值就是三次方程的解。

   • 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 由于得到的最终余数为$0$，由此可知，$-1$是三次方程的一个整数解。
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方法 3

方法 3 的 3:

使用判别式方法

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   写下$$ a {\displaystyle a} 、$$ b {\displaystyle b} 、$$ c {\displaystyle c} 和$$ d {\displaystyle d} 的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下$a$、$b$、$c$和$d$的值，免得之后混淆。

   • 对于例题$x^{3}-3x^{2}+3x-1$，写下$a=1$、$b=-3$、$c=3$和$d=-1$。注意，如果有$x$变量前没有系数，这代表它的系数为$1$。
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   使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式$\Delta _{0}=b^{2}-3ac$中，求出第一个重要数值，即判别式零$\Delta _{0}$。

   • 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是($b^{2}-4ac$)。
   • 例题中的计算过程如下：

     $b^{2}-3ac$

     $(-3)^{2}-3(1)(3)$

     $9-3(1)(3)$

     $9-9=0=\Delta _{0}$
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   然后，计算$$ Δ 1 = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d {\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d} 。你需要的下一个重要数值是判别式$1$，即$\Delta _{1}$，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与$\Delta _{0}$基本相同。将适当的值代入到公式$2b^{3}-9abc+27a^{2}d$中，得到$\Delta _{1}$的值。

   • 例题中的计算过程如下：

     $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$

     $2(-27)-9(-9)+27(-1)$

     $-54+81-27$

     $81-81=0=\Delta _{1}$
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   计算: $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$。然后，我们会使用$\Delta _{0}$和$\Delta _{1}$的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。

   • 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
   • 例题中，由于$\Delta _{0}$和$\Delta _{1}$都等于$0$，所以$\Delta$的计算相对简单。计算过程如下：

     $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$

     $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$

     $0-0\div 27$

     $0=\Delta$，所以方程有一个或两个解。
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   计算: $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$。最后一个需要计算的重要数值是$C$。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 $\Delta _{1}$和$\Delta _{0}$。

   • 例题中，$C$的计算过程如下：

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$

     $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$

     $0=C$
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   使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式$-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$计算，其中$u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。

   • 你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
   • 例如，将1代入到$x^{3}-3x^{2}+3x-1$中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。
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